Addition von Brüchen mit Wurzeln im Zähler. Wie man Quadratwurzeln addiert. Die Quadratwurzel des Produkts

Das Thema Quadratwurzeln ist Pflicht in Lehrplan Mathematik Kurs. Sie können beim Lösen quadratischer Gleichungen nicht darauf verzichten. Und später wird es notwendig, nicht nur die Wurzeln zu extrahieren, sondern auch andere Aktionen mit ihnen durchzuführen. Unter ihnen sind ziemlich komplex: Potenzierung, Multiplikation und Division. Aber es gibt auch ganz einfache: Subtraktion und Addition von Wurzeln. Sie wirken übrigens nur auf den ersten Blick so. Sie fehlerfrei auszuführen, ist für jemanden, der gerade erst damit beginnt, sich damit vertraut zu machen, nicht immer einfach.

Was ist eine mathematische Wurzel?

Diese Aktion entstand im Gegensatz zur Potenzierung. Die Mathematik geht von zwei entgegengesetzten Operationen aus. Es gibt Subtraktion für Addition. Die Multiplikation steht im Gegensatz zur Division. Die umgekehrte Wirkung des Grades ist das Ziehen der entsprechenden Wurzel.

Wenn der Exponent 2 ist, dann ist die Wurzel quadratisch. Es ist am häufigsten in Schulmathematik. Es hat nicht einmal einen Hinweis darauf, dass es quadratisch ist, dh ihm ist nicht die Zahl 2 zugeordnet.Die mathematische Notation dieses Operators (Radikal) ist in der Abbildung gezeigt.

Aus der beschriebenen Aktion folgt ihre Definition nahtlos. Um die Quadratwurzel einer bestimmten Zahl zu ziehen, müssen Sie herausfinden, was der Wurzelausdruck ergibt, wenn er mit sich selbst multipliziert wird. Diese Zahl ist die Quadratwurzel. Wenn wir dies mathematisch schreiben, erhalten wir Folgendes: x * x \u003d x 2 \u003d y, was √y \u003d x bedeutet.

Welche Maßnahmen können mit ihnen ergriffen werden?

Im Kern ist eine Wurzel eine gebrochene Potenz, die eine Einheit im Zähler hat. Und der Nenner kann alles sein. Beispielsweise hat die Quadratwurzel einen Wert von zwei. Daher gelten alle Aktionen, die mit Graden durchgeführt werden können, auch für Wurzeln.

Und sie haben die gleichen Anforderungen für diese Aktionen. Wenn Multiplikation, Division und Potenzieren den Schülern keine Schwierigkeiten bereiten, dann führt sowohl das Addieren von Wurzeln als auch deren Subtraktion manchmal zu Verwirrung. Und das alles, weil Sie diese Operationen ausführen möchten, ohne auf das Zeichen der Wurzel zu achten. Und hier beginnen die Fehler.

Welche Regeln gelten für Addition und Subtraktion?

Zuerst müssen Sie sich zwei kategorische "Nein" merken:

• es ist unmöglich, Wurzeln zu addieren und zu subtrahieren, wie bei Primzahlen, dh es ist unmöglich, die Wurzelausdrücke der Summe unter einem Vorzeichen zu schreiben und mathematische Operationen mit ihnen durchzuführen;
• Sie können keine Wurzeln mit unterschiedlichen Exponenten wie quadratisch und kubisch addieren und subtrahieren.

Ein anschauliches Beispiel für das erste Verbot: √6 + √10 ≠ √16, aber √(6 + 10) = √16.

Im zweiten Fall ist es besser, sich darauf zu beschränken, die Wurzeln selbst zu vereinfachen. Und in der Antwort hinterlassen Sie ihre Summe.

Nun zu den Regeln

1. Suchen und gruppieren Sie ähnliche Wurzeln. Das heißt, diejenigen, die nicht nur die gleichen Zahlen unter dem Radikal haben, sondern selbst einen Indikator haben.
2. Führen Sie die Addition der durch die erste Aktion zu einer Gruppe zusammengefassten Wurzeln durch. Es ist einfach zu implementieren, da Sie nur die Werte hinzufügen müssen, die vor den Radikalen stehen.
3. Extrahieren Sie die Wurzeln in den Begriffen, in denen der Wurzelausdruck ein ganzes Quadrat bildet. Mit anderen Worten, lassen Sie nichts unter dem Zeichen des Radikals.
4. Stammausdrücke vereinfachen. Dazu musst du sie in Primfaktoren zerlegen und sehen, ob sie das Quadrat einer beliebigen Zahl ergeben. Es ist klar, dass dies wahr ist, wenn wir redenüber die Quadratwurzel. Wenn der Exponent drei oder vier ist, müssen die Primfaktoren die Kubik oder die vierte Potenz der Zahl ergeben.
5. Nehmen Sie unter dem Zeichen des Radikals einen Faktor heraus, der eine ganzzahlige Potenz ergibt.
6. Prüfen Sie, ob ähnliche Begriffe erneut auftauchen. Wenn ja, führen Sie den zweiten Schritt erneut durch.

In einer Situation, in der das Problem nicht den genauen Wert der Wurzel erfordert, kann er auf einem Taschenrechner berechnet werden. Runden Sie den unendlichen Dezimalbruch, der in seinem Fenster angezeigt wird. Meistens geschieht dies bis auf Hundertstel. Führen Sie dann alle Operationen für Dezimalbrüche durch.

Dies sind alle Informationen darüber, wie die Zugabe der Wurzeln durchgeführt wird. Die folgenden Beispiele veranschaulichen das Obige.

Erste Aufgabe

Berechnen Sie den Wert von Ausdrücken:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) Wenn Sie dem obigen Algorithmus folgen, können Sie sehen, dass es in diesem Beispiel nichts für die ersten beiden Aktionen gibt. Aber Sie können einige radikale Ausdrücke vereinfachen.

Faktor 32 beispielsweise in zwei Faktoren 2 und 16; 18 ist gleich dem Produkt aus 9 und 2; 128 ist 2 mal 64. In Anbetracht dessen wird der Ausdruck wie folgt geschrieben:

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).

Jetzt müssen Sie unter dem Wurzelzeichen die Faktoren herausnehmen, die das Quadrat der Zahl ergeben. Das ist 16=4 2 , 9=3 2 , 64=8 2 . Der Ausdruck hat die Form:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Wir müssen das Schreiben etwas vereinfachen. Dazu werden die Koeffizienten vor den Vorzeichen der Wurzel multipliziert:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

In diesem Ausdruck erwiesen sich alle Begriffe als ähnlich. Daher müssen sie nur gefaltet werden. Die Antwort lautet: 5√2.

b) Wie im vorherigen Beispiel beginnt die Addition von Wurzeln mit ihrer Vereinfachung. Die Wurzelausdrücke 75, 147, 48 und 300 werden durch die folgenden Paare dargestellt: 5 und 25, 3 und 49, 3 und 16, 3 und 100. Jeder von ihnen hat eine Zahl, die unter dem Wurzelzeichen herausgenommen werden kann :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

Nach Vereinfachung lautet die Antwort: 5√5 - 5√3. Es kann in dieser Form belassen werden, aber es ist besser, den gemeinsamen Faktor 5 aus der Klammer zu nehmen: 5 (√5 - √3).

c) Und wieder Faktorisierung: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Nach Ausfaktorisieren unter dem Wurzelzeichen haben wir:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Nach Reduktion ähnlicher Terme erhalten wir das Ergebnis: 7√11.

Bruchbeispiel

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Die folgenden Zahlen müssen faktorisiert werden: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Ähnlich wie bei den bereits betrachteten müssen Sie die Faktoren unter der Wurzel entfernen unterschreibe und vereinfache den Ausdruck:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Dieser Ausdruck erfordert, dass die Irrationalität im Nenner beseitigt wird. Multiplizieren Sie dazu den zweiten Term mit √2/√2:

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

Um die Aktion abzuschließen, müssen Sie den ganzzahligen Teil der Faktoren vor den Wurzeln auswählen. Der erste ist 1, der zweite ist 2.

