التشوهات الطولية والعرضية. التشوه تحديد التشوه الطولي والعرضي

محاضرة رقم 5

عنوان: " التوتر والضغط»

أسئلة:

1. الضغوط الطبيعية في التوتر والضغط

2. تحديد التشوه الطولي والعرضي. قانون هوك

4. الإجهاد الحراري

5. الضغوط المتزايدة

1. الضغوط الطبيعية في التوتر والضغط

إذا قمت بتطبيق شبكة من الخطوط المتوازية والمتعامدة على محور القضيب على سطح قضيب منشوري وقمت بتطبيق قوة شد عليه، فيمكنك التأكد من أن خطوط الشبكة ستظل متعامدة بشكل متبادل حتى بعد التشوه (انظر الشكل 1). 1).

أرز. 1

جميع الخطوط الأفقية، مثل القرص المضغوط، ستتحرك للأسفل بينما تظل أفقية ومستقيمة. ويمكن أيضًا الافتراض أنه ستكون هناك نفس الصورة داخل القضيب، أي. "المقاطع العرضية للقضيب التي تكون مسطحة وطبيعية بالنسبة لمحورها قبل التشوه ستظل مسطحة وطبيعية بالنسبة لمحورها بعد التشوه." وتسمى هذه الفرضية المهمة بفرضية المقاطع المستوية أو فرضية برنولي. تم تأكيد الصيغ التي تم الحصول عليها على أساس هذه الفرضية من خلال النتائج التجريبية.

هذه الصورة للتشوهات تعطي سببًا للاعتقاد بذلك المقاطع العرضيةفقط الضغوط العادية هي التي تعمل، متطابقة في جميع نقاط القسم، والضغوط العرضية تساوي الصفر. إذا حدثت ضغوط عرضية، فسيتم ملاحظة التشوه الزاوي، ولن تكون الزوايا بين الخطوط الطولية والعرضية مستقيمة. إذا لم تكن الضغوط الطبيعية هي نفسها في جميع نقاط القسم، فعندما تكون الضغوط أعلى، سيكون هناك تشوه أكبر، وبالتالي لن تكون المقاطع العرضية مستوية ومتوازية. وبقبول فرضية المقاطع المستوية نثبت ذلك
.

لأن القوة الطولية هي محصلة القوى الداخلية
تنشأ في مساحات صغيرة للغاية (انظر الشكل 3.2)، ويمكن تمثيلها على النحو التالي:

أرز. 2

يمكن إخراج الكميات الثابتة من علامة التكامل:

حيث A هي مساحة المقطع العرضي.

نحصل على صيغة لإيجاد الضغوط الطبيعية أثناء التوتر أو الضغط:

(1)

وهذه إحدى أهم الصيغ في قوة المواد، لذا سنسلط الضوء عليها في إطار وسنفعل نفس الشيء في المستقبل.

عندما امتدت إيجابي، عند الضغط - سلبي.

إذا كانت هناك قوة خارجية واحدة فقط تؤثر على الشعاع ف، الذي - التي

ن= ف,

ويمكن تحديد الفولتية بالصيغة:

2. تحديد التشوه الطولي والعرضي

في المرحلة المرنة لعمل معظم المواد الإنشائية، يرتبط الإجهاد والانفعال بعلاقة مباشرة تسمى قانون هوك:

(2)

حيث E هو معامل المرونة الطولية أو معامل يونغ، ويقاس بـ MPa، والذي يميز صلابة المادة، أي. القدرة على مقاومة التشوه، وترد قيمها في جداول الكتاب المرجعي؛

- التشوه الطولي النسبي، قيمة بلا أبعاد، لأن:

; (3)

- الاستطالة المطلقة للقضيب، م؛

ل- الطول الأولي، م.

