Որքա՞ն է եռանկյունների հավասարության 1 նշանը: Եռանկյունների հավասարության առաջին նշանը. Եռանկյունների հավասարության երկրորդ և երրորդ նշանները. Ուղղանկյուն եռանկյունու տարրերի հարաբերակցությունը

Եռանկյուն . Սուր-անկյուն, բութ-անկյուն և ուղղանկյուն եռանկյուններ:

Ոտքեր և հիպոթենուզա. Հավասարասրուն և հավասարակողմ եռանկյուն:

Եռանկյան անկյունների գումարը.

Եռանկյունու արտաքին անկյունը. Եռանկյունների հավասարության նշաններ.

Հրաշալի գծեր և կետեր եռանկյան մեջ՝ բարձրություններ, միջիններ,

բիսեկտորներ, միջնե ուղղահայաց, ուղղանկյուն,

ծանրության կենտրոն, ներգծված շրջանագծի կենտրոն, ներգծված շրջանագծի կենտրոն։

Պյութագորասի թեորեմ. Տեսողության հարաբերակցությունը կամայական եռանկյունու մեջ:

Եռանկյուն Երեք կողմերով (կամ երեք անկյուններով) բազմանկյուն է: Եռանկյան կողմերը հաճախ նշվում են փոքր տառերով, որոնք համապատասխանում են հակառակ գագաթները նշանակող մեծատառերին։

Եթե ​​բոլոր երեք անկյունները սուր են (նկ. 20), ապա սա է սուր անկյունային եռանկյուն ... Եթե ​​անկյուններից մեկը ուղիղ է(Գ, նկ. 21), այն է ուղղանկյուն եռանկյուն; կուսակցություններա, բուղղանկյուն կազմող կոչվում են ոտքերը; կողմըգհակառակը Աջ անկյունըկոչվում է հիպոթենուզա... Եթե ​​մեկըբութ անկյուններ (B, նկ. 22), այն է բութ եռանկյուն.


Եռանկյուն ABC (նկ. 23) - հավասարաչափ, եթե երկունրա կողմերը հավասար են (ա= գ); այս հավասար կողմերը կոչվում են կողային, երրորդ կողմը կոչվում է հիմքեռանկյուն. Եռանկյուն ABC (նկ. 24) - հավասարակողմ, եթե բոլորընրա կողմերը հավասար են (ա = բ = գ) Ընդհանրապես ( ա ≠ բ ≠ գ) մենք ունենք scaleneեռանկյուն .

Եռանկյունների հիմնական հատկությունները. Ցանկացած եռանկյունում.

1. Ավելի մեծ կողմի նկատմամբ կա ավելի մեծ անկյուն և հակառակը:

2. Հավասար անկյունները գտնվում են հավասար կողմերի հակառակ և հակառակը:

Մասնավորապես, բոլոր անկյունները հավասարակողմեռանկյունները հավասար են.

3. Եռանկյան անկյունների գումարը հասնում է 180-ի º .

Վերջին երկու հատկություններից հետևում է, որ յուրաքանչյուր անկյուն հավասարակողմում

եռանկյունը 60 է º.

4. Շարունակելով եռանկյան կողմերից մեկը (AC, նկ. 25). մենք ստանում ենք արտաքին

անկյուն BCD . Եռանկյան արտաքին անկյունը հավասար է ներքին անկյունների գումարին,

ոչ նրան կից BCD = A + B:

5. Ցանկացած եռանկյան կողմը փոքր է մյուս երկու կողմերի գումարից և ավելի

նրանց տարբերությունները (ա < բ + գ, ա > բ – գ;բ < ա + գ, բ > ա – գ;գ < ա + բ,գ > ա – բ).

Եռանկյունների հավասարության նշաններ.

Եռանկյունները հավասար են, եթե համապատասխանաբար հավասար են.

ա ) երկու կողմերը և նրանց միջև եղած անկյունը.

բ ) երկու անկյուն և դրանց կից կողմը.

գ) երեք կողմ.

Ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության նշաններ.

Երկու ուղղանկյունեռանկյունները հավասար են, եթե ճիշտ է հետևյալ պայմաններից մեկը.

1) նրանց ոտքերը հավասար են.

2) մի եռանկյան ոտքը և հիպոթենուզը հավասար են մյուսի ոտքին և հիպոթենուզային.

3) մի եռանկյան հիպոթենուսը և սուր անկյունը հավասար են մյուսի հիպոթենուսին և սուր անկյունին.

4) մի եռանկյան ոտքը և հարակից սուր անկյունը հավասար են մյուսի ոտքին և հարակից սուր անկյունին.

5) մեկ եռանկյան ոտքը և հակառակ սուր անկյունը հավասար են ոտքին և մյուսի հակառակ սուր անկյունը.

