Die goldene Proportion in der Natur. Der Goldene Schnitt in Natur, Mensch, Kunst. Die Kunst der Raumformen

Es gibt Beispiele, die einem Konzept wie dem Goldenen Schnitt nahe stehen oder eng mit der Mathematik verwandt sind. Aber die Behauptung, der Goldene Schnitt sei etwas Universelles, ist übertrieben. Oft sehen wir nur ein bestimmtes bekanntes Muster, bei dem tatsächlich ein allgemeinerer Fall beobachtet wird.

Fibonacci-Zahlen

Wann es kommtÜber das Verhältnis in der Natur wenden Wissenschaftler zwei wissenschaftliche Hauptphänomene an - Fibonacci-Zahlen und goldene Spiralen.

Fibonacci-Zahlen bilden eine Folge, wobei jede von ihnen die Summe der beiden vorhergehenden ist. Das Verhältnis zweier benachbarter Fibonacci-Zahlen ist eine Annäherung an den Goldenen Schnitt.

Diese Verteilung trifft häufig auf Pflanzen zu, obwohl nicht alle nach diesem Prinzip wachsen. Daher können wir nicht sagen, dass dies ihre universelle Eigenschaft ist.

Der goldene Schnitt der Muschel

Welche anderen Beispiele können Sie nennen? Der Romanesco-Kohl und die Nautilus-Schale folgen regelmäßigen Spiralmustern, aber nicht der traditionellen goldenen Spirale. Diese Spirale entsteht, indem der Radius im Goldenen Schnitt alle 90 Grad vergrößert wird.

Die Nautilus-Schale kann besser als eine Spirale beschrieben werden, die sich alle 180 Grad im goldenen Schnitt ausdehnt. Und selbst das ist noch eine Annäherung.

Pflanzen und der goldene Schnitt

Wenn Pflanzen beispielsweise maximalen Kontakt mit der Sonne haben sollen, sollten ihre Blätter idealerweise in nicht sich wiederholenden Winkeln wachsen. Das Vorhandensein einer irrationalen Bedeutung garantiert dies, weshalb die Spiralen, die wir in der Natur sehen, das Ergebnis eines solchen Prozesses sind. Alle diese Verteilungen folgen logarithmischen Spiralen oder der allgemeinen mathematischen Form der goldenen Spirale.

Können wir davon ausgehen, dass es noch tiefere mathematische Verbindungen zwischen allen Lebewesen gibt? Was bedeutet das? Der allgemeine Kern ist, dass die Natur faul ist und dazu neigt, am wenigsten Arbeit zu leisten, um das Beste aus ihr herauszuholen.

Am einfachsten geht das, indem man ein einfaches Wachstumsmodell anbietet, bei dem man die Blätter in einem bestimmten Winkel dreht und sich weiter entwickelt.

Mathematisch lässt sich dies besser durch Fraktale beschreiben, sich wiederholende Muster, die zur Bildung von logarithmischen Spiralen führen können. Es sollte beachtet werden, dass Spiralen aus physikalischer Sicht niederenergetische Konfigurationen sind.

Somit ist die Mathematik zwar die Sprache des Universums, aber ihre Sprache ist viel reicher als nur der goldene Koeffizient.

Alles, was eine Form annahm, formte, wuchs, suchte im Raum Platz zu nehmen und sich selbst zu erhalten. Dieser Anspruch wird hauptsächlich in zwei Versionen umgesetzt - aufwachsen oder sich entlang der Erdoberfläche ausbreiten und sich in einer Spirale verdrehen. Die der Struktur der Spirale zugrunde liegende Regel des Goldenen Schnitts findet sich in der Natur sehr oft in Schöpfungen, die in ihrer Schönheit unvergleichlich sind.

Die spiralförmige und spiralförmige Anordnung der Blätter an den Ästen von Bäumen wurde schon vor langer Zeit bemerkt. Unter den Gräsern am Straßenrand wächst eine unscheinbare Pflanze - Chicorée. Aus dem Hauptstamm hat sich ein Prozess gebildet. Das erste Blatt befindet sich genau dort. Der Trieb macht einen starken Ausstoß in den Raum, stoppt, gibt ein Blatt frei, ist aber kürzer als der erste, macht erneut einen Ausstoß in den Raum, aber mit weniger Kraft, gibt ein noch kleineres Blatt frei und wirft wieder aus. Wenn die erste Emission als 100 Einheiten angenommen wird, dann entspricht die zweite 62 Einheiten, die dritte 38, die vierte 24 usw. Auch die Länge der Blütenblätter unterliegt dem Goldenen Schnitt. Beim Wachstum, der Eroberung des Weltraums, behielt die Pflanze gewisse Proportionen bei. Die Wachstumsimpulse nahmen im Verhältnis zum Goldenen Schnitt allmählich ab.

Die anschaulichsten Beispiele - eine Spiralform ist in der Anordnung von Sonnenblumenkernen und in Tannenzapfen, in Ananas, in der Struktur von Rosenblättern usw. zu sehen. Die gemeinsame Arbeit von Botanikern und Mathematikern hat diese erstaunlichen Naturphänomene beleuchtet. Es stellte sich heraus, dass sich in der Anordnung von Blättern auf einem Ast, Sonnenblumenkernen, Tannenzapfen die Fibonacci-Reihe manifestiert und sich daher das Gesetz des Goldenen Schnitts manifestiert.

Das Konzept des Goldenen Schnitts in der Natur wird unvollständig sein, wenn man nicht von der Spirale spricht. Die Schale ist spiralförmig verdreht. Wenn Sie sie auffalten, erhalten Sie eine Länge, die etwas unter der Länge der Schlange liegt. Eine kleine zehn Zentimeter große Muschel hat eine 35 cm lange Spirale, die Archimedes untersuchte und die Gleichung einer logarithmischen Spirale herstellte. Die aus dieser Gleichung gezogene Spirale ist nach ihm benannt. Die Zunahme ihres Schrittes ist immer gleichförmig. Derzeit ist die Archimedes-Spirale in der Technologie weit verbreitet.

Spinnen spinnen ihre Netze immer in einer logarithmischen Spirale, eine verängstigte Rentierherde huscht in einer Spirale. Bei einer Eidechse entspricht die Länge ihres Schwanzes der Länge des restlichen Körpers von 62 bis 38. Die Stoßzähne von Elefanten und ausgestorbenen Mammuts, Klauen von Löwen und Schnäbel von Papageien sind logarithmisch und ähneln der Form einer Achse, die tendenziell in eine Spirale zu verwandeln.

