Տեսական մեխանիկայի դասախոսությունների դասընթաց. Դինամիկա. Հիմնական օրենքները և բանաձևերը տեսական մեխանիկայի մեջ. Լուծման օրինակներ Մեխանիկա Դասախոսության նշումներ

Պտտման անկյունն այս ընթացքում φ=2πզ\u003d 2 * 3.14 * 360 \u003d 2261 ռադ

4. Աշխատեք 3 հերթափոխով.Վ\u003d 1 * 0,02 * 2261 \u003d 45,2 կՋ

Մատենագիտություն

Օլոֆինսկայա, Վ.Պ. «Տեխնիկական մեխանիկա», Մոսկվայի «Ֆորում» 2011 թ

Էրդեդի Ա.Ա. Էրդեդի Ն.Ա. Տեսական մեխանիկա. Նյութերի ամրությունը.- R-n-D; Ֆենիքս, 2010 թ

Դասախոսություններ տեսական մեխանիկայի վերաբերյալ

Կետերի դինամիկա

Դասախոսություն 1

Դինամիկայի հիմնական հասկացությունները

Բաժնում Դինամիկաուսումնասիրված է մարմինների շարժումը նրանց վրա կիրառվող ուժերի ազդեցությամբ։ Հետևաբար, ի լրումն այն հասկացությունների, որոնք ներկայացվել են բաժնում Կինեմատիկա,այստեղ անհրաժեշտ է օգտագործել նոր հասկացություններ, որոնք արտացոլում են տարբեր մարմինների վրա ուժերի ազդեցության առանձնահատկությունները և այդ ազդեցություններին մարմինների արձագանքը: Դիտարկենք այս հասկացություններից հիմնականը.

ա) ուժ

Ուժը տվյալ մարմնի վրա այլ մարմինների ազդեցության քանակական արդյունքն է։Ուժը վեկտորային մեծություն է (նկ. 1):

Ուժի վեկտորի սկզբի կետ Ա Ֆկանչեց ուժի կիրառման կետ. MN ուղիղը, որի վրա գտնվում է ուժի վեկտորը, կոչվում է ուժի գիծ.Ուժի վեկտորի երկարությունը, որը չափվում է որոշակի մասշտաբով, կոչվում է ուժի վեկտորի թվային արժեքը կամ մոդուլը. Ուժի մոդուլը նշանակվում է կամ . Մարմնի վրա ուժի ազդեցությունը դրսևորվում է կամ նրա դեֆորմացմամբ, եթե մարմինը անշարժ է, կամ մարմնի շարժման ժամանակ նրան արագացում հաղորդելով։ Ուժի այս դրսևորումների վրա հիմնված է ուժերը չափող տարբեր գործիքների (ուժաչափեր կամ դինամոմետրեր) սարքը։

բ) ուժերի համակարգ

Ուժերի դիտարկված խումբը ձևավորում է ուժային համակարգ.Ցանկացած համակարգ, որը բաղկացած է n ուժերից, կարող է գրվել հետևյալ ձևով.

գ) ազատ մարմին

Այն մարմինը, որը կարող է տարածության մեջ շարժվել ցանկացած ուղղությամբ՝ առանց այլ մարմինների հետ անմիջական (մեխանիկական) փոխազդեցության, կոչվում է. անվճարկամ մեկուսացված. Ուժերի այս կամ այն ​​համակարգի ազդեցությունը մարմնի վրա կարելի է պարզել միայն այն դեպքում, եթե այդ մարմինն ազատ է:

դ) արդյունքի ուժ

Եթե ​​որևէ ուժ ազատ մարմնի վրա ունի նույն ազդեցությունը, ինչ ուժերի որոշ համակարգ, ապա այդ ուժը կոչվում է այս ուժերի համակարգի արդյունքը. Սա գրված է հետևյալ կերպ.

,

ինչը նշանակում է համարժեքությունարդյունքի և n ուժերի որոշ համակարգի վրա ազդեցությունը նույն ազատ մարմնի վրա։

Այժմ անդրադառնանք ուժերի պտտման ազդեցության քանակական որոշմանը վերաբերող ավելի բարդ հասկացությունների քննարկմանը:

ե) ուժի պահը կետի (կենտրոնի) նկատմամբ.

Եթե ​​ուժի ազդեցության տակ գտնվող մարմինը կարող է պտտվել O-ի որոշ ֆիքսված կետի շուրջ (նկ. 2), ապա այդ պտտվող ազդեցությունը քանակականացնելու համար ներմուծվում է ֆիզիկական մեծություն, որը կոչվում է. ուժի պահը կետի (կենտրոնի) շուրջ։

Տրված ֆիքսված կետով և ուժի գործողության գիծով անցնող ինքնաթիռը կոչվում է ուժի հարթություն. Նկար 2-ում սա ОАВ հարթությունն է:

Կետի (կենտրոնի) նկատմամբ ուժի պահը վեկտորային մեծություն է, որը հավասար է ուժի վեկտորի կողմից ուժի կիրառման կետի շառավղային վեկտորի վեկտորային արտադրյալին.

( 1)

Երկու վեկտորների վեկտորային բազմապատկման կանոնի համաձայն՝ դրանց վեկտորային արտադրյալը գործոնային վեկտորների (այս դեպքում՝ OAB եռանկյան հարթությանը) ուղղահայաց վեկտոր է, որն ուղղված է այն ուղղությամբ, որտեղից ամենակարճ պտույտը առաջին գործոնի վեկտորը երկրորդ գործոնի վեկտորին տեսանելի է ժամացույցի հակառակ (նկ. 2):Խաչի արտադրյալի (1) գործոնների վեկտորների այս կարգով մարմնի պտույտը ուժի ազդեցության տակ տեսանելի կլինի ժամացույցի համեմատ (նկ. 2), քանի որ վեկտորը ուղղահայաց է ուժի հարթությանը. , նրա գտնվելու վայրը տարածության մեջ որոշում է ուժի հարթության դիրքը Կենտրոնի նկատմամբ ուժի մոմենտի վեկտորի թվային արժեքը հավասար է ОАВ մակերեսի կրկնապատիկին և կարող է որոշվել բանաձևով.

, (2)

որտեղ մեծությունըհ, որը հավասար է տրված O կետից մինչև ուժի գծի ամենակարճ հեռավորությանը, կոչվում է ուժի թեւ.

Եթե ​​ուժի գործողության հարթության դիրքը տարածության մեջ էական չէ ուժի պտտման գործողությունը բնութագրելու համար, ապա այս դեպքում ուժի պտտման գործողությունը բնութագրելու համար ուժի պահի վեկտորի փոխարեն. ուժի հանրահաշվական պահը:

(3)

Տվյալ կենտրոնի նկատմամբ ուժի հանրահաշվական մոմենտը հավասար է ուժի մոդուլի և նրա ուսի արտադրյալին` վերցված գումարած կամ մինուս նշանով: Այս դեպքում դրական մոմենտը համապատասխանում է մարմնի պտույտին ժամացույցի վրա տրված ուժի ազդեցությամբ, իսկ բացասական մոմենտը՝ մարմնի պտույտին ժամացույցի ուղղությամբ։ (1), (2) և (3) բանաձևերից հետևում է, որ կետի նկատմամբ ուժի պահը հավասար է զրոյի միայն այն դեպքում, երբ այս ուժի թեւըհզրո. Նման ուժը չի կարող պտտել մարմինը տվյալ կետի շուրջ։

զ) առանցքի շուրջ ուժի պահը

Եթե ​​ուժի ազդեցության տակ գտնվող մարմինը կարող է պտտվել որոշ ֆիքսված առանցքի շուրջը (օրինակ՝ դռան կամ պատուհանի շրջանակի պտտումը ծխնիների մեջ, երբ դրանք բացվում կամ փակվում են), ապա այդ պտտման ազդեցությունը քանակականացնելու համար ներմուծվում է ֆիզիկական մեծություն, որը կոչվում է ուժի պահը տվյալ առանցքի շուրջ.

զ

 բ Fxy

Նկար 3-ը ցույց է տալիս դիագրամ, որի համաձայն որոշվում է z առանցքի շուրջ ուժի պահը.

 անկյունը կազմված է երկու ուղղահայաց z ուղղություններով և O եռանկյունների հարթություններով աբև OAV, համապատասխանաբար: Քանի որ  Օ աբОАВ-ի պրոյեկցիան է xy հարթության վրա, ապա ըստ ստերեոմետրիայի թեորեմի՝ հարթ պատկերի պրոյեկցիայի վերաբերյալ տրված հարթության վրա ունենք.