كلما زادت قيمة معامل المرونة الطولي E، قل التشوه. على سبيل المثال، بالنسبة للصلب E = 2.110 5 ميجا باسكال، وبالنسبة للحديد الزهر E = (0.75...1.6)10 5 ميجا باسكال، فإن العنصر الهيكلي المصنوع من الحديد الزهر، في ظل نفس الظروف الأخرى، سيحصل على قدر أكبر تشوه من الفولاذ. لا ينبغي الخلط بين هذا وبين حقيقة أن القضيب الفولاذي الذي يصل إلى نقطة التمزق سيكون له تشوه أكبر بكثير من قضيب الحديد الزهر. إنه على وشكلا يتعلق الأمر بالتشوه المحدود، بل يتعلق بالتشوه في المرحلة المرنة، أي. دون حدوث تشوهات بلاستيكية، وتحت نفس الحمل.

دعونا نحول قانون هوك بالاستبدال من المعادلة (3.3):

دعونا نستبدل القيمة من الصيغة (1):

(4)

لقد حصلنا على صيغة للاستطالة المطلقة (التقصير) للقضيب. عندما امتدت
إيجابي، أثناء الضغط – سلبي. عمل عصامتسمى صلابة الشعاع.

عند تمديد القضيب يصبح أرق، وعندما يتم ضغطه يصبح أكثر سمكًا. ويسمى التغيير في أبعاد المقطع العرضي بالتشوه المستعرض. على سبيل المثال، كان للقسم المستطيل عرض قبل التحميل بوارتفاع القسم ح، وبعد التحميل  ب 1 و ح 1 . التشوه العرضي النسبي لعرض القسم:

لارتفاع القسم:

المواد المتناحية لها نفس الخصائص في جميع الاتجاهات. لهذا السبب:

في التوتر، يكون الإجهاد العرضي سالبًا، وفي الضغط يكون إيجابيًا.

تسمى نسبة الانفعال العرضي إلى الانفعال الطولي نسبة الانفعال العرضي أو نسبة بواسون:

(5)

لقد ثبت تجريبيا أنه في المرحلة المرنة من تشغيل أي مادة لها قيمة وباستمرار. تقع ضمن 0 0.5 و مواد البناءويرد في جداول الكتاب المرجعي.

من الاعتماد (5) يمكننا الحصول على الصيغة التالية:

(6)

أثناء الشد (الضغط)، تتحرك المقاطع العرضية للحزمة في الاتجاه الطولي. الإزاحة هي نتيجة للتشوه، ولكن يجب التمييز بين هذين المفهومين بوضوح. بالنسبة للقضيب (انظر الشكل 3)، نحدد حجم التشوه وننشئ مخططًا للإزاحة.

أرز. 3

كما يتبين من الشكل، فإن قطعة القضيب AB لا تمتد، ولكنها ستتلقى حركة، لأن القطعة CB سوف تطول. استطالته هي:

نشير إلى إزاحة المقاطع العرضية بواسطة . في القسم C الإزاحة صفر. من القسم C إلى القسم B، الإزاحة تساوي الاستطالة، أي. يزيد بشكل متناسب مع
في القسم B. بالنسبة للأقسام من B إلى A، تكون الإزاحات متماثلة ومتساوية
لأن هذا الجزء من القضيب غير مشوه.

3. مشاكل غير محددة بشكل ثابت

الأنظمة التي لا يمكن تحديد القوى فيها باستخدام المعادلات الساكنة فقط تعتبر غير محددة بشكل ثابت. تحتوي جميع الأنظمة غير المحددة بشكل ثابت على وصلات "إضافية" على شكل أدوات تثبيت وقضبان وعناصر أخرى إضافية. تسمى هذه الروابط "زائدة عن الحاجة" لأنها ليست ضرورية من وجهة نظر ضمان توازن النظام أو ثباته الهندسي، وترتيبها يتبع أغراضًا بناءة أو تشغيلية.

الفرق بين عدد المجهولات وعدد معادلات التوازن المستقلة التي يمكن بناؤها لنظام معين يميز عدد المجهولات الإضافية أو درجة عدم التحديد الثابت.

يتم حل الأنظمة غير المحددة إحصائيًا عن طريق وضع معادلات لإزاحة نقاط معينة، والتي يجب أن يكون عددها مساويًا لدرجة عدم تحديد النظام.

دع القوة تؤثر على قضيب مثبت بشكل ثابت عند كلا الطرفين ف(انظر الشكل 4). دعونا نحدد ردود أفعال الدعامات.