Հրաշալի գծեր և կետեր եռանկյունու մեջ:

Բարձրություն եռանկյունն էուղղահայաց,ընկել է ցանկացած գագաթից հակառակ կողմ ( կամ դրա շարունակությունը). Այս կողմը կոչվում էեռանկյունու հիմքը . Եռանկյան երեք բարձրությունները միշտ հատվում ենմի կողմիցկանչեց orthocenterեռանկյուն. Սուր անկյունային եռանկյան ուղղանկյուն (կետՕ , նկ. 26) գտնվում է եռանկյան ներսում, ևբութ եռանկյան ուղղանկյուն (կետՕ , նկ. 27) – դրսում; Ուղղանկյուն եռանկյան ուղղանկյունը համընկնում է ուղիղ անկյան գագաթին։

Միջին - սա Բաժին միացնելով եռանկյան ցանկացած գագաթ հակառակ կողմի միջնակետին: Եռանկյան երեք միջն (AD, BE, CF, նկ. 28) հատվում են մի կետում Օ միշտ պառկած է եռանկյունու ներսումև լինելով իրենը ծանրության կենտրոն։ Այս կետը յուրաքանչյուր միջինը բաժանում է վերևից 2:1 հարաբերակցությամբ:

Բիսեկտոր - սա բիսեկտոր հատվածանկյունը գագաթից մինչև մի կետ հատում հակառակ կողմի հետ. Եռանկյան երեք կիսադիրներ (AD, BE, CF, նկ. 29) հատվում են մի կետում Oh միշտ պառկած եռանկյունու ներսումև լինելը ներգծված շրջանագծի կենտրոնը(տես «Նկարագրվածև նկարագրված բազմանկյունները»):

Բիսեկտորը հակառակ կողմը բաժանում է հարակից կողմերին համաչափ մասերի ; օրինակ, նկ. 29-ում AE: CE = AB: մ.թ.ա.

Միջին ուղղահայաց Մեջտեղից գծված ուղղահայաց էհատվածի կետերը (կողմերը): ABC եռանկյան երեք միջին ուղղահայաց(KO, MO, NO, նկ. 30 ) հատվում են O մի կետում, որը կենտրոն շրջագծված շրջանակը (կետ K, M, N - եռանկյան կողմերի միջնակետերը ABC):

Սուր անկյուն ունեցող եռանկյունում այս կետը գտնվում է եռանկյան ներսում. բութում - դրսում; ուղղանկյուն - հիպոթենուսի կեսին: Ուղղանկյուն, ծանրության կենտրոն, շրջագծված շրջանի կենտրոն և կենտրոն համընկնում են միայն հավասարակողմ եռանկյան մեջ:

Պյութագորասի թեորեմ. Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ՝ երկարության քառակուսինհիպոթենուսը հավասար է ոտքերի երկարությունների քառակուսիների գումարին:

Պյութագորասի թեորեմի ապացույցը հստակորեն բխում է Նկար 31-ից։ Դիտարկենք ուղղանկյուն եռանկյուն ABC ոտքերով ա, բև հիպոթենուզա գ.

Եկեք հրապարակ կառուցենքԱԿՄԲ օգտագործելով հիպոթենուզըԱԲ որպես կողմ. Հետոերկարացնել ուղղանկյուն եռանկյան կողմերը ABC այսպիսով քառակուսի ստանալու համար CDEF որի կողմը հավասար էա + բ.Այժմ պարզ է, որ քառակուսու մակերեսը CDEF-ն է ( ա + բ) 2 ... Մյուս կողմից՝ սա մակերեսը հավասար է գումարինքառակուսիներ չորս ուղղանկյուն եռանկյունև քառակուսի AKMB, այսինքն

գ 2 + 4 (աբ / 2) = գ 2 + 2 աբ,

այստեղից,

գ 2 + 2 աբ= (ա + բ) 2 ,

և վերջապես ունենք.

գ 2 =ա 2 + բ 2 .

Տեսողության հարաբերակցությունը կամայական եռանկյունու մեջ:

Ընդհանուր դեպքում (կամայական եռանկյունու համար) ունենք.

գ 2 =ա 2 + բ 2 – 2աբ· cos Գ,

որտեղ Ք - կողմերի միջև եղած անկյունըաև բ .

Երկու եռանկյունները կոչվում են հավասար, եթե դրանք կարող են համընկնել: Նկար 1-ում ներկայացված են ABC և A 1 B 1 C 1 հավասար եռանկյունները: Այս եռանկյուններից յուրաքանչյուրը կարող է դրվել մյուսի վրա այնպես, որ դրանք ամբողջությամբ հավասարվեն, այսինքն՝ դրանց գագաթներն ու կողմերը զույգերով կհամապատասխանեն: Պարզ է, որ այս եռանկյունների անկյունները կհամապատասխանեն զույգերով։