Sowohl in der Pflanzen- als auch in der Tierwelt bricht die gestalterische Tendenz der Natur beharrlich durch - Symmetrie bezüglich Wuchs- und Bewegungsrichtung. Hier erscheint der Goldene Schnitt in den Anteilen senkrecht zur Wuchsrichtung.

Goldene Proportionen in der Struktur des DNA-Moleküls. Alle Informationen über die physiologischen Eigenschaften von Lebewesen sind in einem mikroskopisch kleinen DNA-Molekül gespeichert, dessen Struktur auch das Gesetz des Goldenen Schnitts enthält. Ein DNA-Molekül besteht aus zwei vertikal ineinander verschlungenen Spiralen. Die Länge jeder dieser Spiralen beträgt 34 ​​Angström, die Breite beträgt 21 Angström. (1 Angström ist ein hundertmillionstel Zentimeter). 21 und 34 sind Zahlen, die in der Folge der Fibonacci-Zahlen aufeinander folgen, dh das Verhältnis von Länge und Breite der logarithmischen Spirale des DNA-Moleküls trägt die Formel des Goldenen Schnitts 1: 1,618.

Der menschliche Körper und der goldene Schnitt

Künstler, Wissenschaftler, Modedesigner, Designer machen ihre Berechnungen, Zeichnungen oder Skizzen nach dem Verhältnis des Goldenen Schnitts. Sie verwenden Messungen am menschlichen Körper, die ebenfalls nach dem Prinzip des Goldenen Schnitts erstellt wurden. Leonardo Da Vinci und Le Corbusier haben, bevor sie ihre Meisterwerke schufen, die Parameter des menschlichen Körpers genommen, die nach dem Gesetz des Goldenen Schnitts geschaffen wurden.

Die Proportionen der verschiedenen Körperteile bilden eine Zahl, die dem Goldenen Schnitt sehr nahe kommt. Wenn diese Proportionen mit der Formel des Goldenen Schnitts übereinstimmen, gilt das Aussehen oder der Körper einer Person als perfekt gefaltet. Das Prinzip der Berechnung des goldenen Maßes am menschlichen Körper lässt sich als Diagramm darstellen.

Das erste Beispiel für den Goldenen Schnitt im Aufbau des menschlichen Körpers: Wenn wir den Nabelpunkt als Mittelpunkt des menschlichen Körpers und den Abstand zwischen den Füßen einer Person und der Nabelspitze als Maßeinheit nehmen, dann ist die Körpergröße einer Person entspricht 1,618. Es gibt mehrere weitere grundlegende goldene Proportionen unseres Körpers (1: 1,618): Der Abstand von den Fingerkuppen zum Handgelenk und vom Handgelenk zum Ellbogen ist gleich dem Abstand von Schulterhöhe bis zum Scheitel des Kopfes und der Größe des Kopf; der Abstand vom Nabelpunkt zum Scheitel des Kopfes und von der Schulterhöhe zum Scheitel des Kopfes; der Abstand des Nabelpunktes zu den Knien und von den Knien zu den Füßen; der Abstand von der Kinnspitze zur Oberlippenspitze und von der Oberlippenspitze zu den Nasenlöchern; der Abstand von der Kinnspitze bis zur oberen Linie der Augenbrauen und von der oberen Linie der Augenbrauen bis zum Scheitel; Abstand von der Kinnspitze bis zur oberen Linie der Augenbrauen und von der oberen Linie der Augenbrauen bis zum Scheitel.

Der Goldene Schnitt in den menschlichen Gesichtszügen ist das Kriterium für perfekte Schönheit. Auch in der Struktur der menschlichen Gesichtszüge gibt es viele Beispiele, die sich im Wert der Formel des Goldenen Schnitts annähern. Hier sind einige dieser Verhältnisse: Gesichtshöhe / Gesichtsbreite; der Mittelpunkt der Verbindung der Lippen zum Nasengrund / Nasenlänge; gesichtshöhe / Abstand von der Kinnspitze zum Mittelpunkt der Lippenverbindung; Mundbreite / Nasenbreite; Breite der Nase / Abstand zwischen den Nasenlöchern; Abstand zwischen den Pupillen / Abstand zwischen den Augenbrauen.

Die goldene Proportion in den Händen einer Person. Eine Person hat zwei Hände, die Finger jeder Hand bestehen aus drei Phalangen (mit Ausnahme von Daumen). Die Summe der ersten beiden Fingerglieder im Verhältnis zur gesamten Fingerlänge ergibt die Zahl des Goldenen Schnitts. Jede Hand hat fünf Finger, aber mit Ausnahme von zwei biphalangealen Daumen sind nur 8 Finger nach dem Prinzip des Goldenen Schnitts gebildet. Während alle diese Zahlen 2, 3, 5 und 8 die Zahlen der Fibonacci-Folge sind.

Der goldene Anteil im Aufbau der menschlichen Lunge. Der amerikanische Physiker B.D. West und Dr. A.L. Goldberger fand während physikalischer und anatomischer Studien heraus, dass der Goldene Schnitt auch in der Struktur der menschlichen Lunge existiert. Die Besonderheit der Bronchien, aus denen die menschliche Lunge besteht, liegt in ihrer Asymmetrie. Die Bronchien bestehen aus zwei Hauptluftwegen, von denen einer (links) länger und der andere (rechts) kürzer ist. Es zeigte sich, dass sich diese Asymmetrie in den Bronchienästen fortsetzt, in allen kleineren Atemwege... Darüber hinaus bildet das Verhältnis der Länge der kurzen und langen Bronchien auch den Goldenen Schnitt und beträgt 1: 1,618.

Der Goldene Schnitt ist in der Struktur des menschlichen Ohrs vorhanden. Im Innenohr einer Person befindet sich ein Organ namens Cochlea ("Schnecke"), das die Funktion der Übertragung von Schallschwingungen übernimmt. Dieses knochenähnliche Gebilde ist flüssigkeitsgefüllt und hat die Form einer Schnecke mit einer stabilen, logarithmischen Spiralform.

Jeder Körper, Gegenstand, Ding, geometrische Figur, deren Verhältnis dem "Goldenen Schnitt" entspricht, zeichnet sich durch strenge Proportionalität aus und erzeugt den angenehmsten visuellen Eindruck.