أرز. 4

سنوجه رد فعل الدعامات إلى اليسار، لأن القوة F تؤثر على اليمين. بما أن وزن القوة يؤثر على خط واحد، فإنه يمكن رسم معادلة واحدة فقط للتوازن الساكن:

-ب+إف-سي=0;

إذن، هناك تفاعلان غير معروفين للدعائم B وC ومعادلة واحدة للتوازن الساكن. كان النظام غير محدد بشكل ثابت. ولذلك، لحلها، تحتاج إلى إنشاء معادلة إضافية واحدة بناءً على تحركات النقطة C. دعونا نتجاهل الدعم الصحيح عقليًا. بسبب القوة F، سيتم تمديد الجانب الأيسر من قضيب VD وسيتحول القسم C إلى اليمين بمقدار هذا التشوه:

من تفاعل الدعم C، سوف ينضغط القضيب وسيتحرك القسم إلى اليسار بمقدار تشوه القضيب بأكمله:

لا يسمح الدعم للقسم C بالتحرك إلى اليسار أو إلى اليمين، وبالتالي فإن مجموع الإزاحات من القوى F وC يجب أن يكون مساويًا للصفر:

|

باستبدال قيمة C في معادلة التوازن الثابت، نحدد التفاعل الثاني للدعم:

4. الإجهاد الحراري

في الأنظمة غير المحددة بشكل ثابت، قد تنشأ الضغوط عندما تتغير درجة الحرارة. دع القضيب، المحكم الغلق من كلا الطرفين، يسخن إلى درجة حرارة
يشيد (انظر الشكل 5).

أرز. 5

عند تسخينها، تتمدد الأجسام، ويميل القضيب إلى الاستطالة بمقدار:

أين - معامل التمدد الخطي،

ل- الطول الأصلي .

الدعامات لا تسمح للقضيب بالإطالة، لذلك يتم ضغط القضيب بمقدار:

وفقا للصيغة (4):

=
;

لأن:

(7)

كما يتبين من الصيغة (7)، فإن ضغوط درجة الحرارة لا تعتمد على طول القضيب، ولكنها تعتمد فقط على معامل التمدد الخطي، ومعامل المرونة الطولية وتغيرات درجة الحرارة.

يمكن أن تصل الضغوط الحرارية إلى قيم عالية. لتقليلها، يتم توفير فجوات درجة الحرارة الخاصة في الهياكل (على سبيل المثال، الفجوات في وصلات السكك الحديدية) أو أجهزة التعويض (على سبيل المثال، الأكواع في خطوط الأنابيب).

5. الضغوط المتزايدة

قد يكون للعناصر الهيكلية انحرافات في الأبعاد أثناء التصنيع (على سبيل المثال، بسبب اللحام). أثناء التجميع، لا تتطابق الأبعاد (على سبيل المثال، فتحات المسامير) ويتم تطبيق القوة لتجميع الوحدات. ونتيجة لذلك، تنشأ قوى داخلية في العناصر الهيكلية دون تطبيق حمل خارجي.

دع قضيبًا يُدخل بين ختمين جامدين طولهما يساوي أأكبر من المسافة بين الدعامات (انظر الشكل 6). سوف يتعرض القضيب للضغط. دعونا نحدد الجهد باستخدام الصيغة (4):

(8)

أرز. 6

كما يتبين من الصيغة (8)، فإن ضغوط التثبيت تتناسب طرديا مع الخطأ البعدي أ. ولذلك فمن المستحسن أن يكون أ = 0، وخاصة بالنسبة للقضبان القصيرة، منذ ذلك الحين يتناسب عكسيا مع الطول .

ومع ذلك، في الأنظمة غير المحددة بشكل ثابت، يتم اللجوء إلى ضغوط التثبيت بشكل خاص من أجل زيادة قدرة الهيكل على التحمل.

الخطوط العريضة للمحاضرة

1. التشوهات، قانون هوك أثناء التوتر والضغط المركزي للقضبان.

2. الخصائص الميكانيكية للمواد تحت التوتر والضغط المركزي.