Aufmerksamkeit!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark sind, "nicht sehr. »
Und für diejenigen, die „sehr gleichmäßig. "")

In der vorherigen Lektion haben wir herausgefunden, was eine Quadratwurzel ist. Es ist Zeit herauszufinden, was ist Formeln für Wurzeln, was sind Root-Eigenschaften und was man dagegen tun kann.

Root-Formeln, Root-Eigenschaften und Regeln für Aktionen mit Roots sind im Grunde dasselbe. Es gibt überraschend wenige Formeln für Quadratwurzeln. Was natürlich gefällt! Vielmehr kann man jede Menge allerlei Formeln schreiben, aber nur drei reichen für ein praktisches und souveränes Arbeiten mit Wurzeln. Alles andere ergibt sich aus diesen dreien. Obwohl sich viele in den drei Formeln der Wurzeln verirren, ja.

Beginnen wir mit dem Einfachsten. Da ist sie:

Ich erinnere Sie (aus der vorherigen Lektion): a und b sind nicht negative Zahlen! Sonst macht die Formel keinen Sinn.

Das Eigenschaft der Wurzeln , wie Sie sehen, einfach, kurz und harmlos. Aber mit dieser Wurzelformel können Sie viele nützliche Dinge tun! Werfen wir einen Blick auf Beispiele all diese nützlichen Dinge.

Nützliches Ding Erste. Diese Formel erlaubt uns Wurzeln vermehren.

Wie multipliziert man Wurzeln?

Ja, ganz einfach. Direkt zur Formel. Zum Beispiel:

Es scheint, dass sie sich vermehrt haben, na und? Gibt es viel Freude? Ich stimme zu, ein wenig. Aber wie gefällt dir das Beispiel?

Wurzeln werden nicht genau aus Faktoren extrahiert. Und das Ergebnis ist großartig! Schon besser, oder? Für alle Fälle werde ich Sie darüber informieren, dass es so viele Multiplikatoren geben kann, wie Sie möchten. Die Wurzelmultiplikationsformel funktioniert immer noch. Zum Beispiel:

Mit der Multiplikation ist also alles klar, warum dies erforderlich ist Eigenschaft der Wurzeln- ist auch nachvollziehbar.

Nützliche Sache die zweite. Eingabe einer Zahl unter dem Zeichen der Wurzel.

Wie gebe ich eine Zahl unter der Wurzel ein?

Nehmen wir an, wir haben diesen Ausdruck:

Ist es möglich, die Zwei in der Wurzel zu verstecken? Leicht! Wenn Sie aus zwei eine Wurzel machen, funktioniert die Formel zum Multiplizieren der Wurzeln. Und wie macht man aus einer Zwei eine Wurzel? Ja, das ist auch keine Frage! Das Doppelte ist Quadratwurzel aus vier!

Die Wurzel kann übrigens aus jeder nicht negativen Zahl gebildet werden! Dies ist die Quadratwurzel des Quadrats dieser Zahl. 3 ist die Wurzel von 9. 8 ist die Wurzel von 64. 11 ist die Wurzel von 121. Nun, und so weiter.

Natürlich muss nicht so detailliert gemalt werden. Außer für den Anfang. Es genügt zu wissen, dass jede nicht negative Zahl, die mit der Wurzel multipliziert wird, unter die Wurzel gebracht werden kann. Aber nicht vergessen! - Unter der Wurzel wird diese Nummer Quadrat selbst. Diese Aktion – das Eingeben einer Zahl unter der Wurzel – kann auch als Multiplizieren einer Zahl mit der Wurzel bezeichnet werden. Allgemein kann man schreiben:

Der Prozess ist einfach, wie Sie sehen können. Warum wird sie gebraucht?

Wie jede Transformation erweitert auch dieses Verfahren unsere Möglichkeiten. Möglichkeiten, einen grausamen und unangenehmen Ausdruck in einen weichen und flauschigen zu verwandeln). Hier ist eine einfache für Sie Beispiel:

Wie du siehst Root-Eigenschaft, was es ermöglicht, einen Faktor unter dem Vorzeichen der Wurzel einzuführen, eignet sich gut zur Vereinfachung.

Darüber hinaus macht es das Hinzufügen eines Multiplikators unter der Wurzel einfach und unkompliziert, die Werte verschiedener Wurzeln zu vergleichen. Ohne Berechnung und Taschenrechner! Die dritte nützliche Sache.

Wie vergleiche ich Wurzeln?

Diese Fähigkeit ist sehr wichtig in soliden Missionen, beim Freischalten von Modulen und anderen coolen Dingen.

Vergleichen Sie diese Ausdrücke. Welches ist mehr? Ohne Taschenrechner! Jeweils mit Taschenrechner. ähm. Kurz gesagt, jeder kann es tun!)

Das sagst du nicht gleich. Und wenn Sie Zahlen unter dem Zeichen der Wurzel eingeben?

Denken Sie daran (plötzlich nicht gewusst?): Wenn die Zahl unter dem Zeichen der Wurzel größer ist, dann ist die Wurzel selbst größer! Daher die sofort richtige Antwort, ohne komplizierte Berechnungen und Berechnungen:

Es ist großartig, oder? Aber das ist nicht alles! Denken Sie daran, dass alle Formeln sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links funktionieren. Wir haben bisher die Formel zum Multiplizieren von Wurzeln von links nach rechts verwendet. Lassen Sie uns diese Stammeigenschaft rückwärts von rechts nach links ausführen. So:

Und was ist der Unterschied? Bringt es dir was!? Bestimmt! Jetzt werden Sie es selbst sehen.

Angenommen, wir müssen (ohne Taschenrechner!) die Quadratwurzel aus der Zahl 6561 ziehen. Einige Menschen werden in diesem Stadium in einen ungleichen Kampf mit der Aufgabe geraten. Aber wir sind stur, wir geben nicht auf! Nützliches viertes.

Wie kann man Wurzeln aus großen Zahlen ziehen?

Wir erinnern uns an die Formel zum Extrahieren von Wurzeln aus einem Produkt. Die, die ich oben gepostet habe. Aber wo ist unsere Arbeit? Wir haben eine riesige Nummer 6561 und das war's. Ja, es gibt keine Kunst. Aber wenn wir es brauchen, wir Lass es uns tun! Lassen Sie uns diese Zahl faktorisieren. Wir haben das Recht.

Lassen Sie uns zuerst herausfinden, durch was genau diese Zahl teilbar ist? Was, du weißt es nicht!? Teilbarkeitszeichen vergessen!? Vergeblich. Gehen Sie zu Sondersektion 555, Thema "Brüche", dort sind sie. Diese Zahl ist durch 3 und 9 teilbar. Denn die Quersumme (6+5+6+1=18) ist durch diese Zahlen teilbar. Dies ist eines der Zeichen der Teilbarkeit. Wir müssen nicht durch drei teilen (jetzt werden Sie verstehen warum), aber wir werden durch 9 teilen. Zumindest in einer Ecke. Wir bekommen 729. Wir haben also zwei Faktoren gefunden! Die erste ist eine Neun (wir haben sie selbst gewählt) und die zweite ist 729 (so hat sich herausgestellt). Du kannst schon schreiben:

Bekomme eine Vorstellung? Machen wir dasselbe mit der Nummer 729. Sie ist auch durch 3 und 9 teilbar. Auch hier teilen wir nicht durch 3, sondern durch 9. Wir erhalten 81. Und wir kennen diese Zahl! Wir schreiben auf:

Alles ist einfach und elegant geworden! Die Wurzel musste Stück für Stück entfernt werden, na gut. Dies ist mit beliebig großen Zahlen möglich. Multipliziere sie und los!

Übrigens, warum musstest du nicht durch 3 teilen, hast du erraten? Ja, weil die Wurzel aus drei nicht exakt gezogen wird! Es ist sinnvoll, in solche Faktoren zu zerlegen, dass mindestens eine Wurzel gut extrahiert werden kann. Es ist 4, 9, 16 und so weiter. Teilen Sie Ihre riesige Zahl der Reihe nach durch diese Zahlen, sehen Sie, und Sie haben Glück!