Այսպիսով, եթե երկու եռանկյունները հավասար են, ապա մի եռանկյան տարրերը (այսինքն՝ կողմերն ու անկյունները) համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան տարրերին։ Նշենք, որ հավասար եռանկյունիներում՝ համապատասխանաբար հավասար կողմերի դեմ(այսինքն համընկնումը) ունեն հավասար անկյուններ,և ետ: հավասար կողմերը գտնվում են համապատասխանաբար հավասար անկյունների դիմաց:

Այսպիսով, օրինակ, ABC և A 1 B 1 C 1 հավասար եռանկյուններում, որոնք ներկայացված են Նկար 1-ում, AB և A 1 B 1 հավասար կողմերը, համապատասխանաբար, գտնվում են հավասար անկյուններ C և C 1: ABC և А 1 В 1 С 1 եռանկյունների հավասարությունը կնշանակվի հետևյալ կերպ՝ Δ ABC = Δ А 1 В 1 С 1։ Ստացվում է, որ երկու եռանկյունների հավասարությունը կարելի է հաստատել՝ համեմատելով դրանց որոշ տարրեր։

Թեորեմ 1. Եռանկյունների հավասարության առաջին նշանը.Եթե ​​մեկ եռանկյան երկու կողմերը և նրանց միջև եղած անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մեկ այլ եռանկյան երկու կողմերին և նրանց միջև եղած անկյունին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են (նկ. 2):

Ապացույց. Դիտարկենք ABC և A 1 B 1 C 1 եռանկյունները, որոնց համար AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (տես նկ. 2): Եկեք ապացուցենք, որ Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1:

Քանի որ ∠ A = ∠ A 1, ապա ABC եռանկյունը կարող է դրվել A 1 B 1 C 1 եռանկյան վրա այնպես, որ A գագաթը հավասարեցվի A1 գագաթին, իսկ AB և AC կողմերը համապատասխանաբար վերադրվեն ճառագայթների վրա: A 1 B 1 և A 1 C 1: Քանի որ AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, ապա AB կողմը կհավասարեցվի A 1 B 1 կողմի հետ, իսկ AC կողմը` A 1 C 1 կողմի հետ; մասնավորապես միավորվելու են B և B 1, C և C 1 կետերը: Հետեւաբար, BC եւ B 1 C 1 կողմերը կմիավորվեն: Այսպիսով, ABC և A 1 B 1 C 1 եռանկյունները լիովին համատեղելի են, ինչը նշանակում է, որ նրանք հավասար են:

Թեորեմ 2-ը նույնպես ապացուցված է սուպերպոզիցիայի մեթոդով։

Թեորեմ 2. Եռանկյունների հավասարության երկրորդ նշանը.Եթե ​​մեկ եռանկյան կողմը և երկու հարակից անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մեկ այլ եռանկյան կողմին և երկու հարակից անկյուններին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են (նկ. 34):

Մեկնաբանություն. Թեորեմ 2-ն օգտագործվում է 3-րդ թեորեմը հաստատելու համար:

Թեորեմ 3. Եռանկյան ցանկացած երկու ներքին անկյունների գումարը 180 °-ից փոքր է:

Թեորեմ 4-ը բխում է վերջին թեորեմից:

Թեորեմ 4. Եռանկյան արտաքին անկյունն ավելի մեծ է, քան նրան ոչ կից ցանկացած ներքին անկյուն:

Թեորեմ 5. Եռանկյունների հավասարության երրորդ նշանը.Եթե ​​մի եռանկյան երեք կողմերը համապատասխանաբար հավասար են մեկ այլ եռանկյան երեք կողմերին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են ():

Օրինակ 1. ABC և DEF եռանկյուններում (նկ. 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 սմ, AC = 18 սմ, DE = 18 սմ, EF = 20 սմ Համեմատեք ABC և DEF եռանկյունները: Որքա՞ն է DEF եռանկյան անկյունը հավասար B անկյունին:

Լուծում. Այս եռանկյունները առաջին հատկանիշում հավասար են։ DEF եռանկյան F անկյունը հավասար է ABC եռանկյան B անկյունին, քանի որ այս անկյունները գտնվում են DE և AC համապատասխան հավասար կողմերի դեմ:

Օրինակ 2. AB և CD հատվածները (նկ. 5) հատվում են O կետում, որը յուրաքանչյուրի միջնամասն է։ Ի՞նչ է ոտքը BD, եթե ոտքը AC 6 մ է:

Լուծում. AOC և BOD եռանկյունները հավասար են (ըստ առաջին չափանիշի՝ ∠ AOC = ∠ BOD (ուղղահայաց), AO = OB, CO = OD (ըստ պայմանի):
Այս եռանկյունների հավասարությունը ենթադրում է նրանց կողմերի հավասարություն, այսինքն՝ AC = BD: Բայց քանի որ ըստ պայմանի AC = 6 մ, ապա BD = 6 մ.