որտեղ գումարած նշանը համապատասխանում է cos-ի դրական արժեքին, այսինքն՝ սուր անկյուններին , իսկ մինուս նշանը համապատասխանում է cos-ի բացասական արժեքին, այսինքն՝ բութ անկյուններին՝ կապված վեկտորի ուղղության հետ: Իր հերթին, SO աբ=1/2աբհ, որտեղ հ  աբ . Հատվածի արժեքը աբհավասար է xy հարթության վրա ուժի նախագծմանը, այսինքն. . աբ = Ֆ xy .

Ելնելով վերը նշվածից, ինչպես նաև (4) և (5) հավասարություններից՝ մենք որոշում ենք z առանցքի ուժի պահը հետևյալ կերպ.

Հավասարությունը (6) թույլ է տալիս ձևակերպել ցանկացած առանցքի շուրջ ուժի պահի հետևյալ սահմանումը. Տրված առանցքի շուրջ ուժի պահը հավասար է այս ուժի մոմենտի վեկտորի այս առանցքի վրա պրոյեկցիայիը՝ կապված ցանկացած կետի հետ։ այս առանցքը և սահմանվում է որպես տվյալ առանցքին ուղղահայաց հարթության վրա ուժի պրոյեկցիայի արտադրյալը, որը վերցված է այս պրոյեկցիայի ուսի վրա գումարած կամ մինուս նշանով` առանցքի պրոյեկցիոն հարթության հետ հատման կետի նկատմամբ: Այս դեպքում պահի նշանը համարվում է դրական, եթե առանցքի դրական ուղղությամբ նայելով մարմնի պտույտը այս առանցքի շուրջ տեսանելի է ժամացույցի հակառակը։ Հակառակ դեպքում առանցքի շուրջ ուժի պահը ընդունվում է որպես բացասական։ Քանի որ առանցքի նկատմամբ ուժի պահի այս սահմանումը բավականին դժվար է հիշել, խորհուրդ է տրվում հիշել այս բանաձևը բացատրող (6) բանաձևը և նկար 3-ը:

Բանաձևից (6) հետևում է, որ առանցքի շուրջ ուժի պահը զրո է, եթեայն զուգահեռ է առանցքին (այս դեպքում դրա պրոյեկցիան առանցքին ուղղահայաց հարթության վրա հավասար է զրոյի), կամ ուժի գործողության գիծը հատում է առանցքը (այնուհետև՝ պրոյեկցիոն թեւը). հ=0). Սա լիովին համապատասխանում է առանցքի շուրջ ուժի պահի ֆիզիկական նշանակությանը որպես պտտման առանցք ունեցող մարմնի վրա ուժի պտտման գործողության քանակական բնութագիր։

է) մարմնի քաշը

Վաղուց նշվել է, որ ուժի ազդեցությամբ մարմինն աստիճանաբար արագություն է հավաքում և ուժը հեռացնելու դեպքում շարունակում է շարժվել։ Մարմինների այս հատկությունը՝ դիմադրելու նրանց շարժման փոփոխությանը, կոչվում էր մարմինների իներցիա կամ իներցիա։ Մարմնի իներցիայի քանակական չափը նրա զանգվածն է։Բացի այդ, մարմնի զանգվածը տվյալ մարմնի վրա գրավիտացիոն ուժերի ազդեցության քանակական միջոց է որքան մեծ է մարմնի զանգվածը, այնքան մեծ է գրավիտացիոն ուժը մարմնի վրա:Ինչպես ցույց կտա ստորև, հաՄարմնի քաշի այս երկու սահմանումները փոխկապակցված են:

Դինամիկայի այլ հասկացություններ և սահմանումներ կքննարկվեն ավելի ուշ այն բաժիններում, որտեղ դրանք առաջին անգամ են հայտնվում:

2. Կապերը և կապերի ռեակցիաները

Ավելի վաղ 1-ին կետի (գ) կետում տրված էր ազատ մարմնի հասկացությունը՝ որպես մարմին, որը կարող է տարածության մեջ շարժվել ցանկացած ուղղությամբ՝ առանց այլ մարմինների հետ անմիջական շփման: Իրական մարմինների մեծ մասը, որոնք շրջապատում են մեզ, անմիջական շփման մեջ են այլ մարմինների հետ և չեն կարող շարժվել այս կամ այն ​​ուղղությամբ: Այսպիսով, օրինակ, սեղանի մակերևույթի վրա գտնվող մարմինները կարող են շարժվել ցանկացած ուղղությամբ, բացառությամբ սեղանի մակերեսին ուղղահայաց դեպի ներքև: Կախովի դռները կարող են պտտվել, բայց չեն կարող առաջ շարժվել և այլն: Այն մարմինները, որոնք չեն կարող տարածության մեջ շարժվել այս կամ այն ​​ուղղությամբ, կոչվում են. ոչ անվճար:

Այն ամենը, ինչը սահմանափակում է տվյալ մարմնի շարժումը տարածության մեջ, կոչվում է կապեր:Սրանք կարող են լինել մի քանի այլ մարմիններ, որոնք կանխում են այս մարմնի շարժումը որոշ ուղղություններով ( ֆիզիկական կապեր); ավելի լայնորեն, դա կարող է լինել որոշ պայմաններ, որոնք պարտադրված են մարմնի շարժմանը, սահմանափակելով այս շարժումը: Այսպիսով, դուք կարող եք պայման դնել, որպեսզի նյութական կետի շարժումը տեղի ունենա տվյալ կորի երկայնքով: Այս դեպքում կապը մաթեմատիկորեն նշվում է հավասարման տեսքով ( կապի հավասարումը): Հղումների տեսակների հարցը ավելի մանրամասն կքննարկվի ստորև:

Մարմինների վրա դրված կապերի մեծ մասը գործնականում ֆիզիկական կապեր են։ Ուստի հարց է առաջանում տվյալ մարմնի փոխազդեցության և այս մարմնի վրա դրված կապի մասին։ Այս հարցին պատասխանում է մարմինների փոխազդեցության աքսիոմը. Երկու մարմիններ միմյանց վրա գործում են մեծությամբ հավասար ուժերով, ուղղություններով հակառակ և գտնվում են նույն ուղիղ գծի վրա: Այս ուժերը կոչվում են փոխազդեցության ուժեր: Փոխազդեցության ուժերը կիրառվում են տարբեր փոխազդող մարմինների վրա: Այսպես, օրինակ, տվյալ մարմնի և կապի փոխազդեցության ժամանակ փոխազդեցության ուժերից մեկը մարմնի կողմից կիրառվում է միացման վրա, իսկ մյուս փոխազդեցության ուժը՝ տվյալ մարմնին միացման կողմից։ . Այս վերջին իշխանությունը կոչվում է կապի արձագանքման ուժկամ պարզապես, կապի ռեակցիա.

Դինամիկայի գործնական խնդիրներ լուծելիս անհրաժեշտ է կարողանալ գտնել ռեակցիաների ուղղությունը տարբեր տեսակներկապեր. Կապի ռեակցիայի ուղղությունը որոշելու ընդհանուր կանոնը երբեմն կարող է օգնել դրան. Կապի ռեակցիան միշտ ուղղված է այն ուղղությանը, որով այս կապը կանխում է տվյալ մարմնի շարժումը: Եթե ​​այս ուղղությունը կարելի է միանշանակ նշել, ապա միացման ռեակցիան կորոշվի ուղղությամբ։ Հակառակ դեպքում կապի ռեակցիայի ուղղությունը անորոշ է և կարելի է գտնել միայն շարժման կամ մարմնի հավասարակշռության համապատասխան հավասարումներից։ Ավելի մանրամասն կապերի տեսակների և դրանց ռեակցիաների ուղղության հարցը պետք է ուսումնասիրվի ըստ դասագրքի՝ Ս.Մ. Targ Տեսական մեխանիկայի կարճ դասընթաց «Բարձրագույն դպրոց», Մ., 1986 թ. Գլ.1, §3.