دعونا نفكر في عنصر قضيب هيكلي في حالتين (انظر الشكل 25):

القوة الطولية الخارجية ففي حالة غيابه، يكون الطول الأولي للقضيب وحجمه العرضي متساويين على التوالي لو ب، منطقة المقطع العرضي أنفس الشيء على طول كامل ل(يظهر الشكل الخارجي للقضيب خطوط صلبة);

قوة الشد الطولية الخارجية الموجهة على طول المحور المركزي تساوي ف، حصل طول القضيب على زيادة Δ ل، بينما انخفض حجمه العرضي بمقدار Δ ب(يظهر الكفاف الخارجي للقضيب في الموضع المشوه بخطوط منقطة).

ل Δ ل

الشكل 25. التشوه الطولي المستعرض للقضيب أثناء توتره المركزي.

طول القضيب المتزايد Δ لويسمى التشوه الطولي المطلق، والقيمة Δ ب- التشوه العرضي المطلق. القيمة Δ ليمكن تفسيرها على أنها حركة طولية (على طول المحور z) للمقطع العرضي النهائي للقضيب. وحدات القياس Δ لو Δ بنفس الأبعاد الأولية لو ب(م، مم، سم). في الحسابات الهندسية، يتم استخدام قاعدة الإشارة التالية لـ Δ ل: عندما يتم تمديد جزء من القضيب، يزداد طوله وقيمته Δ لإيجابي؛ إذا كان على جزء من قضيب بطول أولي لتحدث قوة الضغط الداخلية ن، ثم القيمة Δ لسلبي، لأن هناك زيادة سلبية في طول المقطع.

إذا التشوهات المطلقة Δ لو Δ بالرجوع إلى الأحجام الأولية لو ب، ثم نحصل على التشوهات النسبية:

- التشوه الطولي النسبي؛

- تشوه عرضي نسبي.

التشوهات النسبية لا أبعاد لها (كقاعدة عامة،

كميات صغيرة جدًا)، وعادةً ما تسمى e.o. د – وحدات التشوهات النسبية (على سبيل المثال، ε = 5.24·10 -5 إي.أو. د.).

القيمة المطلقة لنسبة الانفعال الطولي النسبي إلى الانفعال العرضي النسبي هي ثابت مادي مهم جدًا يسمى نسبة الانفعال العرضي أو نسبة بواسون(على اسم العالم الفرنسي)

كما ترون، فإن نسبة بواسون تميز كميا العلاقة بين قيم التشوه العرضي النسبي والتشوه الطولي النسبي لمادة القضيب عندما يتم تطبيق قوى خارجية على طول محور واحد. يتم تحديد قيم نسبة بواسون تجريبيا و مواد مختلفةوترد في الكتب المرجعية. بالنسبة لجميع المواد المتناحية، تتراوح القيم من 0 إلى 0.5 (للفلين قريب من 0، للمطاط والمطاط قريب من 0.5). على وجه الخصوص، بالنسبة للفولاذ المدلفن وسبائك الألومنيوم في الحسابات الهندسية، عادة ما يتم قبولها للخرسانة.

معرفة قيمة التشوه الطولي ε (على سبيل المثال، نتيجة للقياسات أثناء التجارب) ونسبة بواسون لمادة معينة (والتي يمكن أخذها من كتاب مرجعي)، يمكنك حساب قيمة السلالة العرضية النسبية

حيث تشير علامة الطرح إلى أن التشوهات الطولية والعرضية لها دائمًا علامات جبرية معاكسة (إذا تم تمديد القضيب بمقدار Δ لقوة الشد، فإن التشوه الطولي يكون موجبًا، حيث أن طول القضيب يتلقى زيادة موجبة، ولكن في نفس الوقت البعد العرضي بيتناقص، أي يتلقى زيادة سلبية Δ بوالسلالة العرضية سلبية. إذا تم ضغط القضيب بالقوة ف، على العكس من ذلك، يصبح التشوه الطولي سلبيا، والتشوه العرضي - إيجابي).