Այս դասում մենք կուսումնասիրենք եռանկյունների հավասարության առաջին նշանը: Նախ ձևակերպում և ապացուցում ենք եռանկյունների հավասարության առաջին չափանիշի թեորեմը։ Այնուհետև մենք կլուծենք եռանկյունների հավասարության առաջին նշանի օգտագործման խնդիրները:

Նախորդ դասին ներկայացրինք «հավասար եռանկյուններ» հասկացությունը՝ եռանկյուններ, որոնք կարելի է համադրել համընկնումով: Այնուամենայնիվ, շատ դժվար է համեմատել թվերը ըստ սահմանման, ուստի մենք կներկայացնենք եռանկյունների հավասարության նշաններ՝ որոշ տարրերի համար:

Բրինձ. 1. ABC և A 1 B 1 C 1 եռանկյունները հավասար են

Ապացուցենք թեորեմը. եթե մեկ եռանկյան երկու կողմերը և նրանց միջև եղած անկյունը և երկրորդ եռանկյան համապատասխան երկու կողմերը և նրանց միջև անկյունը հավասար են, ապա այս եռանկյունները հավասար են։

Թեորեմ. Տրված է. Ապացուցել՝ ABC և.

Ապացույց. Տվյալները համադրենք թվերի վիճակում: Այս գործողության արդյունքում A և A 1 գագաթները, AB և A 1 B 1, AC և A 1 C 1 հատվածները համընկնում են: Եթե ​​եռանկյունները դիտարկենք որպես ամբողջություն, ապա այն համընկնում է.

Թեորեմն ապացուցված է.

Դիտարկենք մի քանի առաջադրանքներ.

AC և BD հատվածները բաժանվում են իրենց O հատման կետով կիսով չափ: Ապացուցեք դա։

Ապացույց՝ Կատարենք բացատրական գծագրություն։

Բրինձ. 2. Գծանկար օրինակ 1

Նշենք, որ AOB և COD անկյունները հավասար են ուղղահայաց, իսկ AOB եռանկյան BO և AO կողմերը համապատասխանաբար հավասար են COD եռանկյան OD և OC կողմերին: Հետևաբար, AOB և COD եռանկյունները առաջին հատկանիշում հավասար են:

AC և BD հատվածները կիսով չափ կրճատվում են հատման կետով: Ապացուցեք դա։

Բրինձ. 3. Գծանկար օրինակ 2

Նախորդ խնդրի մեջ մենք դա ապացուցեցինք առաջին չափանիշով. Այս նկատառումներից մենք կարող ենք եզրակացնել, որ AB = CD, ∠OAB = ∠OCD:

Հիմա հաշվի առեք եռանկյունները ... Նրանք ունեն AC - ընդհանուր կողմ, AB = CD, և ∠СAB = ∠АCD (ինչպես ապացուցված է): Հետեւաբար, ըստ հավասարության առաջին չափանիշի. Ք.Ե.Դ.

Բրինձ. 4. Գծանկար օրինակ 3

Նկար 3-ում AB և AC հատվածները հավասար են: Անկյուն 1-ը հավասար է 2-րդ անկյան:Հայտնի է, որ AC = 15 սմ, DC = 5 սմ, Ապացուցեք, որ. Գտե՛ք BD և AB ուղիղ հատվածների երկարությունները:

Առաջին հատկանիշում եռանկյունները հավասար են, քանի որ ∠1 = ∠2, AB = AC, իսկ AD-ն երկու եռանկյունների ընդհանուր կողմն է: Եռանկյունների հավասարությունը ենթադրում է դրանց որոշ համապատասխան տարրերի հավասարություն, հետևաբար՝ BD = CD = 5 սմ,

AB = AC = 15 սմ:

Պատասխան՝ 5 սմ, 15 սմ։

Նկար 5-ում BC = AD: Անկյուն 1 հավասար է 2 անկյան, AD = 17 սմ, CD = 14 սմ Ապացուցեք, որ. Գտեք AB և BC:

Բրինձ. 5. Գծանկար օրինակ 4

ABC եռանկյունը հավասար է CDA եռանկյունին: առաջին նշանով. ∠1 = ∠2, CB = AD, իսկ AC-ը երկու եռանկյունների ընդհանուր կողմն է: Հետևում է, որ .

1. Դասի թեման «Եռանկյունների հավասարության առաջին նշանը»
2. Եռանկյուն. տեղեկատու

1. Թիվ 36. Բուտուզով Վ.Ֆ., Կադոմցև Ս.Բ., Պրասոլովա Վ.Վ. Երկրաչափություն 7 / V.F. Բուտուզովը, Ս.Բ. Կադոմցև, Վ.Վ. Պրասոլով, խմբ. Սադովնիչի Վ.Ա. - Մ .: Կրթություն, 2010 թ.