Բաժին 1-ի (գ) կետում ասվեց, որ ուժերի ցանկացած համակարգի ազդեցությունը կարող է լիովին որոշվել միայն այն դեպքում, եթե ուժերի այս համակարգը կիրառվի ազատ մարմնի վրա: Քանի որ մարմինների մեծ մասն իրականում ազատ չէ, ապա այդ մարմինների շարժումն ուսումնասիրելու համար հարց է առաջանում, թե ինչպես կարելի է այդ մարմինները դարձնել ազատ։ Այս հարցին պատասխան է տրված Դասախոսությունների կապերի աքսիոմա վրափիլիսոփայություն տանը. Դասախոսություններէին... սոցիալական հոգեբանություն և էթնոհոգեբանություն. 3. ՏեսականՍոցիալական դարվինիզմի արդյունքները եղել են…

1 սլայդ

Տեսական մեխանիկայի դինամիկան դասախոսությունների դասընթաց (I մաս) Բոնդարենկո Ա.Ն. Մոսկվա - 2007 Էլեկտրոնային դասընթացգրված է հեղինակի կողմից տրված դասախոսությունների հիման վրա NIIZhT-ում և MIIT-ում SZhD, PGS և SDM մասնագիտություններով սովորող ուսանողների համար (1974-2006): Ուսումնական նյութը համապատասխանում է օրացուցային պլաններավելի քան երեք կիսամյակ: Ներկայացման ընթացքում անիմացիոն էֆեկտներն ամբողջությամբ իրականացնելու համար դուք պետք է օգտագործեք Power Point դիտիչ՝ ներկառուցված Microsoft Office-ից ոչ ցածր: օպերացիոն համակարգ Windows-XP Professional. Մեկնաբանությունները և առաջարկությունները կարող են ուղարկվել էլ. [էլփոստը պաշտպանված է]. Մոսկվա Պետական ​​համալսարանԵրկաթուղիների (ՄՏՏՏ) տեսական մեխանիկայի բաժին Տրանսպորտային տեխնոլոգիաների գիտատեխնիկական կենտրոն

2 սլայդ

Բովանդակություն Դասախոսություն 1. Ներածություն դինամիկայի. Նյութական կետերի դինամիկայի օրենքներ և աքսիոմներ: Դինամիկայի հիմնական հավասարումը. Շարժման դիֆերենցիալ և բնական հավասարումներ. Դինամիկայի երկու հիմնական խնդիր. Դինամիկայի ուղղակի խնդրի լուծման օրինակներ Դասախոսություն 2. Դինամիկայի հակադարձ խնդրի լուծում. Դինամիկայի հակադարձ խնդրի լուծման ընդհանուր հրահանգներ. Դինամիկայի հակադարձ խնդրի լուծման օրինակներ. Հորիզոնի նկատմամբ անկյան տակ նետված մարմնի շարժումը՝ առանց հաշվի առնելու օդի դիմադրությունը։ Դասախոսություն 3. Նյութական կետի ուղղագիծ տատանումներ. Տատանումների առաջացման պայմանը. Թրթռումների դասակարգում. Ազատ թրթռումներ՝ առանց դիմադրության ուժերը հաշվի առնելու։ թուլացած թրթռումներ. Տատանումների նվազում. Դասախոսություն 4. Նյութական կետի հարկադիր տատանումներ. Ռեզոնանս. Շարժման դիմադրության ազդեցությունը հարկադիր թրթռումների ժամանակ: Դասախոսություն 5. Նյութական կետի հարաբերական շարժում. Իներցիայի ուժեր. Շարժման հատուկ դեպքեր տարբեր տեսակի շարժական շարժման համար: Երկրի պտույտի ազդեցությունը մարմինների հավասարակշռության և շարժման վրա. Դասախոսություն 6. Մեխանիկական համակարգի դինամիկան. մեխանիկական համակարգ. Արտաքին և ներքին ուժեր. Համակարգի զանգվածի կենտրոն: Զանգվածի կենտրոնի շարժման թեորեմը. Պահպանության օրենքներ. Զանգվածի կենտրոնի շարժման թեորեմի օգտագործման խնդրի լուծման օրինակ։ Դասախոսություն 7. Ուժի իմպուլս. Շարժման ծավալը. Իմպուլսի փոփոխության թեորեմ. Պահպանության օրենքներ. Էյլերի թեորեմ. Իմպուլսի փոփոխության թեորեմի օգտագործման խնդրի լուծման օրինակ։ թափի պահը. Անկյունային իմպուլսի փոփոխության թեորեմ Դասախոսություն 8. Պահպանման օրենքներ. Իներցիայի պահերի տեսության տարրեր. Կոշտ մարմնի կինետիկ պահը. Կոշտ մարմնի պտույտի դիֆերենցիալ հավասարումը. Համակարգի անկյունային իմպուլսի փոփոխման թեորեմի օգտագործման խնդրի լուծման օրինակ։ Գիրոսկոպի տարրական տեսություն. Առաջարկվող գրականություն 1. Յաբլոնսկի Ա.Ա. Տեսական մեխանիկայի դասընթաց. Մաս 2. Մ.: Բարձրագույն դպրոց. 1977. 368 էջ. 2. Մեշչերսկի Ի.Վ. Տեսական մեխանիկայի խնդիրների ժողովածու. Մ.: Գիտություն. 1986 416 էջ. 3. Կուրսային աշխատանքների առաջադրանքների ժողովածու /Խմբ. Ա.Ա. Յաբլոնսկին. Մ.: Բարձրագույն դպրոց. 1985. 366 էջ. 4. Բոնդարենկո Ա.Ն. «Տեսական մեխանիկան օրինակներում և առաջադրանքներում. Dynamics» (էլեկտրոնային ձեռնարկ www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004 թ.

3 սլայդ

Դասախոսություն 1 Դինամիկան տեսական մեխանիկայի բաժին է, որն ուսումնասիրում է մեխանիկական շարժումը ամենաընդհանուր տեսանկյունից: Շարժումը դիտարկվում է օբյեկտի վրա ազդող ուժերի հետ կապված։ Բաժինը բաղկացած է երեք բաժնից՝ նյութական կետի դինամիկան Դինամիկան մեխանիկական համակարգի դինամիկան Անալիտիկ մեխանիկա ■ Կետի դինամիկան - ուսումնասիրում է նյութական կետի շարժումը՝ հաշվի առնելով այն ուժերը, որոնք առաջացնում են այդ շարժումը։ Հիմնական առարկան նյութական կետն է՝ զանգվածով նյութական մարմին, որի չափերը կարելի է անտեսել։ Հիմնական ենթադրություններ. - կա բացարձակ տարածություն (այն ունի զուտ երկրաչափական հատկություններ, որոնք կախված չեն նյութից և նրա շարժումից. - կա բացարձակ ժամանակ (կախված չէ նյութից և նրա շարժումից): Այստեղից հետևում է. բացարձակապես անշարժ հղման համակարգ. - ժամանակը կախված չէ հղման համակարգի շարժումից. - շարժվող կետերի զանգվածները կախված չեն հղման համակարգի շարժումից: Այս ենթադրություններն օգտագործվում են Գալիլեոյի և Նյուտոնի կողմից ստեղծված դասական մեխանիկայի մեջ: Այն դեռ բավական լայն շրջանակ ունի, քանի որ կիրառական գիտություններում դիտարկվող մեխանիկական համակարգերը չունեն այնպիսի մեծ զանգվածներ և շարժման արագություններ, որոնց համար անհրաժեշտ է հաշվի առնել դրանց ազդեցությունը տարածության, ժամանակի, շարժման երկրաչափության վրա, ինչպես. կատարվում է հարաբերականության մեխանիկայում (հարաբերականության տեսություն) ■ Դինամիկայի հիմնական օրենքները, որոնք առաջին անգամ հայտնաբերեց Գալիլեոն և ձևակերպեց Նյուտոնը, հիմք են հանդիսանում մեխանիկական համակարգերի շարժումը և դրանց դինամիկ փոխազդեցությունը նկարագրելու և վերլուծելու բոլոր մեթոդները։ գործողություն տարբեր ուժերի ազդեցության տակ. ■ Իներցիայի օրենք (Գալիլեո-Նյուտոնի օրենք) - Մարմնի մեկուսացված նյութական կետը պահպանում է իր հանգստի վիճակը կամ միատեսակ ուղղագիծ շարժումը, մինչև կիրառվող ուժերը ստիպեն նրան փոխել այս վիճակը: Սա ենթադրում է իներցիայով հանգստի և շարժման վիճակի համարժեքություն (Գալիլեոյի հարաբերականության օրենք)։ Հղման շրջանակը, որի նկատմամբ կատարվում է իներցիայի օրենքը, կոչվում է իներցիոն։ Նյութական կետի հատկությունը՝ ձգտելու իր շարժման արագությունը (դրա կինեմատիկական վիճակը) անփոփոխ պահել, կոչվում է իներցիա։ ■ Ուժի և արագացման համաչափության օրենքը (Դինամիկայի հիմնական հավասարումը - Նյուտոնի II օրենք) - Ուժի ուժով նյութական կետին տրվող արագացումը ուղիղ համեմատական ​​է ուժին և հակադարձ համեմատական ​​է այս կետի զանգվածին. կամ այստեղ m-ն է. կետի զանգվածը (իներցիայի չափում), որը չափվում է կգ-ով, թվայինորեն հավասար է քաշին, որը բաժանվում է գրավիտացիոն արագացման վրա. F-ն գործող ուժն է, որը չափվում է N-ով (1 N-ով 1 մ/վրկ արագացում է հաղորդում մի կետի զանգված 1 կգ, 1 N \u003d 1/9: 81 կգ-վ): ■ Մեխանիկական համակարգի դինամիկան - ուսումնասիրում է մի շարք նյութական կետերի և պինդ մարմինների շարժումը, որոնք միավորված են փոխազդեցության ընդհանուր օրենքներով, հաշվի առնելով այն ուժերը, որոնք առաջացնում են այս շարժումը: ■ Անալիտիկ մեխանիկա - ուսումնասիրում է ոչ ազատ մեխանիկական համակարգերի շարժումը ընդհանուր անալիտիկ մեթոդների կիրառմամբ: մեկ