So wird die Struktur aller natürlich vorkommenden lebenden Organismen und unbelebten Objekte, die keine Verbindung und Ähnlichkeit miteinander haben, nach einer bestimmten mathematischen Formel geplant.

Goldener Schnitt in der unbelebten Natur

Der Goldene Schnitt ist in der Struktur aller Kristalle vorhanden, aber die meisten Kristalle sind mikroskopisch klein, sodass wir sie mit bloßem Auge nicht sehen können. Schneeflocken, die auch Wasserkristalle sind, sind jedoch für unsere Augen gut zugänglich. Die ganze exquisite Schönheit der Figuren, die die Schneeflocken bilden, alle Achsen, Kreise und geometrischen Formen in den Schneeflocken sind auch immer ausnahmslos nach der perfekten klaren Formel des Goldenen Schnitts gebaut.

Ein Hurrikan dreht sich in einer Spirale. Goethe nannte die Spirale „die Kurve des Lebens“.

Im Universum existieren alle der Menschheit bekannten Galaxien und alle Körper in ihnen in Form einer Spirale, entsprechend der Formel des Goldenen Schnitts.

Goldener Schnitt in Kunst und Architektur

Die Formel des Goldenen Schnitts und der goldenen Proportionen sind allen Kunstschaffenden bestens bekannt, das sind die Hauptregeln der Ästhetik.

Bereits in der Renaissance entdeckten Künstler, dass jedes Gemälde bestimmte Punkte hat, die unsere Aufmerksamkeit unwillkürlich fesseln, die sogenannten visuellen Zentren. In diesem Fall ist es völlig egal, welches Format das Bild hat - horizontal oder vertikal. Es gibt nur vier solcher Punkte, und sie befinden sich in einem Abstand von 3/8 und 5/8 von den entsprechenden Kanten der Ebene. Diese Entdeckung der damaligen Künstler wurde als "Goldener Schnitt" des Bildes bezeichnet. Um die Aufmerksamkeit auf das Hauptelement des Fotos zu lenken, ist es daher notwendig, dieses Element mit einem der visuellen Zentren zu kombinieren.

Kommen wir zu Beispielen des "Goldenen Schnitts" in der Malerei, kann man nicht umhin, sich auf das Werk von Leonardo da Vinci zu konzentrieren. Seine Persönlichkeit ist eines der Geheimnisse der Geschichte. Leonardo da Vinci sagte selbst: "Niemand, der kein Mathematiker ist, darf es wagen, meine Werke zu lesen." Berühmt wurde er als unübertroffener Künstler, als großer Wissenschaftler, als Genie, das viele Erfindungen vorwegnahm, die erst im 20. Jahrhundert umgesetzt wurden. Der Goldene Schnitt ist im Gemälde von Leonardo da Vinci "La Gioconda" präsent. Porträt von Monna Lisa lange Jahre erregt die Aufmerksamkeit von Forschern, die herausgefunden haben, dass die Komposition der Zeichnung auf goldenen Dreiecken basiert, die Teile eines regelmäßigen sternförmigen Fünfecks sind.

Das berühmte Gemälde von I. I. Shishkin "Pine Grove" zeigt deutlich die Motive des Goldenen Schnitts. Eine von der Sonne hell erleuchtete Kiefer (im Vordergrund stehend) teilt die Länge des Gemäldes entlang des Goldenen Schnitts. Rechts von der Kiefer befindet sich ein sonnenbeschienener Hügel. Er teilt die rechte Seite des Bildes horizontal entlang des Goldenen Schnitts. Links von der Hauptkiefer stehen viele Kiefern - wenn Sie möchten, können Sie das Bild entlang des Goldenen Schnitts und weiter erfolgreich weiter teilen.

Das Vorhandensein von hellen Vertikalen und Horizontalen in jedem Bild, die es in Bezug auf den Goldenen Schnitt unterteilen, verleiht ihm den Charakter von Gelassenheit und Ruhe, entsprechend der Intention des Künstlers. Wenn die Absicht des Künstlers anders ist, wenn er beispielsweise ein Bild mit einer sich schnell entwickelnden Handlung schafft, wird ein solches geometrisches Kompositionsschema (mit einer Vorherrschaft von Vertikalen und Horizontalen) inakzeptabel.

Im Gegensatz zum Goldenen Schnitt, dem Gefühl von Dynamik, manifestiert sich Aufregung vielleicht am stärksten in einem anderen einfachen geometrische Figur- goldene Spirale.

Raffaels vielfigurige Komposition "Das Schlagen der Babys", ausgeführt 1509-1510 von Raffael, enthält eine goldene Spirale.Dieses Bild zeichnet sich nur durch die Dynamik und Dramatik der Handlung aus. Raffael brachte seinen Plan nie zur Vollendung, seine Skizze wurde jedoch von einem unbekannten italienischen Grafiker Marcantinio Raimondi gestochen, der nach dieser Skizze den Stich "Beating of Babies" schuf.

Auf der vorbereitenden Skizze von Raffael sind rote Linien aus dem semantischen Zentrum der Komposition - den Stellen, an denen sich die Finger des Kriegers um den Knöchel des Kindes schlossen - entlang der Figuren des Kindes gezogen, der Frau, die ihn nah an sich hält, des Kriegers mit dem Kugel eingebracht und dann entlang der Figuren der gleichen Gruppe auf der rechten Seite skizzieren. Wenn Sie diese Stücke natürlich mit einer gepunkteten Kurve verbinden, erhalten Sie ... eine goldene Spirale! Wir wissen nicht, ob Raffael die goldene Spirale bei der Komposition "Beating the Babies" tatsächlich gemalt oder nur "gefühlt" hat. Wir können jedoch mit Sicherheit sagen, dass der Graveur Raimondi diese Spirale gesehen hat.

Der Künstler Alexander Pankin, der mit Zirkel und Lineal die Gesetze der Schönheit erforschte ... auf den berühmten Plätzen von Kasimir Malewitsch, bemerkte, dass Malewitschs Gemälde überraschend harmonisch sind. Hier gibt es kein einziges zufälliges Element. Nehmen Sie ein einzelnes Segment, die Größe der Leinwand oder die Seite eines Quadrats, können Sie das gesamte Bild mit einer Formel erstellen. Es gibt Quadrate, deren Elemente im Verhältnis zum "Goldenen Schnitt" zusammenhängen, und das berühmte "Schwarze Quadrat" wird im Verhältnis gezeichnet Quadratwurzel der beiden. Alexander Pankin hat ein verblüffendes Muster entdeckt: Je weniger der Wunsch, sich auszudrücken, desto mehr Kreativität ... Der Kanon ist wichtig. Es ist kein Zufall, dass er in der Ikonenmalerei so streng beobachtet wird.