تمثل القوى والتشوهات الداخلية التي تحدث في العناصر الإنشائية تحت تأثير الأحمال الخارجية عملية واحدة تترابط فيها جميع العوامل. بادئ ذي بدء، نحن مهتمون بالعلاقة بين القوى الداخلية والتشوهات، على وجه الخصوص، أثناء ضغط التوتر المركزي لعناصر القضبان الهيكلية. في هذه الحالة، كما هو مذكور أعلاه، سوف نسترشد مبدأ سانت فينانت: يعتمد توزيع القوى الداخلية بشكل كبير على طريقة تطبيق القوى الخارجية على القضيب بالقرب من نقطة التحميل فقط (على وجه الخصوص، عندما يتم تطبيق القوى على القضيب من خلال منطقة صغيرة)، وفي أجزاء بعيدة تمامًا عن الأماكن

عند تطبيق القوى، يعتمد توزيع القوى الداخلية فقط على المعادل الساكن لهذه القوى، أي تحت تأثير قوى الشد أو الضغط المركزة، سنفترض أنه في معظم حجم القضيب سيكون توزيع القوى الداخلية زي مُوحد(وهذا ما تؤكده العديد من التجارب والخبرة في هياكل التشغيل).

في القرن السابع عشر، أنشأ العالم الإنجليزي روبرت هوك علاقة تناسبية مباشرة (خطية) (قانون هوك) للتشوه الطولي المطلق Δ لمن قوة الشد (أو الضغط). ف. في القرن التاسع عشر، صاغ العالم الإنجليزي توماس يونغ فكرة أن لكل مادة قيمة ثابتة (والتي أطلق عليها اسم المعامل المرن للمادة)، والتي تميز قدرتها على مقاومة التشوه تحت تأثير القوى الخارجية. وفي الوقت نفسه، كان يونغ أول من أشار إلى هذا الخطي قانون هوك صحيحفقط في منطقة معينة من التشوه المادي، وهي - أثناء تشوهاتها المرنة.

في المفهوم الحديث، فيما يتعلق بالشد والضغط المركزي أحادي المحور للقضبان، يُستخدم قانون هوك في شكلين.

1) يتناسب الضغط الطبيعي في المقطع العرضي للقضيب تحت التوتر المركزي بشكل مباشر مع التشوه الطولي النسبي

(النوع الأول من قانون هوك)،

أين ه– معامل مرونة المادة تحت التشوهات الطولية، والتي يتم تحديد قيمها لمختلف المواد بشكل تجريبي ويتم إدراجها في الكتب المرجعية التي يستخدمها الفنيون عند إجراء الحسابات الهندسية المختلفة؛ وبالتالي، بالنسبة للفولاذ الكربوني المدرفل، المستخدم على نطاق واسع في البناء والهندسة الميكانيكية؛ لسبائك الألومنيوم. للنحاس لقيمة المواد الأخرى هيمكن العثور عليها دائمًا في الكتب المرجعية (انظر، على سبيل المثال، "دليل قوة المواد" بقلم جي إس بيسارينكو وآخرون). وحدات معامل المرونة هنفس وحدات قياس الضغوط العادية، أي. بنسلفانيا, الآلام والكروب الذهنية, ن/مم 2إلخ.

2) إذا كان في الشكل الأول من قانون هوك المكتوب أعلاه، فإن الإجهاد الطبيعي في القسم σ التعبير عن القوة الطولية الداخلية نومساحة المقطع العرضي للقضيب أ، أي التشوه الطولي النسبي – من خلال الطول الأولي للقضيب لوالتشوه الطولي المطلق Δ لأي أننا بعد تحويلات بسيطة نحصل على صيغة للحسابات العملية (التشوه الطولي يتناسب طرديا مع القوة الطولية الداخلية)

(النوع الثاني من قانون هوك). (18)

ويترتب على هذه الصيغة أنه مع زيادة قيمة المعامل المرن للمادة هالتشوه الطولي المطلق للقضيب Δ ليتناقص. وبالتالي، يمكن زيادة مقاومة العناصر الهيكلية للتشوه (صلابتها) باستخدام مواد ذات قيم معامل مرونة أعلى. ه. من بين المواد الإنشائية المستخدمة على نطاق واسع في البناء والهندسة الميكانيكية، فهي تتمتع بمعامل مرونة عالي هلديك الصلب. نطاق القيمة هلمختلف درجات الصلب الصغيرة: (1.92÷2.12) 10 5 ميجا باسكال. بالنسبة لسبائك الألومنيوم، على سبيل المثال، القيمة هما يقرب من ثلاث مرات أقل من الفولاذ. لذلك ل

بالنسبة للهياكل ذات متطلبات الصلابة المتزايدة، فإن الفولاذ هو المادة المفضلة.