4 սլայդ

Դասախոսություն 1 (շարունակություն - 1.2) Նյութական կետի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ՝ - կետի շարժման դիֆերենցիալ հավասարում վեկտորի տեսքով։ - կետային շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ կոորդինատային տեսքով: Այս արդյունքը կարելի է ստանալ վեկտորային դիֆերենցիալ հավասարման (1) պաշտոնական պրոյեկցիայի միջոցով: Խմբավորումից հետո վեկտորային կապը բաժանվում է երեք սկալյար հավասարումների. կոորդինատային ձևով. Մենք օգտագործում ենք շառավիղ-վեկտորի կապը կոորդինատների հետ, իսկ ուժի վեկտորը կանխատեսումների հետ. շարժման դիֆերենցիալ հավասարում բնական (շարժվող) կոորդինատային առանցքների վրա. կամ. կետի շարժման բնական հավասարումներ. ■ Դինամիկայի հիմնական հավասարումը. - համապատասխանում է կետի շարժումը ճշտելու վեկտորային եղանակին: ■ Ուժերի գործողության անկախության օրենքը - Նյութական կետի արագացումը մի քանի ուժերի ազդեցությամբ հավասար է ուժերից յուրաքանչյուրի գործողությունից մեկ կետի արագացումների երկրաչափական գումարին. կամ Օրենքը վավեր է. մարմինների ցանկացած կինեմատիկական վիճակի համար։ Տարբեր կետերի (մարմինների) վրա կիրառվող փոխազդեցության ուժերը հավասարակշռված չեն։ ■ Գործողության և ռեակցիայի հավասարության օրենքը (Նյուտոնի III օրենք) - Յուրաքանչյուր գործողություն համապատասխանում է հավասար և հակառակ ուղղված ռեակցիայի.

5 սլայդ

Դինամիկայի երկու հիմնական խնդիր՝ 1. Ուղղակի խնդիր՝ Տրված է շարժումը (շարժման հավասարումներ, հետագիծ)։ Պահանջվում է որոշել ուժերը, որոնց գործողության ներքո տեղի է ունենում տվյալ շարժում։ 2. Հակադարձ խնդիր. Տրված են այն ուժերը, որոնց գործողության ներքո տեղի է ունենում շարժումը: Պահանջվում է գտնել շարժման պարամետրերը (շարժման հավասարումներ, շարժման հետագիծ): Երկու խնդիրներն էլ լուծվում են՝ օգտագործելով դինամիկայի հիմնական հավասարումը և դրա պրոյեկցիան կոորդինատային առանցքների վրա: Եթե ​​դիտարկվում է ոչ ազատ կետի շարժումը, ապա, ինչպես ստատիկայում, կիրառվում է կապերից ազատվելու սկզբունքը։ Ռեակցիայի արդյունքում կապերը ներառվում են նյութական կետի վրա ազդող ուժերի կազմի մեջ։ Առաջին խնդրի լուծումը կապված է տարբերակման գործողությունների հետ։ Հակադարձ խնդրի լուծումը պահանջում է համապատասխան դիֆերենցիալ հավասարումների ինտեգրում, և դա շատ ավելի դժվար է, քան տարբերակումը։ Հակադարձ խնդիրն ավելի բարդ է, քան ուղղակի խնդիրը: Դինամիկայի ուղղակի խնդրի լուծումը - նայենք օրինակներին. Օրինակ 1. Վերելակի G կշռով խցիկը բարձրացվում է a արագացում ունեցող մալուխով։ Որոշեք մալուխի լարվածությունը: 1. Ընտրեք օբյեկտ (վերելակի խցիկը առաջ է շարժվում և կարող է դիտվել որպես նյութական կետ): 2. Միացումն (մալուխը) դեն ենք նետում և փոխարինում R ռեակցիայով: 3. Կազմի՛ր դինամիկայի հիմնական հավասարումը. Որոշի՛ր մալուխի ռեակցիան. Որոշի՛ր մալուխի լարվածությունը. Կաբինետի միատեսակ շարժումով ay = 0 և մալուխի լարվածությունը հավասար է քաշին՝ T = G. Երբ մալուխը կոտրվում է T = 0, իսկ խցիկի արագացումը հավասար է ազատ անկման արագացմանը՝ ay = -g: 3 4. Մենք նախագծում ենք դինամիկայի հիմնական հավասարումը y առանցքի վրա. y Օրինակ 2. M զանգվածի կետը շարժվում է հորիզոնական մակերևույթի երկայնքով (Oxy հարթություն) համաձայն հավասարումների՝ x = a coskt, y = b coskt: Որոշեք կետի վրա ազդող ուժը: 1. Ընտրեք օբյեկտ (նյութական կետ): 2. Կապը (հարթությունը) հեռացնում ենք և փոխարինում N ռեակցիայով 3. Ուժերի համակարգին ավելացնում ենք անհայտ F ուժ 4. Կազմի՛ր դինամիկայի հիմնական հավասարումը. 5. Դինամիկայի հիմնական հավասարումը նախագծի՛ր։ առանցքներ x,yՈրոշեք ուժի կանխատեսումները. Ուժի մոդուլ. Ուղղության կոսինուսներ. Այսպիսով, ուժի մեծությունը համամասնական է կետի հեռավորությանը մինչև կոորդինատների կենտրոնը և ուղղված է դեպի կենտրոնը կետը կենտրոնին միացնող գծի երկայնքով: Կետի շարժման հետագիծը էլիպս է, որը կենտրոնացած է սկզբնակետում. O r Դասախոսություն 1 (շարունակություն - 1.3)

6 սլայդ

Դասախոսություն 1 (շարունակություն 1.4) Օրինակ 3. G կշռող բեռը կախված է l երկարությամբ մալուխի վրա և որոշակի արագությամբ շարժվում է շրջանաձև ճանապարհով հորիզոնական հարթությունում: Մալուխի շեղման անկյունը ուղղահայացից հավասար է. Որոշեք մալուխի լարվածությունը և բեռի արագությունը: 1. Ընտրեք օբյեկտ (բեռ): 2. Հեռացրեք կապը (պարանը) և փոխարինեք այն R ռեակցիայով: 3. Կազմեք դինամիկայի հիմնական հավասարումը. Երրորդ հավասարումից որոշեք մալուխի ռեակցիան. Որոշեք մալուխի լարվածությունը. Փոխարինեք ռեակցիայի արժեքը. մալուխի նորմալ արագացումը երկրորդ հավասարման մեջ և որոշեք բեռի արագությունը. 4. Նախագծեք հիմնական հավասարումը առանցքի դինամիկան, n,b: Օրինակ 4. G քաշով մեքենան շարժվում է ուռուցիկ կամրջի վրա (կորության շառավիղը R է. ) արագությամբ V. Որոշեք մեքենայի ճնշումը կամրջի վրա. 1. Ընտրում ենք օբյեկտ (մեքենա, անտեսում ենք չափերը և այն համարում ենք կետ): 2. Միացումը (կոպիտ մակերեսը) դեն ենք նետում և փոխարինում N ռեակցիաներով և շփման ուժով Ffr։ 3. Կազմում ենք դինամիկայի հիմնական հավասարումը. 4. Դինամիկայի հիմնական հավասարումը նախագծում ենք n առանցքի վրա. Այստեղից որոշում ենք նորմալ ռեակցիան. Որոշում ենք մեքենայի ճնշումը կամրջի վրա. Այստեղից կարող ենք որոշել արագությունը։ կամրջի վրա զրոյական ճնշմանը համապատասխան (Q = 0): 4