Der goldene Schnitt in der Skulptur

"Ein schönes Gebäude muss wie ein gut gebauter Mensch gebaut werden" (Pavel Florensky)

Es ist bekannt, dass die Skulptur schon in der Antike auf der Proportionslehre beruhte. Die Beziehung der Teile des menschlichen Körpers wurde mit der Formel des Goldenen Schnitts in Verbindung gebracht. Die Proportionen des "Goldenen Schnitts" erwecken den Eindruck von Harmonie der Schönheit, so dass die Bildhauer sie in ihren Werken verwendeten. So besteht zum Beispiel die berühmte Statue des Apollo Belvedere aus Teilen, die nach dem Goldenen Schnitt unterteilt sind.

Der große antike griechische Bildhauer Phidias verwendete in seinen Werken oft den "Goldenen Schnitt". Die berühmtesten davon waren die Statue des olympischen Zeus (die als eines der Weltwunder galt) und Athena Parthenos.

Goldener Schnitt in der Architektur

In Büchern über den "Goldenen Schnitt" findet man die Bemerkung, dass in der Architektur wie in der Malerei alles von der Position des Betrachters abhängt und dass, wenn einige Proportionen in einem Gebäude auf einer Seite den "Goldenen Schnitt" zu bilden scheinen, dann werden sie von anderen Punkten anders aussehen. Der "goldene Schnitt" gibt das entspannteste Verhältnis der Größen bestimmter Längen an.

Eines der schönsten Stücke der antiken griechischen Architektur ist der Parthenon (5. Jahrhundert v. Chr.). Die Fassade des Parthenon hat goldene Proportionen. Bei seinen Ausgrabungen wurden Kompasse entdeckt, die von Architekten und Bildhauern der Antike verwendet wurden. Im Pompeji-Kompass (ein Museum in Neapel) sind die goldenen Proportionen gelegt.

Der Parthenon hat 8 Säulen an den kurzen Seiten und 17 an den langen. die Simse bestehen vollständig aus Quadraten aus pentilianischem Marmor. Das edle Material, aus dem der Tempel gebaut wurde, ermöglichte es, die übliche Farbgebung in der griechischen Architektur zu beschränken, es betont nur die Details und bildet einen farbigen Hintergrund (blau und rot) für die Skulptur. Das Verhältnis der Höhe des Gebäudes zu seiner Länge beträgt 0,618. Wenn wir die Teilung des Parthenons nach dem „Goldenen Schnitt“ vornehmen, erhalten wir den einen oder anderen Vorsprung der Fassade.

Ein weiteres Beispiel aus der Architektur der Antike ist das Pantheon.

Der berühmte russische Architekt M. Kazakov verwendete in seiner Arbeit häufig den „Goldenen Schnitt“. Sein Talent war facettenreich, aber vor allem zeigte er sich in zahlreichen realisierten Projekten. Wohngebäude und Stände. Der „goldene Schnitt“ findet sich beispielsweise in der Architektur des Senatsgebäudes im Kreml wieder. Nach dem Projekt von M. Kazakov wurde in Moskau das Golitsyn-Krankenhaus gebaut, das heute als erstes klinisches Krankenhaus nach N.I. Pirogov (Leninsky-Prospekt, 5).

Ein weiteres architektonisches Meisterwerk Moskaus - das Haus von Pashkov - ist eines der perfektesten Architekturstücke von V. Bazhenov. Die schöne Kreation von V. Bazhenov ist fest in das Ensemble des Zentrums des modernen Moskau eingetreten und hat es bereichert. Die Außenansicht des Hauses ist bis heute fast unverändert geblieben, obwohl es 1812 schwer verbrannt wurde. Während der Restaurierung erhielt das Gebäude massivere Formen.

Wir können also mit Sicherheit sagen, dass die goldene Proportion die Grundlage für die Gestaltung ist, deren Verwendung eine Vielzahl von Kompositionsformen in allen Arten von Kunst ermöglicht und zur Schaffung einer wissenschaftlichen Kompositionstheorie und einer einheitlichen Theorie der Plastik führt Künste.

Geometrie ist eine exakte und ziemlich komplexe Wissenschaft, die mit all dem eine Art Kunst ist. Linien, Flächen, Proportionen - all dies trägt dazu bei, viele wirklich schöne Dinge zu schaffen. Und seltsamerweise basiert dies auf der Geometrie in ihren verschiedenen Formen. In diesem Artikel werden wir uns eine sehr ungewöhnliche Sache ansehen, die direkt damit zusammenhängt. Der Goldene Schnitt ist genau der geometrische Ansatz, der diskutiert wird.

Objektform und Wahrnehmung

Menschen lassen sich am häufigsten von der Form eines Objekts leiten, um es unter Millionen von anderen wiederzuerkennen. Durch die Form bestimmen wir, was vor uns liegt oder in der Ferne steht. Wir erkennen Menschen in erster Linie an ihren Körper- und Gesichtsformen. Daher können wir mit Zuversicht behaupten, dass die Form selbst, ihre Größe und ihr Aussehen eines der wichtigsten Dinge in der menschlichen Wahrnehmung sind.

Für den Menschen ist die Form von allem aus zwei Gründen interessant: Entweder wird sie von einer Lebensnotwendigkeit diktiert, oder sie entsteht durch den ästhetischen Genuss der Schönheit. Die beste visuelle Wahrnehmung und ein Gefühl von Harmonie und Schönheit entsteht am häufigsten, wenn eine Person eine Form beobachtet, bei deren Konstruktion Symmetrie und ein spezielles Verhältnis, das als Goldener Schnitt bezeichnet wird, verwendet wurden.

Konzept des Goldenen Schnitts

Der Goldene Schnitt ist also der Goldene Schnitt, der auch eine harmonische Unterteilung ist. Um dies klarer zu erklären, betrachten wir einige der Funktionen des Formulars. Nämlich: Die Form ist etwas Ganzes, aber das Ganze besteht wiederum immer aus einigen Teilen. Diese Teile haben wahrscheinlich unterschiedliche Eigenschaften, zumindest unterschiedliche Größen. Nun, solche Dimensionen stehen immer in einem bestimmten Verhältnis, sowohl untereinander als auch im Verhältnis zum Ganzen.