يُطلق على المنتج اسم معامل الصلابة (أو ببساطة الصلابة) لقسم القضيب أثناء تشوهات طولية (وحدات قياس الصلابة الطولية للقسم هي ن, كيلو نيوتن، مينيسوتا). ضخامة ج = ه أ/لتسمى الصلابة الطولية لطول القضيب ل(وحدات قياس الصلابة الطولية للقضيب مع – ن / م, كيلو نيوتن / م).

إذا كان للقضيب عدة أقسام ( ن) مع صلابة طولية متغيرة ومعقدة الحمل الطولي(دالة القوة الطولية الداخلية من الإحداثي z للمقطع العرضي للقضيب)، ثم سيتم تحديد التشوه الطولي المطلق الكلي للقضيب بواسطة الصيغة الأكثر عمومية

حيث يتم التكامل داخل كل قسم من قضيب الطول، ويتم إجراء الجمع المنفصل على جميع أقسام القضيب من ط = 1ل أنا = ن.

يستخدم قانون هوك على نطاق واسع في الحسابات الهندسية للهياكل، حيث أن معظم المواد الإنشائية أثناء التشغيل يمكن أن تتحمل ضغوطًا كبيرة جدًا دون الانهيار في حدود التشوهات المرنة.

بالنسبة للتشوهات غير المرنة (البلاستيكية أو البلاستيكية المرنة) في مادة القضيب، فإن التطبيق المباشر لقانون هوك غير قانوني، وبالتالي، لا يمكن استخدام الصيغ المذكورة أعلاه. في هذه الحالات يجب تطبيق التبعيات المحسوبة الأخرى، والتي تمت مناقشتها في أقسام خاصة من دورات "قوة المواد"، "الميكانيكا الهيكلية"، "ميكانيكا الأجسام الصلبة القابلة للتشوه"، وكذلك في مقرر "نظرية اللدونة" .

عندما تؤثر قوى الشد على طول محور الحزمة، يزداد طولها وتقل أبعادها العرضية. عندما تعمل قوى الضغط، تحدث الظاهرة المعاكسة. في الشكل. يوضح الشكل 6 عارضة ممتدة بواسطة قوتين P. ونتيجة للشد، استطالت الحزمة بمقدار Δ ل، والذي يسمى استطالة مطلقة،ونحصل الانكماش العرضي المطلق Δأ .

تسمى نسبة الاستطالة والقصر المطلقين إلى الطول أو العرض الأصلي للحزمة تشوه نسبي. في هذه الحالة، يسمى التشوه النسبي تشوه طولي، أ - التشوه العرضي النسبي. تسمى نسبة الانفعال العرضي النسبي إلى الانفعال الطولي النسبي نسبة بواسون: (3.1)

يتم تحديد نسبة بواسون لكل مادة كثابت مرن بشكل تجريبي وهي ضمن الحدود: ; للصلب.

في حدود التشوهات المرنة، ثبت أن الإجهاد الطبيعي يتناسب طرديا مع التشوه الطولي النسبي. وتسمى هذه التبعية قانون هوك:

, (3.2)

أين ه- معامل التناسب يسمى معامل المرونة الطبيعية.

تسمى نسبة الاستطالة المطلقة للقضيب إلى طوله الأصلي بالاستطالة النسبية (- إبسيلون) أو التشوه الطولي. السلالة الطولية هي كمية بلا أبعاد. صيغة التشوه بدون أبعاد:

في التوتر، يعتبر الانفعال الطولي إيجابيا، وفي الانضغاط يعتبر سلبيا.
كما تتغير الأبعاد العرضية للقضيب نتيجة التشوه؛ إذا كانت المادة متناحية الخواص، فإن تشوهاتها العرضية تكون متساوية:
.
لقد ثبت تجريبياً أنه أثناء الشد (الضغط) ضمن حدود التشوهات المرنة، تكون نسبة التشوه العرضي إلى التشوه الطولي قيمة ثابتة لمادة معينة. يتم حساب معامل نسبة الانفعال المستعرض إلى الطولي، والذي يسمى نسبة بواسون أو نسبة الانفعال المستعرض، بالصيغة:

بالنسبة للمواد المختلفة، تختلف نسبة بواسون ضمن الحدود. على سبيل المثال، للفلين، للمطاط، للصلب، للذهب.