Aber nicht unbedingt. Vielleicht kein Glück. Nehmen wir an, die Zahl 432 ergibt nach Faktorisierung und Verwendung der Wurzelformel für das Produkt das folgende Ergebnis:

Na ja, okay. Wir haben den Ausdruck trotzdem vereinfacht. In der Mathematik ist es üblich, die kleinstmögliche Zahl unter der Wurzel zu belassen. Beim Lösen hängt alles vom Beispiel ab (vielleicht wird alles ohne Vereinfachung reduziert), aber in der Antwort muss ein Ergebnis angegeben werden, das nicht weiter vereinfacht werden kann.

Weißt du übrigens, was wir jetzt mit der Wurzel von 432 gemacht haben?

Wir herausgenommen Faktoren unter dem Zeichen der Wurzel ! So nennt man diese Operation. Und dann fällt die Aufgabe - " nimm den Faktor unter dem Zeichen der Wurzel heraus„Aber die Männer wissen es nicht einmal.) Hier ist eine andere Verwendung für dich Root-Eigenschaften. Nützliches fünftes.

Wie nehme ich den Multiplikator unter der Wurzel hervor?

Leicht. Faktorisieren Sie den Wurzelausdruck und extrahieren Sie die extrahierten Wurzeln. Wir schauen:

Nichts Übernatürliches. Es ist wichtig, die richtigen Multiplikatoren auszuwählen. Hier haben wir 72 als 36 2 zerlegt. Und alles ist gut ausgegangen. Oder sie hätten es anders zerlegen können: 72 = 6 12. Na und!? Weder ab 6 noch ab 12 wird die Wurzel gezogen. Was zu tun ist?!

Nichts Schlimmes. Oder andere Zerlegungsmöglichkeiten suchen, oder alles bis zum Anschlag weiter auslegen! So:

Wie man sieht, hat alles geklappt. Das ist übrigens nicht das Schnellste, aber das Meiste zuverlässiger Weg. Zerlegen Sie die Zahl in die kleinsten Faktoren und sammeln Sie dann die gleichen in Stapeln. Die Methode wird auch erfolgreich angewendet, wenn unbequeme Wurzeln multipliziert werden. Zum Beispiel müssen Sie berechnen:

Multiplizieren Sie alles - Sie erhalten eine verrückte Zahl! Und wie kann man dann die Wurzel daraus extrahieren?! Nochmal multiplizieren? Nein, wir brauchen keine zusätzliche Arbeit. Wir zerlegen sofort in Faktoren und sammeln diese in Stapeln:

Das ist alles. Natürlich ist es nicht notwendig, bis zum Anschlag auszulegen. Alles wird von Ihren persönlichen Fähigkeiten bestimmt. Brachte das Beispiel in einen Zustand, in dem alles ist dir klar damit kannst du schon rechnen. Die Hauptsache ist, keine Fehler zu machen. Kein Mann für Mathematik, sondern Mathematik für einen Mann!)

Wissen in die Praxis umsetzen? Beginnen wir mit einem einfachen:

Regel zum Addieren von Quadratwurzeln

Eigenschaften von Quadratwurzeln

Bisher haben wir fünf Rechenoperationen mit Zahlen durchgeführt: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzierung, und verschiedene Eigenschaften dieser Operationen wurden aktiv in Berechnungen verwendet, zum Beispiel a + b = b + a und n - b n = (ab) n usw.

Dieses Kapitel stellt eine neue Operation vor - das Ziehen der Quadratwurzel aus einer nicht negativen Zahl. Um es erfolgreich zu verwenden, müssen Sie sich mit den Eigenschaften dieser Operation vertraut machen, was wir in diesem Abschnitt tun werden.

Nachweisen. Führen wir die folgende Notation ein:
Wir müssen beweisen, dass für nicht negative Zahlen x, y, z die Gleichheit x = yz gilt.

Also x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b. Dann x 2 \u003d y 2 z 2, d.h. x 2 \u003d (yz) 2.

Wenn Quadrate zwei nicht negative Zahlen gleich sind, dann sind die Zahlen selbst gleich, was bedeutet, dass aus der Gleichheit x 2 \u003d (yz) 2 folgt, dass x \u003d yz, und dies musste bewiesen werden.

Wir geben kurz den Beweis des Satzes wieder:

Bemerkung 1. Der Satz bleibt gültig für den Fall, dass der Wurzelausdruck das Produkt von mehr als zwei nicht-negativen Faktoren ist.

Bemerkung 2. Satz 1 kann mit dem „if“ geschrieben werden. , dann“ (wie es in der Mathematik für Sätze üblich ist). Wir geben die entsprechende Formulierung an: Wenn a und b nicht negative Zahlen sind, dann ist die Gleichheit .

Damit formulieren wir den folgenden Satz.

(Eine kurze, in der Praxis bequemere Formulierung: Die Wurzel eines Bruchs ist gleich dem Bruch der Wurzeln, oder die Wurzel des Quotienten ist gleich dem Quotienten der Wurzeln.)

Diesmal werden wir den Beweis nur kurz aufzeichnen, und Sie können versuchen, entsprechende Bemerkungen zu machen, ähnlich denen, die den Kern des Beweises von Theorem 1 ausmachen.

Beispiel 1. Berechnen Sie .
Lösung. Verwenden der ersten Eigenschaft Quadratwurzeln(Satz 1) erhalten wir

Bemerkung 3. Dieses Beispiel lässt sich natürlich auch anders lösen, besonders wenn man einen Taschenrechner zur Hand hat: Multiplizieren Sie die Zahlen 36, 64, 9 und ziehen Sie dann die Quadratwurzel aus dem resultierenden Produkt. Sie werden jedoch zustimmen, dass die oben vorgeschlagene Lösung kultureller aussieht.

Bemerkung 4. Bei der ersten Methode haben wir frontale Berechnungen durchgeführt. Der zweite Weg ist eleganter:
wir haben uns beworben Formel a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) und verwendete die Eigenschaft der Quadratwurzeln.

Bemerkung 5. Einige "Hitzköpfe" bieten manchmal die folgende "Lösung" für Beispiel 3 an:

Das stimmt natürlich nicht: Sie sehen - das Ergebnis ist nicht dasselbe wie in unserem Beispiel 3. Tatsache ist, dass es keine Eigenschaft gibt als keine und Eigenschaften Es gibt nur Eigenschaften bezüglich der Multiplikation und Division von Quadratwurzeln. Seien Sie vorsichtig und vorsichtig, nehmen Sie sich kein Wunschdenken.

Beispiel 4. Berechnen: a)
Lösung. Jede Formel in der Algebra wird nicht nur "von rechts nach links", sondern auch "von links nach rechts" verwendet. Die erste Eigenschaft von Quadratwurzeln bedeutet also, dass sie gegebenenfalls als dargestellt werden kann und umgekehrt, was durch den Ausdruck ersetzt werden kann. Dasselbe gilt für die zweite Eigenschaft von Quadratwurzeln. Lassen Sie uns in diesem Sinne das vorgeschlagene Beispiel lösen.

Zum Abschluss des Absatzes bemerken wir noch eine ziemlich einfache und gleichzeitig wichtige Eigenschaft:
wenn a > 0 und n - natürliche Zahl, dann

Beispiel 5 Berechnung , ohne eine Tabelle mit Zahlenquadraten und einen Taschenrechner zu verwenden.