7 սլայդ

Դասախոսություն 2 Հաստատունների գտնված արժեքները փոխարինելուց հետո մենք ստանում ենք. Այսպիսով, նույն ուժերի համակարգի գործողության ներքո նյութական կետը կարող է կատարել սկզբնական պայմաններով որոշված ​​շարժումների մի ամբողջ դաս: Սկզբնական կոորդինատները հաշվի են առնում կետի սկզբնական դիրքը։ Նախնական արագությունը, որը տրված է կանխատեսումներով, հաշվի է առնում ազդեցությունը դրա շարժման վրա այն ուժերի հետագծի դիտարկված հատվածի երկայնքով, որոնք գործել են կետի վրա մինչև այս հատված հասնելը, այսինքն. սկզբնական կինեմատիկական վիճակ. Դինամիկայի հակադարձ խնդրի լուծում - Կետի շարժման ընդհանուր դեպքում կետի վրա ազդող ուժերը փոփոխականներ են, որոնք կախված են ժամանակից, կոորդինատներից և արագությունից։ Կետի շարժումը նկարագրվում է երեք երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգով. դրանցից յուրաքանչյուրը ինտեգրելուց հետո կլինեն վեց հաստատուններ C1, C2,…., C6. C1, C2, հաստատունների արժեքները: ., C6-ը գտնվել են t = 0-ի վեց սկզբնական պայմաններից: Հակադարձ խնդրի լուծման օրինակ 1. m զանգվածի ազատ նյութական կետը շարժվում է F ուժի ազդեցությամբ, որը մեծությամբ և մեծությամբ հաստատուն է: . Սկզբնական պահին կետի արագությունը եղել է v0 և ուղղության մեջ համընկել է ուժի հետ։ Որոշի՛ր կետի շարժման հավասարումը. 1. Կազմում ենք դինամիկայի հիմնական հավասարումը. 3. Իջեցնում ենք ածանցյալի կարգը. 2. Ընտրում ենք դեկարտյան հղման համակարգը՝ ուղղելով x առանցքը ուժի ուղղության երկայնքով և դինամիկայի հիմնական հավասարումը նախագծում այս առանցքի վրա. կամ xyz 4. Առանձնացրեք փոփոխականները. 5. Հաշվե՛ք ինտեգրալները հավասարման երկու մասերից. 6. Ներկայացնենք արագության պրոյեկցիան որպես կոորդինատի ժամանակի ածանցյալ. փոփոխականները՝ 9. C1 և C2 հաստատունների արժեքները որոշելու համար մենք օգտագործում ենք սկզբնական պայմանները t = 0, vx = v0, x = x0: Արդյունքում մենք ստանում ենք հավասարաչափ փոփոխական շարժման հավասարումը (երկայնքով. x առանցք): 5

8 սլայդ

Ուղղակի և հակադարձ խնդիրների լուծման ընդհանուր հրահանգներ. Լուծման կարգ՝ 1. Շարժման դիֆերենցիալ հավասարման կազմում՝ 1.1. Ընտրեք կոորդինատային համակարգ՝ ուղղանկյուն (ֆիքսված) շարժման անհայտ հետագծով, բնական (շարժվող)՝ հայտնի հետագծով, օրինակ՝ շրջանագիծ կամ ուղիղ գիծ։ Վերջին դեպքում կարող է օգտագործվել մեկ ուղղագիծ կոորդինատ։ Հղման կետը պետք է համակցվի կետի սկզբնական դիրքի հետ (t = 0-ում) կամ կետի հավասարակշռության դիրքի հետ, եթե այն գոյություն ունի, օրինակ, երբ կետը տատանվում է: 6 1.2. Գծե՛ք մի կետ ժամանակի կամայական պահին համապատասխանող դիրքում (t > 0-ի համար), որպեսզի կոորդինատները դրական լինեն (s > 0, x > 0): Մենք նաև ենթադրում ենք, որ արագության պրոյեկցիան այս դիրքում նույնպես դրական է։ Տատանումների դեպքում արագության պրոյեկցիան փոխում է նշանը, օրինակ, երբ վերադառնում է հավասարակշռության դիրքին։ Այստեղ պետք է ենթադրել, որ դիտարկված պահին կետը հեռանում է հավասարակշռության դիրքից։ Այս առաջարկության իրականացումը կարևոր է ապագայում արագությունից կախված դիմադրողական ուժերի հետ աշխատելիս: 1.3. Ազատեք նյութական կետը կապերից, փոխարինեք դրանց գործողությունը ռեակցիաներով, ավելացրեք ակտիվ ուժեր։ 1.4. Գրեք դինամիկայի հիմնական օրենքը վեկտորային ձևով, նախագծեք ընտրված առանցքների վրա, արտահայտեք տրված կամ ռեակտիվ ուժերը ժամանակի, կոորդինատների կամ արագության փոփոխականների առումով, եթե դրանք կախված են դրանցից: 2. Դիֆերենցիալ հավասարումների լուծում՝ 2.1. Կրճատել ածանցյալը, եթե հավասարումը չի կրճատվում մինչև կանոնական (ստանդարտ) ձև: օրինակ՝ կամ 2.2. Առանձին փոփոխականներ, օրինակ՝ կամ 2.4. Հաշվի՛ր հավասարման ձախ և աջ կողմերի անորոշ ինտեգրալները, օրինակ՝ 2.3. Եթե ​​հավասարման մեջ կան երեք փոփոխականներ, ապա կատարե՛ք փոփոխականների փոփոխություն, օրինակ. և այնուհետև առանձնացրեք փոփոխականները: Մեկնաբանություն. Հաշվարկելու փոխարեն անորոշ ինտեգրալներհնարավոր է հաշվարկել որոշակի ինտեգրալներ փոփոխական վերին սահմանով: Ստորին սահմանները ներկայացնում են փոփոխականների սկզբնական արժեքները (սկզբնական պայմանները): Այնուհետև կարիք չկա առանձին գտնել հաստատունը, որն ինքնաբերաբար ներառված է լուծման մեջ, օրինակ՝ Օգտագործելով սկզբնական պայմանները, օրինակ՝ t=0. , vx = vx0, որոշել ինտեգրման հաստատունը՝ 2.5. Արտահայտե՛ք արագությունը կոորդինատի ժամանակային ածանցյալով, օրինակ, և կրկնե՛ք 2.2 -2.4 քայլերը Ծանոթագրություն. Եթե ​​հավասարումը վերածվում է կանոնական ձևի, որն ունի ստանդարտ լուծում, ապա օգտագործվում է այս պատրաստի լուծումը: Ինտեգրման հաստատունները դեռ հայտնաբերվում են սկզբնական պայմաններից։ Տես, օրինակ, տատանումները (դասախոսություն 4, էջ 8): Դասախոսություն 2 (շարունակություն 2.2)

9 սլայդ

Դասախոսություն 2 (շարունակություն 2.3) Հակադարձ խնդրի լուծման օրինակ 2. Ուժը կախված է ժամանակից։ P ծանրության բեռը F ուժի ազդեցությամբ սկսում է շարժվել հարթ հորիզոնական մակերևույթի երկայնքով, որի մեծությունը համաչափ է ժամանակին (F = kt): Որոշեք բեռի անցած ճանապարհը t ժամանակում. 3. Կազմի՛ր դինամիկայի հիմնական հավասարումը. 5. Կրճատի՛ր ածանցյալի հերթականությունը. հավասարում. 9. Ներկայացրե՛ք արագության պրոյեկցիան որպես կոորդինատի ածանցյալ ժամանակի նկատմամբ. 10. Հաշվե՛ք հավասարման երկու մասերի ինտեգրալները. 9. Տարանջատե՛ք փոփոխականները. 8. Որոշե՛ք C1 հաստատունի արժեքը սկզբնական պայման t = 0, vx = v0=0: Արդյունքում մենք ստանում ենք շարժման հավասարումը (x առանցքի երկայնքով), որը տալիս է անցած ճանապարհի արժեքը t ժամանակի համար. 1. Ընտրում ենք հղման համակարգը (Դեկարտյան կոորդինատներ) այնպես, որ մարմինն ունենա դրական կոորդինատ. 2. Շարժման առարկան վերցնում ենք որպես նյութական կետ (մարմինը առաջ է շարժվում), այն ազատում ենք կապից (տեղեկատու հարթությունից) և փոխարինում ռեակցիայով (a-ի նորմալ ռեակցիա): հարթ մակերես) 11. Որոշե՛ք C2 հաստատունի արժեքը t = 0 սկզբնական պայմանից, x = x0=0. Հակադարձ խնդրի լուծման օրինակ 3. Ուժը կախված է կոորդինատից. m զանգվածով նյութական կետը Երկրի մակերևույթից վեր է նետվում v0 արագությամբ։ Երկրի ծանրության ուժը հակադարձ համեմատական ​​է կետից դեպի ծանրության կենտրոն (Երկրի կենտրոն) հեռավորության քառակուսին։ Որոշեք արագության կախվածությունը y հեռավորությունից մինչև Երկրի կենտրոն: 1. Ընտրում ենք հղման համակարգը (դեկարտյան կոորդինատներ), որպեսզի մարմինն ունենա դրական կոորդինատ. 2. Կազմում ենք դինամիկայի հիմնական հավասարումը. 3. Դինամիկայի հիմնական հավասարումը նախագծում ենք y առանցքի վրա. կամ Համաչափության գործակիցը կարող է կարելի է գտնել օգտագործելով Երկրի մակերևույթի կետի կշիռը. R Հետևաբար, դիֆերենցիալը հավասարման տեսք ունի. կամ 4. Նվազեցնել ածանցյալի կարգը՝ 5. Փոխել փոփոխականը՝ 6. Տարանջատել փոփոխականները. 7. Հաշվել Հավասարման երկու կողմերի ինտեգրալները. 8. Փոխարինեք սահմանները. Արդյունքում, մենք ստանում ենք արագության արտահայտություն՝ որպես y կոորդինատի ֆունկցիա. Թռիչքի առավելագույն բարձրությունը կարելի է գտնել՝ արագությունը հավասարեցնելով զրոյի. Թռիչքի առավելագույն բարձրությունը երբ հայտարարը դառնում է զրոյի. Այստեղից, երբ սահմանում ենք Երկրի շառավիղը և ազատ անկման արագացումը, ստացվում է II տիեզերական արագությունը.