Das heißt mit anderen Worten, wir können behaupten, dass der Goldene Schnitt das Verhältnis zweier Größen ist, das eine eigene Formel hat. Die Verwendung dieses Verhältnisses beim Erstellen einer Form hilft, diese für das menschliche Auge so schön und harmonisch wie möglich zu gestalten.

Aus der alten Geschichte des Goldenen Schnitts

Der Goldene Schnitt wird heute in den unterschiedlichsten Lebensbereichen häufig verwendet. Aber die Geschichte dieses Konzepts reicht bis in die Antike zurück, als Wissenschaften wie Mathematik und Philosophie gerade erst auftauchten. Als wissenschaftliches Konzept wurde der Goldene Schnitt zur Zeit des Pythagoras, nämlich im 6. Jahrhundert v. Chr., verwendet. Aber schon vorher wurde die Kenntnis eines solchen Verhältnisses im alten Ägypten und Babylon in der Praxis verwendet. Ein anschaulicher Beweis dafür sind die Pyramiden, für deren Bau genau solch ein goldener Anteil verwendet wurde.

Neuer Zeitraum

Die Renaissance war ein neuer Atemzug für eine harmonische Teilung, insbesondere dank Leonardo da Vinci. Dieses Verhältnis wurde sowohl in der Geometrie als auch in der Kunst immer mehr verwendet. Wissenschaftler und Künstler begannen, sich eingehender mit dem Goldenen Schnitt zu befassen und Bücher zu erstellen, die sich mit diesem Thema befassen.

Eines der wichtigsten historischen Werke zum Goldenen Schnitt ist Luca Pancholis Buch Divine Proportion. Historiker vermuten, dass die Illustrationen in diesem Buch von Leonardo selbst vor Vinci gemacht wurden.

Goldener Schnitt

Die Mathematik gibt eine sehr klare Definition von Proportionen, die besagt, dass es sich um die Gleichheit zweier Verhältnisse handelt. Mathematisch kann dies durch die folgende Gleichheit ausgedrückt werden: a: b = c: d, wobei a, b, c, d bestimmte Werte sind.

Wenn wir den Anteil eines Segments in zwei Teile teilen, können wir nur wenige Situationen treffen:

• Das Segment wird in zwei absolut gerade Teile geteilt, was bedeutet, dass AB: AC = AB: BC, wenn AB der genaue Anfang und das Ende des Segments ist und C der Punkt ist, der das Segment in zwei gleiche Teile teilt.
• Das Segment ist in zwei ungleiche Teile geteilt, die in sehr unterschiedlichen Proportionen zueinander stehen können, also hier absolut unverhältnismäßig sind.
• Das Segment wird so aufgeteilt, dass AB: AC = AC: BC.

Was den Goldenen Schnitt betrifft, so ist dies eine proportionale Aufteilung des Segments in ungleiche Teile, wenn das gesamte Segment zum größeren Teil gehört, so wie der größere Teil selbst zum kleineren gehört. Es gibt eine andere Formulierung: Das kleinere Segment bezieht sich sowohl auf das größere als auch das größere auf das gesamte Segment. Mathematisch sieht das so aus: a: b = b: c oder c: b = b: a. Das ist die Formel des Goldenen Schnitts.

Die goldene Proportion in der Natur

Der Goldene Schnitt, für den wir jetzt Beispiele betrachten werden, bezieht sich auf unglaubliche Phänomene in der Natur. Dies sind sehr schöne Beispiele dafür, dass Mathematik nicht nur Zahlen und Formeln ist, sondern eine Wissenschaft, die mehr als ein echtes Spiegelbild in der Natur und unserem Leben im Allgemeinen hat.

Für lebende Organismen ist Wachstum eine der Hauptaufgaben im Leben. Ein solcher Wunsch, seinen Platz im Weltraum einzunehmen, wird in der Tat in verschiedenen Formen verwirklicht - Wachstum nach oben, fast horizontale Ausbreitung entlang des Bodens oder spiralförmige Drehung auf einer Stütze. Und so unglaublich es auch ist, viele Pflanzen wachsen nach dem Goldenen Schnitt.

Eine andere fast unglaubliche Tatsache ist das Verhältnis im Körper von Eidechsen. Ihr Körper sieht für das menschliche Auge gefällig genug aus, und dies ist dank des gleichen Goldenen Schnitts möglich. Genauer gesagt bezieht sich die Länge ihres Schwanzes auf die Länge des gesamten Körpers mit 62:38.

Wissenswertes zu den Regeln des Goldenen Schnitts

Der Goldene Schnitt ist ein wirklich unglaubliches Konzept, was bedeutet, dass wir im Laufe der Geschichte viele wirklich treffen können Interessante Faktenüber diesen Anteil. Hier sind einige davon:

Der Goldene Schnitt im menschlichen Körper

In diesem Abschnitt soll eine sehr bedeutende Person erwähnt werden, nämlich S. Zeising. Dies ist ein deutscher Forscher, der auf dem Gebiet der Erforschung des Goldenen Schnitts enorme Arbeit geleistet hat. Er veröffentlichte eine Arbeit mit dem Titel "Ästhetische Forschung". In seiner Arbeit präsentierte er den Goldenen Schnitt als einen absoluten Begriff, der für alle Phänomene, sowohl in der Natur als auch in der Kunst, universell ist. Hier können Sie sich zusammen mit dem Goldenen Schnitt der Pyramide erinnern harmonisches Verhältnis menschlicher Körper und so weiter.

Es war Zeising, der beweisen konnte, dass der Goldene Schnitt tatsächlich das durchschnittliche statistische Gesetz für den menschlichen Körper ist. Dies zeigte sich in der Praxis, denn während seiner Arbeit musste er viele menschliche Körper vermessen. Historiker glauben, dass mehr als zweitausend Menschen an dieser Erfahrung teilgenommen haben. Der Hauptindikator für den Goldenen Schnitt ist nach Zeisings Forschung die Teilung des Körpers durch die Nabelspitze. Somit liegt der männliche Körper mit einem durchschnittlichen Verhältnis von 13:8 etwas näher am Goldenen Schnitt als der weibliche Körper, wo der Goldene Schnitt 8:5 beträgt. Auch an anderen Körperstellen, wie beispielsweise der Hand, lässt sich der Goldene Schnitt beobachten.