Lösung. Zerlegen wir die Wurzelzahl in Primfaktoren:

Bemerkung 6. Dieses Beispiel könnte genauso gelöst werden wie das ähnliche Beispiel in § 15. Es ist leicht zu erraten, dass die Antwort „80 mit Schwanz“ lautet, da 80 2 2 . Finden wir den „Schwanz“, also die letzte Ziffer der gesuchten Zahl. Пока мы знаем, что если корень извлекается, то в ответе может получиться 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 или 89. Проверить надо только два числа: 84 и 86, поскольку только они при возведении в квадрат дадут ergebend vierstellig eine Zahl, die auf 6 endet, d.h. dieselbe Ziffer, die mit der Nummer 7056 endet. Wir haben 84 2 \u003d 7056 - das brauchen wir. Bedeutet,

Mordkovich A. G., Algebra. Klasse 8: Proc. für Allgemeinbildung Institutionen - 3. Aufl., abgeschlossen. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 S.: mit Abb.

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Wie man Quadratwurzeln addiert

Die Quadratwurzel einer Zahl x eine Nummer angerufen EIN, die sich im Prozess der Multiplikation mit sich selbst ( A*A) kann eine Zahl angeben x.
Diese. A * A = A 2 = X, Und √X = A.

Über Quadratwurzeln ( √x) können Sie wie bei anderen Zahlen arithmetische Operationen wie Subtraktion und Addition durchführen. Um Wurzeln zu subtrahieren und zu addieren, müssen sie mit Zeichen verbunden werden, die diesen Aktionen entsprechen (z √x - √y ).
Und dann bringen Sie die Wurzeln in ihre einfachste Form - wenn es ähnliche gibt, müssen Sie eine Besetzung machen. Es besteht darin, dass die Koeffizienten ähnlicher Terme mit den Vorzeichen der entsprechenden Terme genommen, dann in Klammern eingeschlossen und die gemeinsame Wurzel außerhalb der Multiplikatorklammern angezeigt werden. Der erhaltene Koeffizient wird nach den üblichen Regeln vereinfacht.

Schritt 1. Quadratwurzeln ziehen

Um Quadratwurzeln zu addieren, müssen Sie zunächst diese Wurzeln extrahieren. Dies ist möglich, wenn die Zahlen unter dem Wurzelzeichen Quadrate sind. Nehmen Sie zum Beispiel den angegebenen Ausdruck √4 + √9 . Erste Nummer 4 ist das Quadrat der Zahl 2 . Zweite Nummer 9 ist das Quadrat der Zahl 3 . Somit kann die folgende Gleichheit erhalten werden: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Alles, das Beispiel ist gelöst. Aber es passiert nicht immer so.

Schritt 2. Herausnehmen des Multiplikators einer Zahl unter der Wurzel

Wenn sich unter dem Wurzelzeichen keine vollen Quadrate befinden, können Sie versuchen, den Multiplikator der Zahl unter dem Wurzelzeichen zu entnehmen. Nehmen Sie zum Beispiel den Ausdruck √24 + √54 .

Faktorisieren wir die Zahlen:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Auf Liste 24 Wir haben einen Multiplikator 4 , es kann unter dem Quadratwurzelzeichen herausgenommen werden. Auf Liste 54 Wir haben einen Multiplikator 9 .

Wir erhalten die Gleichheit:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

In Anbetracht dieses Beispiels erhalten wir die Entfernung des Faktors unter dem Wurzelzeichen, wodurch der gegebene Ausdruck vereinfacht wird.

Schritt 3. Reduzierung des Nenners

Betrachten Sie die folgende Situation: Die Summe zweier Quadratwurzeln ist der Nenner eines Bruchs, zum Beispiel A / (√a + √b).
Nun stehen wir vor der Aufgabe, „die Irrationalität im Nenner loszuwerden“.
Wenden wir die folgende Methode an: Multiplizieren Sie Zähler und Nenner des Bruchs mit dem Ausdruck √a - √b.

Wir erhalten nun die abgekürzte Multiplikationsformel im Nenner:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Ebenso, wenn der Nenner die Differenz der Wurzeln enthält: √a - √b, Zähler und Nenner des Bruchs werden mit dem Ausdruck multipliziert √a + √b.

Nehmen wir als Beispiel einen Bruch:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Ein Beispiel für komplexe Nennerreduktion

Jetzt überlegen wir uns genug komplexes Beispiel Irrationalität im Nenner loswerden.

Nehmen wir als Beispiel einen Bruch: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Sie müssen seinen Zähler und Nenner nehmen und mit dem Ausdruck multiplizieren √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Schritt 4. Berechnen Sie den ungefähren Wert auf dem Taschenrechner

Wenn Sie nur einen ungefähren Wert benötigen, können Sie dies auf einem Taschenrechner tun, indem Sie den Wert von Quadratwurzeln berechnen. Für jede Zahl wird der Wert separat berechnet und mit der erforderlichen Genauigkeit aufgezeichnet, die durch die Anzahl der Dezimalstellen bestimmt wird. Außerdem werden alle erforderlichen Operationen wie bei gewöhnlichen Zahlen durchgeführt.

Geschätztes Berechnungsbeispiel

Es ist notwendig, den ungefähren Wert dieses Ausdrucks zu berechnen √7 + √5 .

Als Ergebnis erhalten wir:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Bitte beachten Sie: Quadratwurzeln sollten unter keinen Umständen als Primzahlen hinzugefügt werden, dies ist völlig inakzeptabel. Das heißt, wenn Sie die Quadratwurzel von fünf und drei addieren, können wir nicht die Quadratwurzel von acht erhalten.

Nützliche Ratschläge: Wenn Sie sich entscheiden, eine Zahl zu faktorisieren, müssen Sie, um ein Quadrat unter dem Wurzelzeichen abzuleiten, eine umgekehrte Überprüfung durchführen, dh alle Faktoren, die sich aus den Berechnungen ergeben, und das Endergebnis davon multiplizieren mathematische Berechnung sollte die Zahl sein, die uns ursprünglich gegeben wurde.

Aktion mit Wurzeln: Addition und Subtraktion

Das Ziehen der Quadratwurzel einer Zahl ist nicht die einzige Operation, die mit diesem mathematischen Phänomen durchgeführt werden kann. Genau wie gewöhnliche Zahlen können Quadratwurzeln addiert und subtrahiert werden.

Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Quadratwurzeln

Aktionen wie das Addieren und Subtrahieren einer Quadratwurzel sind nur möglich, wenn der Wurzelausdruck gleich ist.

Sie können Ausdrücke addieren oder subtrahieren 2 3 und 6 3, aber nicht 5 6 Und 9 4 . Wenn es möglich ist, den Ausdruck zu vereinfachen und ihn mit derselben Wurzelzahl zu wurzeln, dann vereinfache und dann addiere oder subtrahiere.

Root-Aktionen: Die Grundlagen

6 50 — 2 8 + 5 12

1. Vereinfachen Sie den Wurzelausdruck. Dazu muss der Wurzelausdruck in 2 Faktoren zerlegt werden, von denen einer eine Quadratzahl ist (die Zahl, aus der die ganze Quadratwurzel gezogen wird, z. B. 25 oder 9).
2. Dann musst du die Wurzel aus der Quadratzahl ziehen und schreiben Sie den resultierenden Wert vor das Wurzelzeichen. Bitte beachten Sie, dass der zweite Faktor unter dem Wurzelzeichen eingetragen wird.
3. Nach dem Vereinfachungsprozess müssen die Wurzeln mit denselben Wurzelausdrücken unterstrichen werden - nur sie können addiert und subtrahiert werden.
4. Bei Wurzeln mit gleichen Wurzelausdrücken müssen die Faktoren, die dem Wurzelzeichen vorangehen, addiert oder subtrahiert werden. Der Stammausdruck bleibt unverändert. Keine Wurzelzahlen addieren oder subtrahieren!

Wenn Sie ein Beispiel mit vielen identischen Radikalausdrücken haben, dann unterstreichen Sie solche Ausdrücke mit einfachen, doppelten und dreifachen Linien, um die Berechnung zu erleichtern.