10 սլայդ

Դասախոսություն 2 (շարունակություն 2.4) Հակադարձ խնդրի լուծման օրինակ 2. Ուժը կախված է արագությունից: m զանգվածով նավն ուներ v0 արագություն: Ջրի դիմադրությունը նավի շարժմանը համաչափ է արագությանը։ Որոշեք, թե որքան ժամանակ է պահանջվում նավի արագությունը շարժիչն անջատելուց հետո կիսով չափ նվազելու համար, ինչպես նաև նավի անցած ճանապարհը մինչև լրիվ կանգառը: 8 1. Ընտրում ենք հղման համակարգ (դեկարտյան կոորդինատներ), որպեսզի մարմինն ունենա դրական կոորդինատ՝ 2. Շարժման առարկան վերցնում ենք որպես նյութական կետ (նավը շարժվում է առաջ), ազատում կապանքներից (ջուր) և փոխարինում։ ռեակցիայով (լողացող ուժ - Արքիմեդի ուժ), ինչպես նաև շարժման դիմադրության ուժ։ 3. Ավելացրեք ակտիվ ուժ (ձգողականություն): 4. Կազմում ենք դինամիկայի հիմնական հավասարումը. հավասարման մասեր՝ 9. Փոխարինում ենք սահմանները. Ստացվում է արտահայտություն, որը կապում է t արագությունը և ժամանակը, որից կարելի է որոշել շարժման ժամանակը. Շարժման ժամանակը, որի ընթացքում արագությունը կնվազի կիսով չափ. Հետաքրքիր է նշել, որ երբ արագությունը մոտենում է զրոյին, շարժման ժամանակը ձգտում է դեպի անսահմանություն, այսինքն վերջնական արագությունը չի կարող լինել զրո: Ինչու ոչ «հավերժական շարժում»: Այնուամենայնիվ, այս դեպքում մինչև կանգառ անցած հեռավորությունը վերջավոր արժեք է: Անցած տարածությունը որոշելու համար մենք դիմում ենք ածանցյալի կարգը իջեցնելուց հետո ստացված արտահայտությանը և կատարում փոփոխականի փոփոխություն. սահմանները ինտեգրելուց և փոխարինելուց հետո ստանում ենք. Անցած հեռավորությունը մինչև կանգառը. Հորիզոնի նկատմամբ անկյունը հավասարաչափ ձգողականության դաշտում՝ առանց օդի դիմադրության հաշվի առնելու. Շարժման հավասարումներից հեռացնելով ժամանակը, ստանում ենք հետագծի հավասարումը. Թռիչքի ժամանակը որոշվում է y կոորդինատը հավասարեցնելով զրոյի. Թռիչքի միջակայքը որոշվում է փոխարինելով թռիչքի ժամանակը:

11 սլայդ

Դասախոսություն 3 Նյութական կետի ուղղագիծ տատանումներ - Նյութական կետի տատանողական շարժումը տեղի է ունենում այն ​​պայմանով, որ կա վերականգնող ուժ, որը ձգտում է կետը վերադարձնել հավասարակշռության դիրք այս դիրքից ցանկացած շեղման դեպքում: 9 Կա վերականգնող ուժ, հավասարակշռության դիրքը կայուն է Առանց վերականգնող ուժի, հավասարակշռության դիրքն անկայուն է Չկան վերականգնող ուժ, հավասարակշռության դիրքն անտարբեր է Այն միշտ ուղղված է դեպի հավասարակշռության դիրքը, արժեքը ուղիղ համեմատական ​​է զսպանակի գծային երկարացմանը (կարճացմանը), հավասար է մարմնի շեղմանը հավասարակշռության դիրքից. որի զսպանակը փոխում է իր երկարությունը մեկով, որը չափվում է N/m-ով SI համակարգում: x y O Նյութական կետի թրթռումների տեսակները՝ 1. Ազատ թրթռումներ (առանց միջավայրի դիմադրողականությունը հաշվի առնելու). 2. Ազատ տատանումներ՝ հաշվի առնելով միջավայրի դիմադրությունը (խոնավ տատանումներ)։ 3. Հարկադիր թրթռումներ. 4. Հարկադիր տատանումներ՝ հաշվի առնելով միջավայրի դիմադրությունը։ ■ Ազատ տատանումներ - տեղի են ունենում միայն վերականգնող ուժի ազդեցության ներքո: Եկեք գրենք դինամիկայի հիմնական օրենքը. Ընտրենք կոորդինատային համակարգ, որը կենտրոնացած է հավասարակշռության դիրքում (կետ O) և հավասարումը պրոյեկտենք x առանցքի վրա։ Եկեք ստացված հավասարումը բերենք ստանդարտ (կանոնական) ձևի։ Այս հավասարումը միատարր է։ Երկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարում, որի լուծման ձևը որոշվում է համընդհանուր փոխարինմամբ ստացված հավասարման բնութագրի արմատներով. Բնութագրական հավասարման արմատները երևակայական են և հավասար. Դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը ունի ձևը. Կետային արագություն. Սկզբնական պայմաններ. Սահմանե՛ք հաստատունները. Այսպիսով, ազատ թրթռումների հավասարումն ունի ձև. Նոր a և - հաստատունները կապված են C1 և C2 հաստատունների հետ հարաբերություններով. Սահմանենք a և-ն.

12 սլայդ

10 Դասախոսություն 3 (շարունակություն 3.2) Նյութական կետի խամրված տատանումներ - Նյութական կետի տատանողական շարժումը տեղի է ունենում վերականգնող ուժի և շարժմանը դիմադրության ուժի առկայության դեպքում: Շարժման նկատմամբ դիմադրության ուժի կախվածությունը տեղաշարժից կամ արագությունից որոշվում է շարժմանը խոչընդոտող միջավայրի կամ կապի ֆիզիկական բնույթով։ Ամենապարզ կախվածությունը գծային կախվածությունն է արագությունից (մածուցիկ դիմադրություն). - մածուցիկության գործակից xy O Դինամիկայի հիմնական հավասարումը. Դինամիկայի հավասարման պրոյեկցիան առանցքի վրա. Եկեք հավասարումը բերենք ստանդարտ ձևի. որտեղ բնորոշ հավասարումն ունի արմատներ. Այս դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի տարբեր ձև՝ կախված արմատների արժեքներից՝ 1.n.< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k - բարձր մածուցիկ դիմադրության դեպք. - իրական արմատներ, տարբեր. կամ - այս ֆունկցիաները պարբերական են՝ 3. n = k՝ - արմատներն իրական են, բազմապատիկ։ Այս գործառույթները նույնպես պարբերական են.