Über den Bau des Goldenen Schnitts

Tatsächlich ist die Konstruktion des Goldenen Schnitts eine einfache Sache. Wie wir sehen können, kamen sogar die alten Menschen damit ganz leicht zurecht. Was können wir über modernes Wissen und Technologien der Menschheit sagen. In diesem Artikel werden wir nicht zeigen, wie dies einfach auf einem Blatt Papier und mit einem Bleistift in der Hand möglich ist, aber wir sagen mit Zuversicht, dass dies tatsächlich möglich ist. Darüber hinaus kann dies auf mehr als eine Weise erfolgen.

Da dies eine ziemlich einfache Geometrie ist, ist der Goldene Schnitt auch in der Schule ziemlich einfach zu bauen. Informationen hierzu sind daher leicht in Fachbüchern zu finden. Beim Studium des Goldenen Schnitts ist die Klasse 6 in der Lage, die Prinzipien seiner Konstruktion vollständig zu verstehen, was bedeutet, dass selbst Kinder schlau genug sind, um eine solche Aufgabe zu meistern.

Der goldene Schnitt in der Mathematik

Die erste Bekanntschaft mit dem Goldenen Schnitt in der Praxis beginnt mit einer einfachen Teilung eines geraden Liniensegments, alle in den gleichen Proportionen. Meistens geschieht dies mit Lineal, Zirkel und natürlich einem Bleistift.

Die Segmente des Goldenen Schnitts werden als unendlicher irrationaler Bruch ausgedrückt AE = 0,618 ..., wenn AB als Einheit genommen wird, BE = 0,382 ... Um diese Berechnungen praktischer zu machen, sehr oft nicht genau, sondern ungefähr Werte verwendet werden, nämlich - 0 , 62 und 0,38. Wenn das Segment AB als 100 Teile angenommen wird, wird das meiste davon 62 betragen, aber das kleinere wird jeweils 38 Teile haben.

Die Haupteigenschaft des Goldenen Schnitts kann durch die Gleichung ausgedrückt werden: x 2 -x-1 = 0. Beim Lösen erhalten wir die folgenden Wurzeln: x 1,2 =. Obwohl die Mathematik eine exakte und strenge Wissenschaft ist, wie ihr Abschnitt - Geometrie, sind es gerade Eigenschaften wie die Gesetze des Goldenen Schnitts, die dieses Thema mysteriös machen.

Harmonie in der Kunst durch den Goldenen Schnitt

Um es zusammenzufassen, betrachten Sie kurz das bereits Besprochene.

Grundsätzlich fallen viele Kunstwerke unter die Regel des Goldenen Schnitts, wobei das Verhältnis nahe bei 3/8 und 5/8 liegt. Dies ist die grobe Formel für den Goldenen Schnitt. Der Artikel hat bereits viel über Beispiele für die Verwendung des Abschnitts erwähnt, aber wir werden ihn noch einmal durch das Prisma der antiken und modernen Kunst betrachten. Also die markantesten Beispiele aus der Antike:

Was den wahrscheinlich schon bewussten Umgang mit Proportionen angeht, so findet er seit Leonardo da Vinci in fast allen Lebensbereichen Anwendung – von der Wissenschaft bis zur Kunst. Sogar Biologie und Medizin haben bewiesen, dass der Goldene Schnitt auch in lebenden Systemen und Organismen funktioniert.

In der biologischen Forschung 70-90 Jahre. XX Jahrhundert es zeigt sich, dass sich, angefangen bei Viren und Pflanzen bis hin zum menschlichen Körper, überall die goldene Proportion offenbart, die die Proportionalität und Harmonie ihres Aufbaus kennzeichnet.

Alle Lebewesen nehmen irgendeine Form an, werden geformt, wachsen, streben danach, einen Platz im Raum einzunehmen und sich selbst zu erhalten. Dieser Anspruch wird hauptsächlich in zwei Versionen umgesetzt - aufwachsen oder sich entlang der Erdoberfläche ausbreiten und sich in einer Spirale verdrehen.

Eine konforme Spirale wird erhalten, indem in jedes der Quadrate des goldenen Rechtecks ​​ein Viertelkreis geschrieben wird. Die konforme Spirale ähnelt einem Schneckenhaus. Schöne Form Die Schale ist darauf zurückzuführen, dass ihre Segmente, die Kreisbögen sind, unterschiedliche Größen haben, aber ihre Form ist gleich. Am Beispiel des Schneckenhauses kann man die Einhaltung eines wichtigen Prinzips seiner Struktur sehen: Die Größe seiner Sekrete nimmt zu, aber ihre Form ändert sich nicht.

Die Form der spiralförmig gekräuselten Muschel erregte die Aufmerksamkeit von Archimedes. Er studierte es und leitete die Spiralgleichung ab. Die aus dieser Gleichung gezogene Spirale ist nach ihm benannt. Die Zunahme ihres Schrittes ist immer gleichförmig. Derzeit ist die Archimedes-Spirale in der Technologie weit verbreitet.

Der goldene Anteil der fünfblättrigen Blüten von Apfel, Birne und vielen anderen Pflanzen ist bekannt. Die Spirale wurde in der Anordnung von Sonnenblumenkernen, in Tannenzapfen, Ananas, Kakteen usw. Die gemeinsame Arbeit von Botanikern und Mathematikern hat diese erstaunlichen Naturphänomene beleuchtet.

Blüten und Samen von Sonnenblumen, Kamille, Schuppen in Ananasfrüchten, Nadelzapfen sind mit "goldenen" Spiralen "verpackt", die sich aufeinander zu winden.

Die Spinne webt das Netz spiralförmig. Ein Hurrikan dreht sich in einer Spirale. Eine Herde verängstigter Rentiere zerstreut sich spiralförmig. Die Hörner der Bergziegen sind in einer goldenen Spirale gedreht. Die Träger des genetischen Codes – DNA- und RNA-Moleküle – haben eine Doppelhelix-Struktur; seine Größe entspricht fast vollständig den Zahlen der Fibonacci-Reihe. Goethe nannte die Spirale „die Kurve des Lebens“.