قانون هوك
إن القوة المرنة التي تنشأ في الجسم أثناء تشوهه تتناسب طرديًا مع حجم هذا التشوه
بالنسبة لقضيب الشد الرفيع، يكون قانون هوك على الشكل التالي:

هنا، هي القوة التي يتم بها شد القضيب (ضغطه)، وهي الاستطالة المطلقة (الضغط) للقضيب، وهي معامل المرونة (أو الصلابة).
يعتمد معامل المرونة على خصائص المادة وعلى أبعاد القضيب. يمكننا تمييز الاعتماد على أبعاد القضيب (مساحة المقطع العرضي والطول) بشكل صريح عن طريق كتابة معامل المرونة كـ

وتسمى الكمية بمعامل المرونة من النوع الأول أو معامل يونج وهي خاصية ميكانيكية للمادة.
إذا قمت بإدخال الاستطالة النسبية

والإجهاد الطبيعي في المقطع العرضي

ثم سيتم كتابة قانون هوك في الوحدات النسبية على النحو التالي

في هذا النموذج يكون صالحًا لأي كميات صغيرة من المواد.
أيضًا، عند حساب القضبان المستقيمة، يتم استخدام تدوين قانون هوك بشكل نسبي

معامل يونغ
معامل يونغ (معامل المرونة) - الكمية المادية، توصيف خصائص المادة لمقاومة التوتر/الضغط أثناء التشوه المرن.
يتم حساب معامل يونغ على النحو التالي:

أين:
E - معامل المرونة،
ف - القوة،
S هي مساحة السطح التي تتوزع عليها القوة،
l هو طول القضيب القابل للتشوه،
x هو معامل التغير في طول القضيب نتيجة للتشوه المرن (يقاس بنفس وحدات الطول l).
باستخدام معامل يونغ، يتم حساب سرعة انتشار الموجة الطولية في قضيب رفيع:

أين كثافة المادة .
نسبة بواسون
نسبة بواسون (يشار إليها بـ أو) هي القيمة المطلقة لنسبة التشوه النسبي العرضي إلى الطولي لعينة المادة. ولا يعتمد هذا المعامل على حجم الجسم، بل على طبيعة المادة التي تصنع منها العينة.
معادلة
,
أين
- نسبة بواسون؛
- تشوه في الاتجاه العرضي (سلبي للتوتر المحوري، إيجابي للضغط المحوري)؛
- التشوه الطولي (إيجابي للتوتر المحوري، سلبي للضغط المحوري).

لنفكر في شعاع مستقيم ذو مقطع عرضي ثابت بطول مدمج في أحد طرفيه ومحمل في الطرف الآخر بقوة شد P (الشكل 8.2، أ). تحت تأثير القوة P، يستطيل الشعاع بمقدار معين، وهو ما يسمى الاستطالة الكاملة أو المطلقة (التشوه الطولي المطلق).

في أي نقطة من الحزمة قيد النظر توجد حالة إجهاد متطابقة، وبالتالي فإن التشوهات الخطية (انظر الفقرة 5.1) لجميع نقاطها هي نفسها. لذلك، يمكن تعريف القيمة على أنها نسبة الاستطالة المطلقة إلى الطول الأولي للحزمة I، أي. عادةً ما يسمى التشوه الخطي أثناء شد أو ضغط الحزم بالاستطالة النسبية، أو التشوه الطولي النسبي، ويتم تحديده.

لذلك،

يتم قياس السلالة الطولية النسبية بوحدات مجردة. سوف نتفق على اعتبار إجهاد الاستطالة موجبًا (الشكل 8.2، أ)، وإجهاد الانضغاط سالبًا (الشكل 8.2، ب).