2. Ապացուցեք, որ BOA և EOC եռանկյունները հավասար են: BE և AC հատվածները կիսով չափ կրճատվում են հատման կետով:

3. Ապացուցե՛ք, որ անկյան կողմերից հավասար հատվածներ կտրող ուղիղը ուղղահայաց է իր կիսորդին:

4. * M անկյան կողմերում գծագրված են MA և MS հավասար հատվածները և գծված է նրա կիսորդը, որի վրա նշված է B կետը, Ապացուցեք, որ BM-ն ABC անկյան կիսորդն է:

Տոմս 2

1 - ին հարց

Եռանկյունների հավասարության թեստեր (բոլորի ապացույց)

1-ին նշանեռանկյունների հավասարություն՝ երկու կողմերում և նրանց միջև եղած անկյունը ( Թեորեմ 3.1. – Երկու կողմերի եռանկյունների հավասարության նշանը և նրանց միջև ընկած անկյունը - Եթե մեկ եռանկյան երկու կողմերը և նրանց միջև անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մեկ այլ եռանկյան երկու կողմերին և նրանց միջև եղած անկյունին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են:)

Ապացույց:

Թող ABC և A 1 B 1 C 1 եռանկյունները ունենան A անկյունը հավասար A 1, AB հավասար A 1 B 1, AC հավասար A 1 C 1, ապացուցենք, որ եռանկյունները հավասար են:

Քանի որ A 1 B 1 հավասար է A 1 B 2-ին, B 2 գագաթը կհամընկնի B 1-ի հետ: Քանի որ B 1 A 1 C 1 անկյունը հավասար է B 2 A 1 C 2 անկյունին, ապա A 1 C ճառագայթը 2-ը կհամընկնի A 1 C 1-ի հետ: Քանի որ A 1 C 1 հավասար է A 1 C 2-ին, ապա C 2-ը համընկնում է C 1-ի հետ: Այսպիսով, A 1 B 1 C 1 եռանկյունը համընկնում է A 1 B 2 C 2 եռանկյունու հետ, ինչը նշանակում է, որ այն հավասար է ABC եռանկյունին: .

Թեորեմն ապացուցված է.

2-րդ նշանեռանկյունների հավասարությունը՝ կողմի երկայնքով և դրան հարող անկյուններով (թեորեմ 3.2. - Կողքի և դրան հարող անկյունների երկայնքով եռանկյունների հավասարության նշան - Եթե մեկ եռանկյան կողմը և դրան հարող անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մեկ այլ եռանկյան կողմին և դրան հարող անկյուններին, ապա այդպիսի եռանկյունները. հավասար)

Ապացույց:

Թող լինի ABC-ն և A 1 B 1 C 1-ը երկու եռանկյուն են, որոնցում AB-ն հավասար է A 1 B 1-ի, A անկյունը հավասար է A 1 անկյան, իսկ B անկյունը հավասար է B 1 անկյան: Եկեք ապացուցենք, որ նրանք հավասար են։

Թող A 1 B 2 C 2 լինի ABC-ին հավասար եռանկյուն, A 1 B 1 ճառագայթի B 2 գագաթից և A 1 B 1 ուղիղ գծի նկատմամբ C 2 գագաթից միևնույն կիսահարթության մեջ, որտեղ գագաթն է. C 1 ստում.

Քանի որ A 1 B 2 հավասար է A 1 B 1-ին, B 2 գագաթը համընկնում է B 1-ի հետ: Քանի որ B 1 A 1 C 2 անկյունը հավասար է B 1 A 1 C 1 անկյունին, իսկ A1B1C2 անկյունը հավասար է. A1B1C1 անկյունը, ապա A 1 C 2 ճառագայթը կհամընկնի A 1 C 1-ի հետ, իսկ B 1 C 2-ը կհամընկնի B 1 C 1-ի հետ: Հետևում է, որ C 2 գագաթը համընկնում է C 1-ի հետ: Այսպիսով, A 1 B 1 C 1 եռանկյունը համընկնում է A 1 B 2 C 2 եռանկյան հետ, ինչը նշանակում է, որ այն հավասար է ABC եռանկյունին:

Թեորեմն ապացուցված է.

3-րդ նշանեռանկյունների հավասարություն՝ երեք կողմերի վրա (թեորեմ 3.6. - Երեք կողմերի եռանկյունների հավասարության նշան - Եթե մեկ եռանկյան երեք կողմերը համապատասխանաբար հավասար են մեկ այլ եռանկյան երեք կողմերին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են)

Ապացույց:

Թող լինի ABC-ն և A 1 B 1 C 1-ը երկու եռանկյուն են, որոնցում AB-ն հավասար է A 1 B 1-ի, AC-ը հավասար է A 1 C 1-ի, իսկ BC-ն հավասար է B 1 C 1-ի: Եկեք ապացուցենք, որ նրանք հավասար են։

Ենթադրենք եռանկյունները հավասար չեն։ Այնուհետև նրանց A անկյունը հավասար չէ A1 անկյունին, B անկյունը հավասար չէ B 1 անկյունին, իսկ C անկյունը հավասար չէ C 1 անկյունին: Հակառակ դեպքում նրանք կհավասարվեին, ըստ առաջին հատկանիշի.