Versuchen wir es mit diesem Beispiel:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Zuerst müssen Sie 50 in 2 Faktoren 25 und 2 zerlegen, dann die Wurzel von 25 ziehen, die 5 ist, und 5 unter der Wurzel herausziehen. Danach müssen Sie 5 mit 6 multiplizieren (der Multiplikator an der Wurzel) und erhalten 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Zuerst müssen Sie 8 in 2 Faktoren zerlegen: 4 und 2. Dann extrahieren Sie aus 4 die Wurzel, die gleich 2 ist, und nehmen Sie 2 unter der Wurzel heraus. Danach müssen Sie 2 mit 2 (dem Faktor an der Wurzel) multiplizieren und erhalten 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Zuerst müssen Sie 12 in 2 Faktoren zerlegen: 4 und 3. Dann extrahieren Sie die Wurzel aus 4, die 2 ist, und nehmen Sie sie unter der Wurzel heraus. Danach müssen Sie 2 mit 5 (dem Faktor an der Wurzel) multiplizieren und erhalten 10 3 .

Ergebnis der Vereinfachung: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Als Ergebnis haben wir gesehen, wie viele identische Radikalausdrücke in enthalten sind dieses Beispiel. Lassen Sie uns nun mit anderen Beispielen üben.

• Vereinfache (45) . Wir faktorisieren 45: (45) = (9 × 5) ;
• Wir nehmen 3 unter der Wurzel heraus (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
• Wir addieren die Faktoren an den Wurzeln: 3 5 + 4 5 = 7 5 .
• Vereinfachen 6 40 . Wir faktorisieren 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
• Wir nehmen 2 unter der Wurzel heraus (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
• Wir multiplizieren die Faktoren, die vor der Wurzel stehen: 12 10;
• Wir schreiben den Ausdruck vereinfacht: 12 10 - 3 10 + 5;
• Da die ersten beiden Terme die gleichen Wurzelzahlen haben, können wir sie subtrahieren: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Wie wir sehen, ist es nicht möglich, die Wurzelzahlen zu vereinfachen, also suchen wir im Beispiel nach Gliedern mit den gleichen Wurzelzahlen, führen mathematische Operationen durch (addieren, subtrahieren usw.) und schreiben das Ergebnis:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Beratung:

• Vor dem Addieren oder Subtrahieren ist es unbedingt erforderlich, die Wurzelausdrücke (wenn möglich) zu vereinfachen.
• Das Addieren und Subtrahieren von Wurzeln mit unterschiedlichen Wurzelausdrücken ist streng verboten.
• Addieren oder subtrahieren Sie keine ganzen Zahlen oder Quadratwurzeln: 3 + (2 x) 1 / 2 .
• Wenn Sie Aktionen mit Brüchen ausführen, müssen Sie eine Zahl finden, die durch jeden Nenner vollständig teilbar ist, dann die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, dann die Zähler addieren und die Nenner unverändert lassen.

Eigenschaften der arithmetischen Quadratwurzel. Potenz der arithmetischen Quadratwurzel

Arithmetische Quadratwurzeln umwandeln. Umrechnung von arithmetischen Quadratwurzeln

Extrahieren Quadratwurzel eines Polynoms, ist es notwendig, das Polynom zu berechnen und die Wurzel aus der resultierenden Zahl zu ziehen.

Aufmerksamkeit! Es ist unmöglich, die Wurzel aus jedem Term (reduziert und subtrahiert) separat zu ziehen.

Shchob gewinnt Quadratwurzel des Polynoms, besteht die Anforderung darin, den reichen Term zu berechnen und aus der subtrahierten Zahl die Wurzel zu ziehen.

Respekt! Es ist unmöglich, die Wurzel aus dem Hautzusatz (verändert und sichtbar) OKremo zu extrahieren.

So ziehen Sie die Quadratwurzel des Produkts (Quotient), können Sie die Quadratwurzel jedes Faktors (Dividende und Divisor) berechnen und die resultierenden Werte durch das Produkt (Quotient) bilden.

Die Quadratwurzel der Dobutka (Teile) gewinnen, können Sie die Quadratwurzel des Hautmultiplikators (geteilt und dilnik) berechnen und den Wert entfernen, indem Sie einen Zusatz (häufig) nehmen.

Aus einem Bruch die Quadratwurzel ziehen, müssen Sie die Quadratwurzel aus Zähler und Nenner separat ziehen und die resultierenden Werte als Bruch belassen oder als Quotient berechnen (wenn durch Bedingung möglich).

Um die Quadratwurzel des Bruchs zu gewinnen, Sie müssen die Quadratwurzel des Zahlenbuchs und des Banners des Okremo ziehen und den Wert des Bruchs mit einem Bruch berauben oder ihn als Teil zählen (wie es für den Verstand möglich ist).

Unter dem Wurzelzeichen kann ein Faktor herausgenommen und unter dem Wurzelzeichen ein Faktor eingeführt werden. Wenn ein Faktor herausgenommen wird, wird die Wurzel daraus gezogen, und wenn er eingeführt wird, wird er mit der entsprechenden Potenz erhoben.

Das 3. Wurzelzeichen kann multipliziert werden und das Wurzelzeichen kann multipliziert werden. Mit dem Fehler des Multiplikators werden die Wurzeln verdreht und mit der Einführung werden die Wurzeln an den höheren Füßen gebaut.

Beispiele. Anwenden

Um die Summe (Differenz) von Quadratwurzeln umzurechnen, müssen Sie die Wurzelausdrücke auf eine Basis des Grades bringen, wenn möglich die Wurzeln aus den Graden ziehen und sie vor die Vorzeichen der Wurzeln schreiben, und die restlichen Quadratwurzeln mit dieselben Wurzelausdrücke können hinzugefügt werden, für die die Koeffizienten vor der Vorzeichenwurzel hinzugefügt werden und dieselbe Quadratwurzel hinzufügen.

Um die Summe (Kosten) der Quadratwurzeln neu zu bilden, ist es notwendig, die Wurzelwurzeln zu einer der Basen des Schritts zu bringen, da es möglich ist, die Wurzel der Schritte zu ziehen und sie vor den Zeichen von aufzuschreiben die Wurzeln, und die Lösung der Quadratwurzeln mit denselben Wurzelwörtern, die ich für das, was ich hinzufügen kann, zusammensetzen und dieselbe Quadratwurzel hinzufügen kann.

Wir bringen alle Radikalausdrücke zur Basis 2.

Ab einem geraden Grad wird die Wurzel komplett gezogen, ab einem ungeraden Grad wird die Wurzel der Basis im Grad 1 unter dem Zeichen der Wurzel belassen.

Wir geben ähnliche ganze Zahlen und addieren die Koeffizienten mit denselben Wurzeln. Wir schreiben das Binom als Produkt einer Zahl und das Binom der Summe.

Bringen Sie alle Unterwurzeln des Virazi zur Basis 2.

Ab dem gepaarten Stadium werden die Wurzeln in einer Reihe gezogen, ab dem ungepaarten Stadium werden die Wurzeln der Basis in Stadium 1 unter dem Zeichen der Wurzel gefüllt.

Es wird vorgeschlagen, dass ähnliche Zahlen und Koeffizienten zu denselben Wurzeln addiert werden. Wir schreiben das Binom als Ergänzung der Zahl i des Sumi-Binoms.

Wir bringen die radikalen Ausdrücke auf die kleinste Basis oder das Potenzprodukt mit den kleinsten Basen. Aus geraden Graden radikaler Ausdrücke extrahieren wir die Wurzel, lassen den Rest in Form einer Gradbasis mit einem Indikator von 1 oder dem Produkt solcher Basen unter dem Zeichen der Wurzel. Wir geben ähnliche Terme an (addieren Sie die Koeffizienten derselben Wurzeln).

Wir führen die Wurzel des Virazi zur kleinsten Basis oder die Addition von Stufen mit den kleinsten Basen. Von den dampfenden Stufen unter den Wurzeln des Viraz werden die Wurzeln genommen, der Überschuss an der Basis der Stufe mit dem Indikator 1 oder der Zusatz solcher Basen wird unter dem Zeichen der Wurzel aufgefüllt. Wir schlagen ähnliche Begriffe vor (wir addieren die Koeffizienten derselben Wurzeln).