كلما زاد حجم القوة التي تمد الشعاع، كلما زاد حجمه مع الآخر ظروف متساويةتمديد الشعاع؛ كلما زادت مساحة المقطع العرضي للحزمة، قل استطالة الحزمة. تمتد القضبان المصنوعة من مواد مختلفة بشكل مختلف. في الحالات التي لا تتجاوز فيها الضغوط في الحزمة حد التناسب (انظر الفقرة 1.6، الفقرة 4)، تم تحديد العلاقة التالية من خلال التجربة:

هنا N هي القوة الطولية في المقاطع العرضية للحزمة؛ - مساحة المقطع العرضي للحزمة. E - المعامل حسب الخصائص الفيزيائيةمادة.

مع الأخذ في الاعتبار أن الإجهاد الطبيعي في المقطع العرضي للحزمة نحصل عليه

يتم التعبير عن الاستطالة المطلقة للشعاع بالصيغة

أي أن التشوه الطولي المطلق يتناسب طرديًا مع القوة الطولية.

ولأول مرة تمت صياغة قانون التناسب المباشر بين القوى والتشوهات (في عام 1660). الصيغ (10.2) - (13.2) هي تعبيرات رياضية لقانون هوك لشد وضغط الحزمة.

الصيغة التالية لقانون هوك أكثر عمومية [انظر. الصيغ (11.2) و (12.2)]: السلالة الطولية النسبية تتناسب طرديا مع الإجهاد الطبيعي. في هذه الصيغة، يتم استخدام قانون هوك ليس فقط في دراسة التوتر والضغط للحزم، ولكن أيضًا في أقسام أخرى من المقرر.

تسمى الكمية E المدرجة في الصيغ (10.2) - (13.2) بمعامل المرونة من النوع الأول (ويُختصر بمعامل المرونة). وهذه الكمية هي ثابت فيزيائي للمادة، وهو ما يميز صلابتها. كلما زادت قيمة E، قل التشوه الطولي، مع تساوي العوامل الأخرى.

سوف نسمي المنتج صلابة المقطع العرضي للحزمة تحت التوتر والضغط.

يوضح الملحق الأول قيم المعامل المرن E لمختلف المواد.

يمكن استخدام الصيغة (13.2) لحساب التشوه الطولي المطلق لمقطع من حزمة الطول فقط بشرط أن يكون مقطع الحزمة داخل هذا القسم ثابتًا والقوة الطولية N هي نفسها في جميع المقاطع العرضية.

بالإضافة إلى التشوه الطولي، عند تطبيق قوة ضغط أو شد على الحزمة، يتم ملاحظة تشوه عرضي أيضًا. عندما يتم ضغط الحزمة، فإن أبعادها العرضية تزيد، وعندما يتم تمديدها، فإنها تقل. إذا تم تحديد الحجم العرضي للحزمة قبل تطبيق قوى الضغط P عليها ب، وبعد تطبيق هذه القوى (الشكل 9.2)، فستشير القيمة إلى التشوه العرضي المطلق للحزمة.

النسبة هي السلالة العرضية النسبية.

تظهر التجربة أنه عند الضغوط التي لا تتجاوز الحد المرن (انظر الفقرة 6.1، الفقرة 3)، يتناسب التشوه العرضي النسبي بشكل مباشر مع التشوه الطولي النسبي، ولكن له علامة معاكسة:

ويعتمد معامل التناسب في الصيغة (14.2) على مادة الحزمة. وتسمى نسبة التشوه العرضي، أو نسبة بواسون، وهي نسبة التشوه العرضي النسبي إلى التشوه الطولي، مأخوذة بالقيمة المطلقة، أي.

نسبة بواسون، إلى جانب معامل المرونة E، تميز الخصائص المرنة للمادة.

يتم تحديد قيمة نسبة بواسون تجريبيا. بالنسبة للمواد المختلفة، تتراوح قيمها من الصفر (للفلين) إلى قيمة قريبة من 0.50 (للمطاط والبارافين). بالنسبة للصلب، نسبة بواسون هي 0.25-0.30؛ بالنسبة لعدد من المعادن الأخرى (الحديد الزهر والزنك والبرونز والنحاس) تتراوح قيمها من 0.23 إلى 0.36. وترد القيم التقريبية لنسبة بواسون لمختلف المواد في الملحق الأول.