Թող A 1 B 1 C 2 լինի ABC եռանկյունին հավասար եռանկյուն, որում C 2 գագաթը գտնվում է C 1 գագաթի հետ նույն կիսահարթության մեջ A 1 B 1 ուղիղ գծի նկատմամբ:

Թող D լինի С 1 С 2 հատվածի միջնակետը։ A 1 C 1 C 2 և B 1 C 1 C 2 եռանկյունները C 1 C 2 ընդհանուր հիմքով հավասարաչափ են: Հետևաբար, դրանց միջինները A 1 D և B 1 D բարձրություններ են, ինչը նշանակում է, որ A 1 D և B 1 D ուղիղները ուղղահայաց են C 1 C 2 ուղիղ գծին: A 1 D և B 1 D ուղիղները չեն համընկնում, քանի որ A 1, B 1, D կետերը չեն ընկած մեկ ուղիղ գծի վրա, այլ С 1 С 2 ուղիղ գծի D կետով կարելի է գծել նրան ուղղահայաց միայն մեկ ուղիղ։ Մենք եկել ենք հակասության.

Բազմանկյունների հսկայական քանակի մեջ, որոնք ըստ էության փակ չհատվող բազմագիծ են, եռանկյունը ամենաքիչ թվով անկյուններով ձևն է։ Այսինքն՝ ամենապարզ բազմանկյունն է։ Բայց, չնայած իր ողջ պարզությանը, այս ցուցանիշը հղի է բազմաթիվ առեղծվածներով և հետաքրքիր բացահայտումներով, որոնք լուսավորված են մաթեմատիկայի հատուկ բաժինով՝ երկրաչափությամբ: Դպրոցներում այս կարգապահությունը սկսում է դասավանդվել յոթերորդ դասարանից, և այստեղ հատուկ ուշադրություն է դարձվում «Եռանկյունի» թեմային։ Երեխաները ոչ միայն սովորում են բուն գործչի կանոնները, այլև համեմատում են դրանք՝ ուսումնասիրելով եռանկյունների հավասարության 1, 2 և 3 նշանները։

Առաջին հանդիպում

Առաջին կանոններից մեկը, որին ծանոթանում են դպրոցականները, մոտավորապես այսպիսին է՝ եռանկյան բոլոր անկյունների արժեքների գումարը 180 աստիճան է։ Դա հաստատելու համար բավական է չափել գագաթներից յուրաքանչյուրը համեմատիչի միջոցով և գումարել ստացված բոլոր արժեքները։ Դրա հիման վրա երկու հայտնի արժեքներով հեշտ է որոշել երրորդը։ ՕրինակԵռանկյունում անկյուններից մեկը 70 ° է, մյուսը 85 °, ո՞րն է երրորդ անկյունը:

180 - 85 - 70 = 25.

Պատասխան՝ 25 °:

Առաջադրանքները կարող են ավելի բարդ լինել, եթե նշվում է միայն մեկ անկյան արժեքը, իսկ երկրորդ արժեքի մասին ասվում է միայն, թե որքան կամ քանի անգամ է այն մեծ կամ փոքր:

Եռանկյունու մեջ նրա որոշ հատկանիշներ որոշելու համար կարելի է հատուկ գծեր գծել, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի իր անունը.

• բարձրություն - վերևից դեպի հակառակ կողմ գծված ուղղահայաց գիծ.
• Միևնույն ժամանակ գծված բոլոր երեք բարձրությունները հատվում են նկարի կենտրոնում՝ ձևավորելով ուղղանկյուն, որը, կախված եռանկյունու տեսակից, կարող է լինել ինչպես ներսից, այնպես էլ դրսից.
• միջին - վերևը հակառակ կողմի կեսին միացնող գիծ;
• միջնամասերի հատումը նրա ձգողության կետն է, այն գտնվում է նկարի ներսում.
• բիսեկտոր - գագաթից դեպի հակառակ կողմի հատման կետը անցնող ուղիղ, երեք կիսադիրների հատման կետը ներգծված շրջանագծի կենտրոնն է։

Պարզ ճշմարտություններ եռանկյունների մասին

Եռանկյունները, ինչպես, փաստորեն, բոլոր թվերը, ունեն իրենց առանձնահատկությունները և հատկությունները: Ինչպես արդեն նշվեց, այս ցուցանիշը ամենապարզ բազմանկյունն է, բայց իր բնորոշ հատկանիշներով.