Lassen Sie uns die Division von Brüchen durch Multiplikation ersetzen (mit dem Ersetzen des zweiten Bruchs durch den Kehrwert). Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner getrennt. Unter jedem Zeichen der Wurzel heben wir die Grade hervor. Lassen Sie uns dieselben Faktoren im Zähler und Nenner kürzen. Wir ziehen Wurzeln aus gleichmäßigen Kräften.

Wir ersetzen die Division von Brüchen durch eine Multiplikation (durch das Ersetzen eines anderen Bruchs durch eine Rückkehr). Multiplizieren Sie Okremo-Zahlen und Banner von Brüchen. Unter dem Hautzeichen der Wurzel sind Stufen sichtbar. Wir werden die gleichen Multiplikatoren im Nummernbuch und im Banner beschleunigen. Geben Sie der Wurzel der Zwillingsschritte die Schuld.

Zwei Quadratwurzeln vergleichen, ihre Wurzelausdrücke müssen auf Grade mit derselben Basis reduziert werden, je mehr Sie die Grade des Wurzelausdrucks zeigen, desto größer ist der Wert der Quadratwurzel.

In diesem Beispiel können Radikalausdrücke nicht auf eine Basis reduziert werden, da die Basis 3 im ersten und 3 und 7 im zweiten ist.

Die zweite Vergleichsmöglichkeit besteht darin, den Koeffizienten der Wurzel in den Wurzelausdruck einzugeben und die Zahlenwerte der Wurzelausdrücke zu vergleichen. Bei einer Quadratwurzel gilt: Je größer der Wurzelausdruck, desto größer der Wert der Wurzel.

Um zwei Quadratwurzeln zu vergleichen, müssen ihre Unterwurzeln auf ein Niveau mit der gleichen Basis gebracht werden, während der Wert der Quadratwurzel umso größer ist, je größer der Indikator für den Grad der Unterwurzel des Virus ist.

In diesem Fall ist es nicht möglich, die Wurzelwurzeln der Virazi auf eine Basis zu bringen, da die Basis in der ersten 3 und in der anderen 3 und 7 ist.

Eine andere Möglichkeit zum Ausgleichen besteht darin, den Wurzelkoeffizienten zur Wurzelvirase zu addieren und die numerischen Werte der Wurzelvirase auszugleichen. Die Quadratwurzel hat mehr Sub-Wurzel-Viraz, desto mehr Wert hat die Wurzel.

Unter Verwendung des Distributivgesetzes der Multiplikation und der Regel zum Multiplizieren von Wurzeln mit denselben Exponenten (in unserem Fall Quadratwurzeln) haben wir die Summe zweier Quadratwurzeln mit dem Produkt unter dem Wurzelzeichen erhalten. Wir zerlegen 91 in Primfaktoren und ziehen die Wurzel aus Klammern mit gemeinsamen Wurzelfaktoren (13 * 5).

Wir haben das Produkt einer Wurzel und eines Binoms erhalten, wobei eines der Monome eine ganze Zahl (1) ist.

Vikoristovuyuchi rozpodilny Gesetz der Multiplikation und die Regel der Multiplikation von Wurzeln mit den gleichen Indikatoren (in unserem Fall - Quadratwurzeln), nahm die Summe von zwei Quadratwurzeln mit einer zusätzlichen Wurzel unter dem Zeichen der Wurzel. Wir können 91 Multiplikatoren in einfachen Worten auslegen und die Wurzel für die Bögen aus den Wurzelmultiplikatoren (13 * 5) ziehen.

Wir haben eine Wurzel und eine Binärzahl hinzugefügt, die eines der Mononome in der ganzen Zahl (1) hat.

Beispiel 9:

Bei den Wurzelausdrücken wählen wir durch Faktoren die Zahlen aus, aus denen wir die ganze Quadratwurzel ziehen können. Wir ziehen die Quadratwurzeln aus den Potenzen und setzen die Zahlen durch die Koeffizienten der Quadratwurzeln.

Die Terme dieses Polynoms haben einen gemeinsamen Faktor √3, der aus den Klammern genommen werden kann. Lassen Sie uns ähnliche Begriffe vorstellen.

In Unterwurzelvirasen wird es als Multiplikator der Zahl angesehen, aus der man die Quadratwurzel ziehen kann. Wir beschuldigen die Quadratwurzeln der Schritte und setzen die Zahlen durch die Koeffizienten der Quadratwurzeln.

Die Terme dieses Polynoms haben einen gemeinsamen Multiplikator √3, der für die Arme verantwortlich gemacht werden kann. Wir schlagen ähnliche Ergänzungen vor.

Das Produkt aus Summe und Differenz zweier identischer Basen (3 und √5) lässt sich mit der abgekürzten Multiplikationsformel als Differenz der Quadrate der Basen schreiben.

Die Quadratwurzel zum Quadrat ist immer gleich dem Wurzelausdruck, also werden wir die Wurzel (Wurzelzeichen) im Ausdruck los.

Dobutok Summe und Differenz zweier identischer Basen (3 і √5) aus der Formel der schnellen Multiplikation können als Differenz von quadratischen Basen geschrieben werden.

Die Quadratwurzel des Quadrats zavzhd ist gleich der Unterwurzel Virase, also nennen wir das Radikal (Wurzelzeichen) der Virase.

Zurück zur Schule. Hinzufügen von Wurzeln

In unserer Zeit moderner elektronischer Computer ist das Berechnen der Wurzel einer Zahl keine schwierige Aufgabe. Zum Beispiel √2704=52, jeder Taschenrechner berechnet dies für Sie. Glücklicherweise ist der Rechner nicht nur in Windows, sondern auch in einem gewöhnlichen, selbst dem einfachsten Telefon. Richtig, wenn Sie sich plötzlich (mit einer geringen Wahrscheinlichkeit, deren Berechnung übrigens das Hinzufügen von Wurzeln beinhaltet) ohne finden verfügbares Vermögen, dann müssen Sie sich leider nur auf Ihr Gehirn verlassen.

Geistestraining versagt nie. Besonders für diejenigen, die nicht so oft mit Zahlen arbeiten, und erst recht mit Wurzeln. Das Addieren und Subtrahieren von Wurzeln ist ein gutes Training für einen gelangweilten Geist. Und ich zeige Ihnen Schritt für Schritt das Hinzufügen von Wurzeln. Beispiele für Ausdrücke können die folgenden sein.

Die zu vereinfachende Gleichung lautet:

Das ist ein irrationaler Ausdruck. Um es zu vereinfachen, müssen Sie alle radikalen Ausdrücke auf eine gemeinsame Form bringen. Wir machen es in Etappen:

Die erste Zahl lässt sich nicht mehr vereinfachen. Kommen wir zum zweiten Term.

3√48 faktorisieren wir 48: 48=2×24 oder 48=3×16. Die Quadratwurzel von 24 ist keine ganze Zahl, d.h. hat einen gebrochenen Rest. Da wir einen genauen Wert benötigen, sind Näherungswurzeln für uns nicht geeignet. Die Quadratwurzel von 16 ist 4, nimm sie unter dem Wurzelzeichen hervor. Wir erhalten: 3×4×√3=12×√3

Unser nächster Ausdruck ist negativ, d.h. geschrieben mit Minuszeichen -4×√(27.) Faktorisierung 27. Wir erhalten 27=3×9. Wir verwenden keine gebrochenen Faktoren, weil es schwieriger ist, die Quadratwurzel aus Brüchen zu berechnen. Wir nehmen 9 unter dem Zeichen heraus, d.h. Quadratwurzel berechnen. Wir erhalten den folgenden Ausdruck: -4×3×√3 = -12×√3

Der nächste Term √128 berechnet den Teil, der unter der Wurzel herausgenommen werden kann. 128=64×2 wobei √64=8. Wenn es dir leichter fällt, kannst du diesen Ausdruck auch so darstellen: √128=√(8^2×2)

Wir schreiben den Ausdruck mit vereinfachten Termen um:

Jetzt addieren wir die Zahlen mit demselben Wurzelausdruck. Ausdrücke mit unterschiedlichen Radikalausdrücken können nicht addiert oder subtrahiert werden. Das Hinzufügen von Wurzeln erfordert die Einhaltung dieser Regel.