13 սլայդ

Դասախոսություն 3 (շարունակություն 3.3) Ազատ տատանումների լուծումների դասակարգում. Գարնանային կապեր. համարժեք կարծրություն: y y 11 Տարբեր. Հավասարման Նիշ. Equation Roots char. հավասարում Դիֆերենցիալ հավասարման լուծում Գրաֆիկ nk n=k

14 սլայդ

Դասախոսություն 4 Նյութական կետի հարկադիր թրթռումներ - Վերականգնող ուժի հետ մեկտեղ գործում է պարբերաբար փոփոխվող ուժ, որը կոչվում է խանգարող ուժ: Անհանգստացնող ուժը կարող է ունենալ այլ բնույթ: Օրինակ, կոնկրետ դեպքում պտտվող ռոտորի անհավասարակշիռ մ1 զանգվածի իներցիոն ազդեցությունը առաջացնում է ներդաշնակորեն փոփոխվող ուժի կանխատեսումներ. Դինամիկայի հիմնական հավասարումը. Դինամիկայի հավասարման պրոյեկցիան առանցքի վրա. Եկեք հավասարումը հասցնենք ստանդարտին. ձև: 12 Այս անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը բաղկացած է երկու մասից x = x1 + x2. x1-ը համապատասխան միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումն է, իսկ x2-ը անհամասեռ հավասարման որոշակի լուծում. Մենք ընտրում ենք կոնկրետ լուծումը ձևով. աջ կողմ. Ստացված հավասարությունը պետք է բավարարվի ցանկացած t-ի համար: Հետո՝ կամ Այսպիսով, վերականգնող և խանգարող ուժերի միաժամանակյա ազդեցությամբ նյութական կետը կատարում է բարդ տատանողական շարժում, որը ազատ (x1) և հարկադիր (x2) թրթիռների ավելացման (գերդիրքի) արդյունք է։ Եթե ​​պ< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием полного решения (!): Таким образом, частное решение: Если p >k (բարձր հաճախականության հարկադիր տատանումներ), ապա տատանումների փուլը հակադիր է անհանգստացնող ուժի փուլին.

15 սլայդ

Դասախոսություն 4 (շարունակություն 4.2) 13 Դինամիկ գործակից - հարկադիր տատանումների ամպլիտուդության հարաբերությունը գործողության տակ գտնվող կետի ստատիկ շեղմանը. մշտական ​​ուժ H = const. Հարկադիր տատանումների ամպլիտուդը. Ստատիկ շեղումը կարելի է գտնել հավասարակշռության հավասարումից. Այստեղից այստեղից. Այսպիսով, p.< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (հարկադիր տատանումների բարձր հաճախականություն) դինամիկ գործակից՝ ռեզոնանս - առաջանում է, երբ հարկադրված տատանումների հաճախականությունը համընկնում է բնական տատանումների հաճախականության հետ (p = k): Ամենից հաճախ դա տեղի է ունենում առաձգական կախոցների վրա տեղադրված վատ հավասարակշռված ռոտորների պտույտը սկսելու և դադարեցնելու ժամանակ: Հավասար հաճախականությամբ տատանումների դիֆերենցիալ հավասարումը. Աջ կողմի ձևով որոշակի լուծում չի կարող ընդունվել, քանի որ կստացվի գծային կախված լուծում (տե՛ս ընդհանուր լուծումը)։ Ընդհանուր լուծում. Դիֆերենցիալ հավասարման մեջ փոխարինում. Վերցնենք ձևի որոշակի լուծում և հաշվենք ածանցյալները. Այսպիսով, ստացվում է լուծումը. Շարժման դիմադրության ազդեցությունը հարկադիր թրթռումների ժամանակ: Դիֆերենցիալ հավասարումը մածուցիկ դիմադրության առկայության դեպքում ունի ձև. Ընդհանուր լուծումն ընտրվում է աղյուսակից (Դասախոսություն 3, էջ 11) կախված n-ի և k-ի հարաբերակցությունից (տես): Մենք վերցնում ենք որոշակի լուծում ձևով և հաշվում ածանցյալները: Դիֆերենցիալ հավասարման մեջ փոխարինում. Նույնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գործակիցները հավասարեցնելով, ստանում ենք հավասարումների համակարգ. հարկադիր տատանումներ. Երկրորդ հավասարումը առաջինի վրա բաժանելով՝ ստանում ենք հարկադիր տատանումների փուլային հերթափոխը. Այսպիսով, հարկադիր տատանումների շարժման հավասարումը, հաշվի առնելով շարժման դիմադրությունը, օրինակ՝ n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

16 սլայդ

Դասախոսություն 5 Նյութական կետի հարաբերական շարժում - Ենթադրենք, որ շարժվող (ոչ իներցիոն) կոորդինատային համակարգը Oxyz շարժվում է որոշակի օրենքի համաձայն O1x1y1z1 հաստատուն (իներցիալ) կոորդինատային համակարգի նկատմամբ: Oxyz շարժական համակարգի նկատմամբ M (x, y, z) նյութական կետի շարժումը հարաբերական է, O1x1y1z1 անշարժ համակարգի նկատմամբ՝ բացարձակ։ Oxyz շարժական համակարգի շարժումը ֆիքսված O1x1y1z1 համակարգի նկատմամբ շարժական շարժում է: 14 z x1 y1 z1 O1 xy M xyz O Դինամիկայի հիմնական հավասարում. Կետի բացարձակ արագացում. կետի բացարձակ արագացումը փոխարինի՛ր դինամիկայի հիմնական հավասարմամբ. Տրաբերական և Կորիոլիսի արագացումով տերմինները տեղափոխենք աջ կողմ. փոխանցված տերմիններն ունեն ուժերի չափ և համարվում են համապատասխան իներցիայի ուժեր, հավասար: Այնուհետև կետի հարաբերական շարժումը կարելի է համարել բացարձակ, եթե գործող ուժերին գումարենք իներցիայի փոխադրական և կորիոլսի ուժերը. Շարժվող կոորդինատային համակարգի մենք ունենք՝ ռոտացիան միատեսակ է, ապա εe = 0: 2. Թարգմանական կորագիծ շարժում. Եթե շարժումը ուղղագիծ է, ապա =. Եթե շարժումը ուղղագիծ է և միատեսակ, ապա շարժվող համակարգը իներցիոն է և հարաբերական։ շարժումը կարելի է համարել բացարձակ. ոչ մի մեխանիկական երևույթ չի կարող հայտնաբերել ուղղագիծ համազգեստ շարժում (դասական մեխանիկայի հարաբերականության սկզբունք): Երկրի պտույտի ազդեցությունը մարմինների հավասարակշռության վրա - Ենթադրենք, որ մարմինը Երկրի մակերեսի վրա հավասարակշռության մեջ է կամայական φ (զուգահեռներ) լայնության վրա։ Երկիրն իր առանցքի շուրջը պտտվում է արևմուտքից արևելք անկյունային արագությամբ. Երկրի շառավիղը մոտ 6370 կմ է։ S R-ը ոչ հարթ մակերեսի ընդհանուր ռեակցիան է: G - Երկրի դեպի կենտրոն ձգող ուժ: Ф - իներցիայի կենտրոնախույս ուժ: Հարաբերական հավասարակշռության պայման. ձգողականության և իներցիայի ուժերի արդյունքը ձգողականության ուժն է (քաշը). Երկրի մակերևույթի վրա ձգողության ուժի (քաշի) մեծությունը P = մգ է: Իներցիայի կենտրոնախույս ուժը ձգողականության ուժի փոքր մասն է։ Ձգողության ուժի շեղումը ձգողական ուժի ուղղությունից նույնպես փոքր է։ Այսպիսով, Երկրի պտույտի ազդեցությունը մարմինների հավասարակշռության վրա չափազանց փոքր է։ և գործնական հաշվարկներում հաշվի չի առնվում։ Իներցիոն ուժի առավելագույն արժեքը (φ = 0 - հասարակածում) կազմում է ծանրության արժեքի ընդամենը 0,00343.