• ավելի մեծ արժեք ունեցող անկյունը միշտ գտնվում է ամենաերկար կողմի դեմ, և հակառակը.
• հավասար անկյունները գտնվում են հակառակ հավասար կողմերին, դրա օրինակը հավասարաչափ եռանկյունն է.
• ներքին անկյունների գումարը միշտ 180 ° է, որն արդեն ցուցադրվել է օրինակով.
• երբ եռանկյան մի կողմն իր սահմաններից դուրս է ձգվում, արտաքին անկյուն, որը միշտ հավասար կլինի իրեն չկից անկյունների գումարին.
• կողմերից յուրաքանչյուրը միշտ փոքր է մյուս երկու կողմերի գումարից, բայց ավելի շատ, քան նրանց տարբերությունը:

Եռանկյունների տեսակները

Ծանոթության հաջորդ փուլը որոշելն է, թե որ խմբին է պատկանում ներկայացված եռանկյունը։ Այս կամ այն ​​տեսակին պատկանելը կախված է եռանկյան անկյուններից:

• Isosceles - երկու հավասար կողմերով, որոնք կոչվում են կողային, երրորդն այս դեպքում գործում է որպես գործչի հիմք: Նման եռանկյան հիմքի անկյունները նույնն են, իսկ վերևից գծված միջնագիծը կիսորդն է և բարձրությունը:
• Կանոնավոր կամ հավասարակողմ եռանկյունին այն եռանկյունն է, որի բոլոր կողմերը հավասար են:
• Ուղղանկյուն: Նրա անկյուններից մեկը 90 ° է: Այս դեպքում այս անկյան հակառակ կողմը կոչվում է հիպոթենուս, իսկ մյուս երկուսը կոչվում են ոտքեր:
• Սուր եռանկյուն - բոլոր անկյունները 90 °-ից պակաս են:
• Բութ - անկյուններից մեկը 90 °-ից մեծ է:

Եռանկյունների հավասարություն և նմանություն

Ուսուցման գործընթացում դիտարկվում է ոչ միայն մեկ պատկեր, այլև համեմատվում են երկու եռանկյուններ: Եվ այս պարզ թվացող թեման ունի բազմաթիվ կանոններ և թեորեմներ, որոնցով կարելի է ապացուցել, որ խնդրո առարկա թվերը հավասար եռանկյուններ են։ Եռանկյունների հավասարության թեստերն ունեն հետևյալ սահմանումը. եռանկյունները հավասար են, եթե դրանց համապատասխան կողմերն ու անկյունները նույնն են: Այս հավասարության դեպքում, եթե այս երկու ֆիգուրները տեղադրեք միմյանց վրա, նրանց բոլոր տողերը կմիանան: Բացի այդ, թվերը կարող են նման լինել, մասնավորապես, դա վերաբերում է գործնականում նույնական թվերին, որոնք տարբերվում են միայն չափերով: Ներկայացված եռանկյունների վերաբերյալ նման եզրակացություն անելու համար պետք է բավարարվի հետևյալ պայմաններից մեկը.

• մի գործչի երկու անկյունները հավասար են մյուսի երկու անկյուններին.
• մեկի երկու կողմերը համաչափ են երկրորդ եռանկյան երկու կողմերին, իսկ կողմերից կազմված անկյունները հավասար են.
• երկրորդ նկարի երեք կողմերը նույնն են, ինչ առաջինը:

Իհարկե, անվիճելի հավասարության համար, որը չնչին կասկած չի հարուցի, անհրաժեշտ է ունենալ երկու թվերի բոլոր տարրերի նույն արժեքները, սակայն թեորեմների կիրառմամբ խնդիրը մեծապես պարզեցված է, և թույլատրվում է միայն մի քանի պայման. ապացուցել եռանկյունների հավասարությունը.

Եռանկյունների հավասարության առաջին նշանը

Այս թեմայի առաջադրանքները լուծվում են թեորեմի ապացուցման հիման վրա, որը հնչում է այսպես. այլ»։

Ինչպե՞ս է հնչում եռանկյունների հավասարության առաջին չափանիշի թեորեմի ապացույցը: Բոլորը գիտեն, որ երկու գծային հատվածները հավասար են, եթե ունեն նույն երկարությունը, կամ շրջանագծերը հավասար են, եթե ունեն նույն շառավիղը: Իսկ եռանկյունների դեպքում կան մի քանի նշաններ, որոնց առկայությամբ կարելի է ենթադրել, որ թվերը նույնական են, ինչը շատ հարմար է օգտագործել տարբեր երկրաչափական խնդիրներ լուծելիս։

«Եռանկյունների հավասարության առաջին չափանիշը» թեորեմի հնչյունը նկարագրված է վերևում, բայց ահա դրա ապացույցը.