Wir bekommen folgende Antwort:

√2=1×√2 - Ich hoffe, dass es in der Algebra üblich ist, solche Elemente wegzulassen, wird Ihnen nichts Neues sein.

Ausdrücke können nicht nur durch Quadratwurzeln, sondern auch durch Kubik- oder n-te Wurzeln dargestellt werden.

Die Addition und Subtraktion von Wurzeln mit unterschiedlichen Exponenten, aber mit einem äquivalenten Wurzelausdruck, erfolgt wie folgt:

Wenn wir einen Ausdruck wie √a+∛b+∜b haben, dann können wir diesen Ausdruck wie folgt vereinfachen:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Wir haben zwei ähnliche Terme auf den gemeinsamen Exponenten der Wurzel reduziert. Hier wurde die Eigenschaft der Wurzeln verwendet, die besagt: Wenn die Zahl des Grades des Wurzelausdrucks und die Zahl des Wurzelexponenten mit derselben Zahl multipliziert werden, bleibt ihre Berechnung unverändert.

Hinweis: Exponenten werden nur addiert, wenn sie multipliziert werden.

Betrachten Sie ein Beispiel, in dem Brüche in einem Ausdruck vorhanden sind.

Lösen wir es Schritt für Schritt:

5√8=5*2√2 - wir nehmen den extrahierten Teil unter der Wurzel heraus.

Wenn der Körper der Wurzel durch einen Bruch dargestellt wird, ändert sich dieser Bruch oft nicht, wenn die Quadratwurzel aus dem Dividenden und dem Divisor gezogen wird. Als Ergebnis haben wir die oben beschriebene Gleichheit erhalten.

Hier ist die Antwort.

Die Hauptsache, an die Sie sich erinnern sollten, ist, dass eine Wurzel mit einem geraden Exponenten nicht aus negativen Zahlen gezogen wird. Wenn ein Radikalausdruck geraden Grades negativ ist, dann ist der Ausdruck unlösbar.

Das Hinzufügen der Wurzeln ist nur möglich, wenn die Wurzelausdrücke übereinstimmen, da es sich um ähnliche Begriffe handelt. Gleiches gilt für die Differenz.

Die Addition von Wurzeln mit unterschiedlichen Zahlenexponenten erfolgt durch Reduktion beider Terme auf einen gemeinsamen Wurzelgrad. Dieses Gesetz funktioniert genauso wie die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner beim Addieren oder Subtrahieren von Brüchen.

Wenn der Wurzelausdruck eine potenzierte Zahl enthält, dann kann dieser Ausdruck vereinfacht werden, vorausgesetzt, es gibt einen gemeinsamen Nenner zwischen der Wurzel und dem Exponenten.

Die Quadratwurzel aus einem Produkt und einem Bruch

Die Quadratwurzel von a ist eine Zahl, deren Quadrat a ist. Zum Beispiel sind die Zahlen -5 und 5 die Quadratwurzeln der Zahl 25. Das heißt, die Wurzeln der Gleichung x^2=25 sind die Quadratwurzeln der Zahl 25. Jetzt müssen Sie lernen, wie man mit der arbeitet Quadratwurzeloperation: Untersuchen Sie ihre grundlegenden Eigenschaften.

Die Quadratwurzel des Produkts

√(a*b)=√a*√b

Die Quadratwurzel des Produkts zweier nicht negativer Zahlen ist gleich dem Produkt der Quadratwurzeln dieser Zahlen. Beispiel: √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Es ist wichtig zu verstehen, dass diese Eigenschaft auch für den Fall gilt, wenn der Wurzelausdruck das Produkt von drei, vier usw. ist. nicht negative Multiplikatoren.

Manchmal gibt es eine andere Formulierung dieser Eigenschaft. Wenn a und b nicht negative Zahlen sind, dann gilt die folgende Gleichheit: √(a*b) =√a*√b. Es gibt absolut keinen Unterschied zwischen ihnen, Sie können entweder den einen oder den anderen Wortlaut verwenden (welcher sich besser merken lässt).

Die Quadratwurzel eines Bruchs

Wenn a>=0 und b>0, dann gilt die folgende Gleichheit:

√(a/b)=√a/√b.

Beispiel: √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Diese Eigenschaft hat auch eine andere Formulierung, die meiner Meinung nach bequemer zu merken ist.
Die Quadratwurzel des Quotienten ist gleich dem Quotienten der Wurzeln.

Es ist erwähnenswert, dass diese Formeln sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links funktionieren. Das heißt, wir können bei Bedarf das Produkt der Wurzeln als Wurzel des Produkts darstellen. Dasselbe gilt für die zweite Eigenschaft.

Wie Sie sehen können, sind diese Eigenschaften sehr praktisch, und ich hätte gerne die gleichen Eigenschaften für Addition und Subtraktion:

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

Aber leider sind solche Eigenschaften quadratisch keine Wurzeln haben, und so kann nicht in Berechnungen durchgeführt werden..

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In der Mathematik hat jede Handlung ihr eigenes Gegensatzpaar - im Wesentlichen ist dies eine der Manifestationen des Hegelschen Gesetzes der Dialektik: "die Einheit und der Kampf der Gegensätze". Eine der Aktionen in einem solchen „Paar“ zielt darauf ab, die Anzahl zu erhöhen, und die andere, das Gegenteil davon, verringert sich. Beispielsweise ist die der Addition entgegengesetzte Aktion die Subtraktion, und die Division entspricht der Multiplikation. Die Erhebung zur Macht hat auch ihr eigenes dialektisches Gegensatzpaar. Es geht um Wurzelextraktion.

Die Wurzel von diesem und jenem Grad aus einer Zahl zu ziehen bedeutet, zu berechnen, welche Zahl mit der entsprechenden Potenz potenziert werden muss, um auf diese Zahl zu kommen. Die beiden Grade haben ihre eigenen Namen: Der zweite Grad heißt "Quadrat" und der dritte - der "Würfel". Dementsprechend ist es angenehm, die Wurzeln dieser Potenzen Quadratwurzel und Kubikwurzel zu nennen. Aktionen mit Kubikwurzeln sind ein Thema für eine separate Diskussion, aber lassen Sie uns jetzt über das Hinzufügen von Quadratwurzeln sprechen.

Beginnen wir mit der Tatsache, dass es in manchen Fällen einfacher ist, zuerst Quadratwurzeln zu ziehen und dann die Ergebnisse zu addieren. Angenommen, wir müssen den Wert eines solchen Ausdrucks finden:

Schließlich ist es überhaupt nicht schwer zu berechnen, dass die Quadratwurzel von 16 4 ist und von 121 - 11. Daher gilt

√16+√121=4+11=15

Dies ist jedoch der einfachste Fall - hier sprechen wir von vollen Quadraten, d.h. über Zahlen, die man durch Quadrieren ganzer Zahlen erhält. Aber das ist nicht immer der Fall. Zum Beispiel ist die Zahl 24 kein perfektes Quadrat (es gibt keine solche ganze Zahl, die, wenn sie mit der zweiten Potenz erhoben wird, 24 ergeben würde). Dasselbe gilt für eine Zahl wie 54 ... Was ist, wenn wir die Quadratwurzeln dieser Zahlen addieren müssen?