Unter den Gräsern am Straßenrand wächst eine unscheinbare Pflanze - Chicorée. Schauen wir ihn uns genauer an. Aus dem Hauptstamm hat sich ein Prozess gebildet. Das erste Blatt befindet sich genau dort. Der Trieb macht einen starken Ausstoß in den Raum, stoppt, gibt ein Blatt frei, ist aber kürzer als der erste, macht erneut einen Ausstoß in den Raum, aber mit weniger Kraft, gibt ein noch kleineres Blatt frei und wirft wieder aus. Wenn die erste Emission als 100 Einheiten angenommen wird, dann entspricht die zweite 62 Einheiten, die dritte 38, die vierte 24 usw. Auch die Länge der Blütenblätter unterliegt dem Goldenen Schnitt. Beim Wachstum, der Eroberung des Weltraums, behielt die Pflanze gewisse Proportionen bei. Die Wachstumsimpulse nahmen im Verhältnis zum Goldenen Schnitt allmählich ab.

Städtische staatliche Bildungseinrichtung

"Vysotinskaya Gymnasium"

Design- und Forschungsarbeit

"Der Goldene Schnitt in der Natur"

durchgeführt:

Laptev Pavel, Zhavnov Evgeniy

Schüler der 6. Klasse

Betreuerin: Shklyaeva Elena Alekseevna, Mathematiklehrerin

Vysotino, 2018

Inhalt

EINFÜHRUNG …………………………………………………………… 1

2. HAUPTTEIL …… .. ………………………………………………… ... 2

2.1. Entstehungs- und Baugeschichte des „Goldenen Schnitts“ ………… .2

2.2. Definition, Proportionsarten …………………………………………… 2

2.3 Anwendung des Goldenen Schnitts in der Natur …………………………… ... 3-4

2.4. Beziehung zwischen dem Goldenen Schnitt und natürlichen Objekten ………………… ……… .6

3. PRAKTISCHER TEIL ……………………………………………………… 7

4. SCHLUSSFOLGERUNG …………………………………………………… ........ 8

9. REFERENZEN …………………………………………………… 9

Einführung

"Neugier - eines der sicheren Zeichen eines energischen Geistes"
Johnson Samuel

Relevanz.

Seltsames, mysteriöses, unerklärliches: Diese göttlichen Proportionen begleiten auf mystische Weise alles Lebendige. Sie werden dieses Verhältnis sicherlich in den Kurven von Muscheln und in Form von Blumen und in Form von Käfern und in einem schönen menschlichen Körper sehen. Alles Lebendige und alles Schöne - alles gehorcht dem göttlichen Gesetz, dessen Name der "Goldene Schnitt" ist. Was ist also der „goldene Schnitt“?... Was ist diese ideale, göttliche Kombination? Vielleicht ist das das Gesetz der Schönheit? Oder ist er ein mystisches Geheimnis oder wissenschaftliches Phänomen?

Die Relevanz des Studiums des "Goldenen Schnitts" liegt in der Tatsache, dass viele Objekte um uns herum die Proportionalität der goldenen Teilung tragen.

Hypothese:

Wir gehen davon aus, dass der "Goldene Schnitt" eine Art mathematische Formel ist.

Zweck der Arbeit: Holen Sie sich neues Wissen über den "Goldenen Schnitt" in der Natur.

Aufgaben

Theoretische Informationen zum Thema "Goldener Schnitt" studieren (Informationen zum Thema finden Sie in der Literatur und im Internet);

​Analysieren Sie die Informationen und ziehen Sie eine Schlussfolgerung.

VorbereitenPräsentation zu diesem Thema.

Sammeln Sie die Erfahrung, vor Publikum aufzutreten.

Suche Methode: Nutzung wissenschaftlicher und pädagogischer Literatur, Recherche notwendige Informationen im Internet;

Praktische Methode: Überwachung, Messungen vornehmen.

Analyse Daten, durch das Studium der Literatur und die Erstellung einer Präsentation erlangt.
Die praktische Bedeutung der Arbeit besteht ausdie Möglichkeit, das Material dieser Arbeit im Unterricht, im Wahlpflichtbereich, zu nutzen, um die Motivation der Studierenden für das Studium des Faches "Mathematik" zu erhöhen.

Hauptteil

Theoretische Begründung des Themas.

2.1. Die Entstehungs- und Baugeschichte des "Goldenen Schnitts"

Es wird angenommen, dass das Konzept der Goldteilung von Pythagoras, dem antiken griechischen Philosophen und Mathematiker, in den wissenschaftlichen Gebrauch eingeführt wurde (VIV. v. Chr.). Es wird vermutet, dass Pythagoras sein Wissen über die goldene Teilung von den Ägyptern und Babyloniern übernommen hat. Tatsächlich weisen die Proportionen der Cheops-Pyramide, Tempel und Flachreliefs darauf hin, dass die ägyptischen Meister das Verhältnis der goldenen Teilung in ihren Köpfen verwendeten.Der große Pythagoras schuf eine geheime Schule, in der die mystische Essenz des "Goldenen Schnitts" studiert wurde. Euklid wendete es an und schuf seine Geometrie und Phidias - seine unsterblichen Skulpturen. Platon sagte, dass das Universum nach dem "Goldenen Schnitt" geordnet ist. Und Aristoteles fand die Übereinstimmung des "Goldenen Schnitts" mit dem ethischen Gesetz.

Sie wussten sogar über den Goldenen Schnitt Bescheid antikes Ägypten und Babylon, Indien und China.

2.2 WortAnteil bedeutet "Verhältnismäßigkeit", "ein bestimmtes Verhältnis von Teilen zueinander".

Den Goldenen Schnitt und sogar „göttliche Proportionen“ nannten die Mathematiker der Antike und des Mittelalterseine solche proportionale Aufteilung des Segments in ungleiche Teile, bei der sich das gesamte Segment auf den größeren Teil ebenso bezieht wie der größere Teil selbst auf den kleineren; oder anders gesagt, ein kleineres Segment bezieht sich auf ein größeres wie ein größeres auf alles.

ein : B = B : C oder mit : B = B : ein

So,Goldener Schnitt = 1: 1,618. Dieses Verhältnis ist ungefähr gleich0,618 ≈ 5/8.

Der Goldene Schnitt wird in Kunstwerken, in der Architektur, in der Entwicklung des Handwerks verwendet und findet sich in der Natur.

Der "goldene Schnitt" findet sich in Flora und das Tierreich. Beharrlich durchbricht die gestalterische Tendenz der Natur - Symmetrie hinsichtlich der Wachstums- und Bewegungsrichtung. Hier erscheint der "Goldene Schnitt" in den Anteilen senkrecht zur Wuchsrichtung. Schauen wir uns einige Beispiele an.