• Ենթադրենք ABC և A 1 B 1 C 1 եռանկյունները ունեն նույն կողմերը AB և A 1 B 1 և, համապատասխանաբար, BC և B 1 C 1, և այդ կողմերից կազմված անկյունները ունեն նույն արժեքը, այսինքն՝ հավասար են: . Այնուհետև △ ABC-ն △ А 1 В 1 С 1-ի վրա դնելով, ստանում ենք բոլոր տողերի և գագաթների համընկնումը։ Այստեղից հետևում է, որ այս եռանկյունները բացարձակապես նույնական են, ինչը նշանակում է, որ դրանք հավասար են միմյանց։

«Եռանկյունների հավասարության առաջին նշանը» թեորեմը կոչվում է նաև «Երկու կողմերում և անկյունում»։ Իրականում սա է դրա էությունը։

Երկրորդ չափանիշի թեորեմը

Երկրորդ հավասարության չափանիշը ապացուցված է նույն ձևով, ապացույցը հիմնված է այն փաստի վրա, որ երբ ձևերը վերադրվում են միմյանց վրա, դրանք ամբողջովին համընկնում են բոլոր գագաթներով և կողմերի վրա: Իսկ թեորեմը հնչում է այսպես. «Եթե մի կողմը և երկու անկյունները, որոնց ձևավորմանը նա մասնակցում է, համապատասխանում են երկրորդ եռանկյան կողմին և երկու անկյուններին, ապա այդ թվերը նույնական են, այսինքն՝ հավասար»։

Երրորդ նշան և ապացույց

Եթե ​​եռանկյունների հավասարության և՛ 2, և՛ 1 նշանները դիպչել են նկարի և՛ կողմերին, և՛ անկյուններին, ապա 3-րդը վերաբերում է միայն կողմերին: Այսպիսով, թեորեմն ունի հետևյալ ձևակերպումը. «Եթե մեկ եռանկյան բոլոր կողմերը հավասար են երկրորդ եռանկյան երեք կողմերին, ապա թվերը նույնական են»։

Այս թեորեմն ապացուցելու համար հարկավոր է ավելի մանրամասն խորանալ հավասարության սահմանման մեջ: Հիմնականում ի՞նչ է նշանակում «եռանկյունները հավասար են»: Ինքնությունը հուշում է, որ եթե մի ձևը դրեք մյուսի վրա, ապա դրանց բոլոր տարրերը կհամընկնեն, դա կարող է լինել միայն այն դեպքում, երբ նրանց կողմերն ու անկյունները հավասար են: Միևնույն ժամանակ, կողմերից մեկին հակառակ անկյունը, որը նույնն է, ինչ մյուս եռանկյունին, հավասար կլինի երկրորդ նկարի համապատասխան գագաթին։ Հարկ է նշել, որ այս պահին ապացույցը հեշտությամբ կարելի է թարգմանել եռանկյունների հավասարության 1 չափանիշի։ Եթե ​​նման հաջորդականություն չի պահպանվում, ապա եռանկյունների հավասարությունը պարզապես անհնար է, բացառությամբ այն դեպքերի, երբ գործիչը առաջինի հայելային պատկերն է։

Ուղղանկյուն եռանկյուններ

Նման եռանկյունների կառուցվածքում միշտ կան 90 ° անկյուն ունեցող գագաթներ: Հետևաբար, հետևյալ պնդումները ճշմարիտ են.

• ուղիղ անկյուններով եռանկյունները հավասար են, եթե մեկի ոտքերը նույնական են երկրորդի ոտքերին.
• թվերը հավասար են, եթե դրանց հիպոթենուսը և ոտքից մեկը հավասար են.
• Նման եռանկյունները հավասար են, եթե դրանց ոտքերը և սուր անկյունը նույնական են:

Այս հատկանիշը վերաբերում է. Թեորեմն ապացուցելու համար կիրառվում է թվերի կիրառումը միմյանց նկատմամբ, որի արդյունքում եռանկյունները ոտքերով ծալվում են այնպես, որ դուրս գան երկու ուղիղ գծերից՝ CA և CA 1 կողմերով։

Գործնական օգտագործում

Շատ դեպքերում գործնականում կիրառվում է եռանկյունների հավասարության առաջին նշանը։ Փաստորեն, երկրաչափության և պլանաչափության 7-րդ դասարանի թվացյալ պարզ թեման օգտագործվում է նաև հեռախոսի մալուխի երկարությունը հաշվարկելու համար՝ առանց չափելու այն տեղանքը, որով այն կանցնի: Օգտագործելով այս թեորեմը, այն հեշտ է կազմել անհրաժեշտ հաշվարկներորոշել գետի մեջտեղում գտնվող կղզու երկարությունը՝ առանց այն հատելու։ Կամ ամրացրեք պարիսպը` բարը դնելով բացվածքի մեջ այնպես, որ այն բաժանի երկու հավասար եռանկյունների, կամ հաշվարկեք աշխատանքի բարդ տարրերը ատաղձագործության մեջ, կամ հաշվարկելիս. rafter համակարգտանիքները շինարարության ընթացքում.

Եռանկյունների հավասարության առաջին չափանիշն ունի լայն կիրառությունիրական «չափահաս» կյանքում: Թեեւ դպրոցական տարիներին այս թեման շատերի համար ձանձրալի ու բոլորովին ավելորդ է թվում։