In diesem Fall erhalten wir als Antwort keine Zahl, sondern einen anderen Ausdruck. Das Maximum, was wir hier tun können, ist, den ursprünglichen Ausdruck so weit wie möglich zu vereinfachen. Dazu müssen Sie die Faktoren unter der Quadratwurzel herausziehen. Sehen wir uns am Beispiel der genannten Zahlen an, wie das geht:

Lassen Sie uns zunächst 24 faktorisieren - und zwar so, dass eine davon leicht als Quadratwurzel gezogen werden kann (d. h. so, dass es ein perfektes Quadrat ist). Es gibt eine solche Zahl - das ist 4:

Machen wir jetzt dasselbe mit 54. In seiner Zusammensetzung wird diese Zahl 9 sein:

Somit erhalten wir Folgendes:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

Lassen Sie uns nun die Wurzeln aus dem extrahieren, woraus wir sie extrahieren können: 2*√6+3*√6

Hier gibt es einen gemeinsamen Faktor, den wir aus Klammern herausnehmen können:

(2+3)* √6=5*√6

Dies ist das Ergebnis der Addition - hier kann nichts mehr extrahiert werden.

Sie können zwar auf einen Taschenrechner zurückgreifen - das Ergebnis ist jedoch ungefähr und mit einer großen Anzahl von Dezimalstellen:

√6=2,449489742783178

Wenn wir es allmählich aufrunden, erhalten wir ungefähr 2,5. Wenn wir die Lösung des vorherigen Beispiels noch zu Ende führen möchten, können wir dieses Ergebnis mit 5 multiplizieren – und erhalten 12,5. Ein genaueres Ergebnis lässt sich mit solchen Ausgangsdaten nicht erzielen.

Wurzelformeln. Eigenschaften von Quadratwurzeln.

Aufmerksamkeit!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

In der vorherigen Lektion haben wir herausgefunden, was eine Quadratwurzel ist. Es ist Zeit herauszufinden, was ist Formeln für Wurzeln, was sind Root-Eigenschaften und was man dagegen tun kann.

Root-Formeln, Root-Eigenschaften und Regeln für Aktionen mit Roots- Es ist im Wesentlichen dasselbe. Es gibt überraschend wenige Formeln für Quadratwurzeln. Was natürlich gefällt! Vielmehr kann man jede Menge allerlei Formeln schreiben, aber nur drei reichen für ein praktisches und souveränes Arbeiten mit Wurzeln. Alles andere ergibt sich aus diesen dreien. Obwohl sich viele in den drei Formeln der Wurzeln verirren, ja ...

Beginnen wir mit dem Einfachsten. Da ist sie:

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In unserer Zeit moderner elektronischer Computer ist das Berechnen der Wurzel einer Zahl keine schwierige Aufgabe. Zum Beispiel √2704=52, jeder Taschenrechner berechnet dies für Sie. Glücklicherweise ist der Rechner nicht nur in Windows, sondern auch in einem gewöhnlichen, selbst dem einfachsten Telefon. Richtig, wenn Sie plötzlich (mit einer geringen Wahrscheinlichkeit, deren Berechnung übrigens das Hinzufügen von Wurzeln beinhaltet) ohne verfügbare Mittel stehen, müssen Sie sich leider nur auf Ihr Gehirn verlassen.

Geistestraining versagt nie. Besonders für diejenigen, die nicht so oft mit Zahlen arbeiten, und erst recht mit Wurzeln. Das Addieren und Subtrahieren von Wurzeln ist ein gutes Training für einen gelangweilten Geist. Und ich zeige Ihnen Schritt für Schritt das Hinzufügen von Wurzeln. Beispiele für Ausdrücke können die folgenden sein.

Die zu vereinfachende Gleichung lautet:

√2+3√48-4×√27+√128

Das ist ein irrationaler Ausdruck. Um es zu vereinfachen, müssen Sie alle radikalen Ausdrücke auf eine gemeinsame Form bringen. Wir machen es in Etappen:

Die erste Zahl lässt sich nicht mehr vereinfachen. Kommen wir zum zweiten Term.

3√48 faktorisieren wir 48: 48=2×24 oder 48=3×16. von 24 ist keine ganze Zahl, d.h. hat einen gebrochenen Rest. Da wir einen genauen Wert benötigen, sind Näherungswurzeln für uns nicht geeignet. Die Quadratwurzel von 16 ist 4, nimm sie unter raus. Wir bekommen: 3×4×√3=12×√3

Unser nächster Ausdruck ist negativ, d.h. geschrieben mit Minuszeichen -4×√(27.) Faktorisierung 27. Wir erhalten 27=3×9. Wir verwenden keine gebrochenen Faktoren, weil es schwieriger ist, die Quadratwurzel aus Brüchen zu berechnen. Wir nehmen 9 unter dem Zeichen heraus, d.h. Quadratwurzel berechnen. Wir erhalten den folgenden Ausdruck: -4×3×√3 = -12×√3

Der nächste Term √128 berechnet den Teil, der unter der Wurzel herausgenommen werden kann. 128=64×2 wobei √64=8. Wenn es dir leichter fällt, kannst du diesen Ausdruck auch so darstellen: √128=√(8^2×2)

Wir schreiben den Ausdruck mit vereinfachten Termen um:

√2+12×√3-12×√3+8×√2

Jetzt addieren wir die Zahlen mit demselben Wurzelausdruck. Ausdrücke mit unterschiedlichen Radikalausdrücken können nicht addiert oder subtrahiert werden. Das Hinzufügen von Wurzeln erfordert die Einhaltung dieser Regel.

Wir bekommen folgende Antwort:

√2+12√3-12√3+8√2=9√2

√2=1×√2 - Ich hoffe, dass es in der Algebra üblich ist, solche Elemente wegzulassen, wird Ihnen nichts Neues sein.

Ausdrücke können nicht nur durch Quadratwurzeln, sondern auch durch Kubik- oder n-te Wurzeln dargestellt werden.

Die Addition und Subtraktion von Wurzeln mit unterschiedlichen Exponenten, aber mit einem äquivalenten Wurzelausdruck, erfolgt wie folgt:

Wenn wir einen Ausdruck wie √a+∛b+∜b haben, dann können wir diesen Ausdruck wie folgt vereinfachen:

∛b+∜b=12×√b4 +12×√b3

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Wir haben zwei ähnliche Terme auf den gemeinsamen Exponenten der Wurzel reduziert. Hier wurde die Eigenschaft der Wurzeln verwendet, die besagt: Wenn die Zahl des Grades des Wurzelausdrucks und die Zahl des Wurzelexponenten mit derselben Zahl multipliziert werden, bleibt ihre Berechnung unverändert.

Hinweis: Exponenten werden nur addiert, wenn sie multipliziert werden.

Betrachten Sie ein Beispiel, in dem Brüche in einem Ausdruck vorhanden sind.

5√8-4×√(1/4)+√72-4×√2

Lösen wir es Schritt für Schritt:

5√8=5*2√2 - wir nehmen den extrahierten Teil unter der Wurzel heraus.

4√(1/4)=-4 √1/(√4)= - 4 *1/2= - 2

Wenn der Körper der Wurzel durch einen Bruch dargestellt wird, ändert sich dieser Bruch oft nicht, wenn die Quadratwurzel aus dem Dividenden und dem Divisor gezogen wird. Als Ergebnis haben wir die oben beschriebene Gleichheit erhalten.

√72-4√2=√(36×2)- 4√2=2√2

10√2+2√2-2=12√2-2

Hier ist die Antwort.

Die Hauptsache, an die Sie sich erinnern sollten, ist, dass eine Wurzel mit einem geraden Exponenten nicht aus negativen Zahlen gezogen wird. Wenn ein Radikalausdruck geraden Grades negativ ist, dann ist der Ausdruck unlösbar.

Das Hinzufügen der Wurzeln ist nur möglich, wenn die Wurzelausdrücke übereinstimmen, da es sich um ähnliche Begriffe handelt. Gleiches gilt für die Differenz.

Die Addition von Wurzeln mit unterschiedlichen Zahlenexponenten erfolgt durch Reduktion beider Terme auf einen gemeinsamen Wurzelgrad. Dieses Gesetz funktioniert genauso wie die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner beim Addieren oder Subtrahieren von Brüchen.

Wenn der Wurzelausdruck eine potenzierte Zahl enthält, dann kann dieser Ausdruck vereinfacht werden, vorausgesetzt, es gibt einen gemeinsamen Nenner zwischen der Wurzel und dem Exponenten.