Bei einer Eidechse werden auf den ersten Blick für unsere Augen angenehme Proportionen erfasst - die Länge ihres Schwanzes entspricht der Länge des gesamten Körpers von 62: 38.

Auf den ersten Blick fängt die Erice für unsere Augen angenehme Proportionen ein - ihre Länge

Schauen wir uns das schematisch dargestellte Fragment einer Zimmerpflanze genauer an.

Aus dem Hauptstamm hat sich ein Prozess gebildet. Das erste Blatt befindet sich genau dort. Der Trieb macht einen starken Ausstoß in den Raum, stoppt und gibt ein Blatt frei, aber bereits kürzer als das erste, macht erneut einen Ausstoß in den Raum, aber mit weniger Kraft, lässt ein Blatt noch frei kleiner... Wenn die erste Emission als 100 Einheiten angenommen wird, dann beträgt die zweite 62 Einheiten, die dritte 38, die vierte 24 und so weiter.

Auch die Länge der Blütenblätter unterliegt dem Goldenen Schnitt. Beim Wachstum, der Eroberung des Weltraums, behält die Pflanze gewisse Proportionen. Die Wachstumsimpulse nahmen im Verhältnis zum Goldenen Schnitt allmählich ab.

Betrachtet man die Anordnung von drei aufeinanderfolgenden Blattpaaren am gemeinsamen Stängel der Pflanze, ist zu erkennen, dass sich zwischen dem ersten und dritten Paar das zweite an der Stelle des "goldenen Schnitts" befindet.

A B C

Wenn Sie den Abstand AC und den Abstand BC messen und das Verhältnis ermittelnBC: AC , dann ist es ungefähr gleich0,618 , d.h. gehorcht dem Goldenen Schnitt (siehe Tabelle1).

Tabelle 1. Pflanzenteilverhältnis

Wechselstrom (mm)

166

250

133

142

220

187

BC (mm)

103

170

136

115

BC: AC

0,62

0,68

0,624

0,608

0,67

0,613

0,615

Ausgabe: die Ergebnisse der Beobachtungen zeigen, dass die Pflanze beim Wachstum, bei der Eroberung des Raumes, bestimmte Proportionen beibehält. Seine Wachstumsimpulse nehmen proportional zum Goldenen Schnitt allmählich ab.

2.3. "Verbindung des Goldenen Schnitts und der Goldenen Spirale"

Mit den Proportionen des Goldenen Schnitts können Sie eine Goldene Spirale bauen. Zeichnen wir also ein kleines Quadrat mit einer Seite von 1. Eins in einem Quadrat1 2 wird 1 sein. Lassen Sie uns ein weiteres Quadrat neben dem ersten zeichnen, nah. Außerdem ist die nächste Proportionszahl 2 (1 + 1). Zwei im Quadrat 2 2 wird 4. Zeichnen Sie neben den ersten beiden Feldern ein weiteres Feld, aber jetzt mit Seite 2 und Fläche 4. Die nächste Zahl ist die Zahl 3 (1 + 2). Das Quadrat der Zahl 3 ist 9. Zeichnen Sie ein Quadrat mit einer Seite von 3 und einer Fläche von 9 neben den bereits gezeichneten. Als nächstes haben wir ein Quadrat mit einer Seite von 5 und einer Fläche von 25, ein Quadrat mit einer Seite von 8 und einer Fläche von 64 - und so weiter, bis ins Unendliche.

Lass uns eine goldene Spirale bauen. Verbinden wir die Grenzpunkte zwischen den Quadraten mit einer glatten geschwungenen Linie. Und wir werden diese sehr goldene Spirale bekommen, auf deren Grundlage viele lebende und unbelebte Objekte in der Natur gebaut werden.

2.4 "Beziehung zwischen Goldenem Schnitt und Naturobjekten"

Die Spirale des Goldenen Schnitts hat einen Anfang, von dem sie sich zu lösen beginnt. Dies ist eine sehr wichtige Eigenschaft. Es erlaubt der Natur, nach einem weiteren geschlossenen Kreislauf eine neue Spirale von Grund auf neu aufzubauen.

Die spiralförmige und spiralförmige Anordnung der Blätter an den Ästen von Bäumen wurde schon vor langer Zeit bemerkt. Die Spirale wurde in der Anordnung von Sonnenblumenkernen, in Tannenzapfen, Ananas, Kakteen usw.

Die gemeinsame Arbeit von Botanikern und Mathematikern hat diese erstaunlichen Naturphänomene beleuchtet.

Meereswelle dreht sich in einer Spirale.

Spinne webt ein Netz in einer Spirale

Ein Hurrikan dreht sich wie eine SpiraleSeestern 13 Strahlen

Spiralen des Goldenen Schnitts erscheinen in der Morphologie verschiedene Organismen... Zum Beispiel Seesterne. Ihre Anzahl der Strahlen entspricht einer Reihe von Zahlen in proportionaler Teilung und beträgt 5, 8, 13, 21, 34, 55.

Dank des Goldenen Schnitts wurde der Asteroidengürtel zwischen Mars und Jupiter entdeckt - dem Verhältnis nach soll es noch einen anderen Planeten geben.

Der praktische Teil.

Studienobjekt: Weidenzweig und andere Naturobjekte

Wir werden eine Untersuchung der Zweige von Weidenkätzchen durchführen und feststellen, wo sich die Knospen auf einem Weidenzweig befinden.

Wir haben skizziert, an welcher Stelle und in welcher Reihenfolge die Knospen wachsen, von unten nach oben. Zuerst wuchs Niere Nummer 1, dann 2, dann 3, dann 4 und 5 und 6 Niere. Die Studie wurde in einem kleinen Gebiet durchgeführt.

Im Forschungsprozess tun wirAusgang, dass die Knospen so angeordnet sind, dass sie sich nicht "schließen", jedes zukünftige Blatt wird genug erhalten Sonnenstrahlen... Die Knospen an einem Zweig sind in streng mathematischer Reihenfolge in einer sich wiederholenden Spirale angeordnet.

Abschluss

Der Goldene Schnitt ist in unserem Leben von großem Nutzen und findet sich in der Natur.

Die Regelmäßigkeit von Phänomenen und Naturobjekten (z die Form einer Spirale. "Goldene Spirale"

5. Quellen- und Literaturverzeichnis

1. Wikipedia:

2. Debarkader L.A., Zahlen und Formeln in der Natur, Interessant und Nützlich bei Interessant. die Info

3. Website http://www.ed.vseved.ru/