17 սլայդ

Դասախոսություն 5 (շարունակություն 5.2) 15 Երկրի պտույտի ազդեցությունը Երկրի գրավիտացիոն դաշտում մարմինների շարժման վրա - Ենթադրենք, մարմինն ընկնում է Երկիր Երկրի մակերևույթից φ լայնության վրա գտնվող որոշակի բարձրությունից H: Եկեք ընտրենք շարժվող հղման համակարգ, որը կոշտորեն կապված է Երկրի հետ՝ x, y առանցքները շոշափելով զուգահեռին և միջօրեականին. Հարաբերական շարժման հավասարում․ հաշվի են առնվում. Այսպիսով, ձգողության ուժը նույնացվում է ձգողության ուժի հետ: Բացի այդ, մենք ենթադրում ենք, որ ձգողականությունն ուղղված է Երկրի մակերեսին ուղղահայաց՝ նրա շեղման փոքրության պատճառով, ինչպես քննարկվեց վերևում։ Coriolis-ի արագացումը հավասար է և ուղղված է դեպի արևմուտք y առանցքին զուգահեռ: Կորիոլիսի իներցիայի ուժն ուղղված է հակառակ ուղղությամբ։ Հարաբերական շարժման հավասարումը նախագծում ենք առանցքի վրա. Առաջին հավասարման լուծումը տալիս է. Սկզբնական պայմաններ. Երրորդ հավասարման լուծումը տալիս է. Սկզբնական պայմաններ. Երրորդ հավասարումը ստանում է ձևը. Սկզբնական պայմաններ. Դրա լուծումը տալիս է. Ստացված լուծումը. ցույց է տալիս, որ մարմինն ընկնելիս շեղվում է դեպի արևելք։ Հաշվարկենք այս շեղման արժեքը, օրինակ՝ 100 մ բարձրությունից ընկնելու ժամանակ: Երկրորդ հավասարման լուծումից մենք գտնում ենք անկման ժամանակը. Այսպիսով, Երկրի պտույտի ազդեցությունը մարմինների շարժման վրա չափազանց փոքր է: գործնական բարձրությունների և արագությունների համար և հաշվի չի առնվում տեխնիկական հաշվարկներում: Երկրորդ հավասարման լուծումը ենթադրում է նաև y առանցքի երկայնքով արագության առկայություն, որը նույնպես պետք է առաջացնի և առաջացնի համապատասխան արագացում և Կորիոլիսի իներցիայի ուժ։ Այս արագության և դրա հետ կապված իներցիայի ուժի ազդեցությունը շարժման փոփոխության վրա կլինի նույնիսկ ավելի քիչ, քան դիտարկվող Coriolis իներցիոն ուժը, որը կապված է ուղղահայաց արագության հետ:

18 սլայդ

Դասախոսություն 6 Մեխանիկական համակարգի դինամիկան. Նյութական կետերի համակարգ կամ մեխանիկական համակարգ - Նյութական կետերի կամ այդ նյութական կետերի մի շարք, որոնք միավորված են փոխազդեցության ընդհանուր օրենքներով (կետերից յուրաքանչյուրի կամ մարմնի դիրքը կամ շարժումը կախված է մնացած բոլորի դիրքից և շարժումից): ազատ կետերի համակարգ, որի շարժումը չի սահմանափակվում որևէ կապով (օրինակ՝ մոլորակային համակարգ, որում մոլորակները համարվում են նյութական կետեր)։ Ոչ ազատ կետերի համակարգ կամ ոչ ազատ մեխանիկական համակարգ. նյութական կետերի կամ մարմինների շարժումը սահմանափակվում է համակարգի վրա դրված սահմանափակումներով (օրինակ՝ մեխանիզմ, մեքենա և այլն): 16 Համակարգի վրա գործող ուժեր. Ի հավելումն ուժերի նախկինում գոյություն ունեցող դասակարգմանը (ակտիվ և ռեակտիվ ուժեր), ներդրվում է ուժերի նոր դասակարգում. համակարգ. 2. Ներքին ուժեր (i) - տվյալ համակարգում ընդգրկված նյութական կետերի կամ մարմինների փոխազդեցության ուժեր. Նույն ուժը կարող է լինել և՛ արտաքին, և՛ ներքին ուժ։ Ամեն ինչ կախված է նրանից, թե որ մեխանիկական համակարգը դիտարկվում է: Օրինակ՝ Արեգակի, Երկրի և Լուսնի համակարգում նրանց միջև բոլոր գրավիտացիոն ուժերը ներքին են: Երկրի և Լուսնի համակարգը դիտարկելիս Արեգակի կողմից կիրառվող գրավիտացիոն ուժերը արտաքին են. CZL Գործողության և ռեակցիայի օրենքի հիման վրա յուրաքանչյուր ներքին ուժ Fk համապատասխանում է մեկ այլ ներքին ուժի՝ Fk', բացարձակ արժեքով հավասար և հակադիր: ուղղությունը։ Սրանից հետևում են ներքին ուժերի երկու ուշագրավ հատկություններ. Համակարգի բոլոր ներքին ուժերի հիմնական վեկտորը հավասար է զրոյի. Համակարգի բոլոր ներքին ուժերի հիմնական մոմենտը ցանկացած կենտրոնի նկատմամբ հավասար է զրոյի. Կամ կոորդինատների վրա պրոեկցիաներում կացիններ՝ Ծանոթագրություն. Չնայած այս հավասարումները նման են հավասարակշռության հավասարումների, սակայն դրանք չեն, քանի որ ներքին ուժերը կիրառվում են համակարգի տարբեր կետերի կամ մարմինների վրա և կարող են ստիպել այդ կետերը (մարմինները) շարժվել միմյանց նկատմամբ: Այս հավասարումներից հետևում է, որ ներքին ուժերը չեն ազդում համակարգի շարժման վրա որպես ամբողջություն: Նյութական կետերի համակարգի զանգվածի կենտրոնը: Համակարգի շարժումը որպես ամբողջություն նկարագրելու համար ներկայացվում է երկրաչափական կետ, որը կոչվում է զանգվածի կենտրոն, որի շառավիղի վեկտորը որոշվում է արտահայտությամբ, որտեղ M-ը ամբողջ համակարգի զանգվածն է. առանցքներ. զանգվածի կենտրոնի բանաձևերը նման են ծանրության կենտրոնի բանաձևերին: Այնուամենայնիվ, զանգվածի կենտրոն հասկացությունն ավելի ընդհանուր է, քանի որ այն կապված չէ ծանրության ուժերի կամ ձգողականության ուժերի հետ:

19 սլայդ

Դասախոսություն 6 (շարունակություն 6.2) 17 Համակարգի զանգվածի կենտրոնի շարժման թեորեմ - Դիտարկենք n նյութական կետերից բաղկացած համակարգ։ Մենք յուրաքանչյուր կետի վրա կիրառվող ուժերը բաժանում ենք արտաքին և ներքին և փոխարինում համապատասխան արդյունավետներով Fke և Fki: Եկեք յուրաքանչյուր կետի համար գրենք դինամիկայի հիմնական հավասարումը. կամ եկեք այս հավասարումները գումարենք բոլոր կետերի վրա. Հավասարման ձախ կողմում մենք կներկայացնենք զանգվածները ածանցյալի նշանի տակ և ածանցյալների գումարը կփոխարինենք ածանցյալով: Համակարգի զանգվածի և դրա կենտրոնական զանգվածի արագացման արտադրյալը հավասար է արտաքին ուժերի հիմնական վեկտորին։ Համակարգի զանգվածի կենտրոնը շարժվում է որպես ամբողջ համակարգի զանգվածին հավասար զանգված ունեցող նյութական կետ, որի վրա կիրառվում են համակարգի վրա ազդող բոլոր արտաքին ուժերը: Համակարգի զանգվածի կենտրոնի շարժման թեորեմի հետևանքները (պահպանման օրենքներ). 1. Եթե ժամանակային միջակայքում համակարգի արտաքին ուժերի հիմնական վեկտորը զրո է, Re = 0, ապա կենտրոնի արագությունը. զանգվածը հաստատուն է, vC = const (զանգվածի կենտրոնը շարժվում է միատեսակ ուղղագիծ. զանգվածի շարժման կենտրոնի պահպանման օրենքը): 2. Եթե ժամանակային միջակայքում համակարգի արտաքին ուժերի հիմնական վեկտորի պրոյեկցիան x առանցքի վրա հավասար է զրոյի, Rxe = 0, ապա x առանցքի երկայնքով զանգվածի կենտրոնի արագությունը հաստատուն է, vCx =. const (զանգվածի կենտրոնը հավասարաչափ շարժվում է առանցքի երկայնքով): Նմանատիպ հայտարարությունները ճշմարիտ են y և z առանցքների համար: Օրինակ՝ m1 և m2 զանգվածների երկու մարդ գտնվում է m3 զանգվածի նավակի մեջ: Ժամանակի սկզբնական պահին մարդկանցով նավակը հանգստանում էր։ Որոշեք նավակի տեղաշարժը, եթե մ2 զանգվածով անձը շարժվել է դեպի նավի աղեղը հեռավորության վրա a. 3. Եթե ժամանակային միջակայքում համակարգի արտաքին ուժերի հիմնական վեկտորը հավասար է զրոյի, Re = 0, իսկ սկզբնական պահին զանգվածի կենտրոնի արագությունը զրո է, vC = 0, ապա շառավիղի վեկտորը. զանգվածի կենտրոնը մնում է հաստատուն, rC = const (զանգվածի կենտրոնը գտնվում է հանգստի վիճակում, զանգվածի կենտրոնի դիրքի պահպանման օրենքն է): 4. Եթե ժամանակային միջակայքում համակարգի արտաքին ուժերի հիմնական վեկտորի պրոյեկցիան x առանցքի վրա հավասար է զրոյի, Rxe = 0, իսկ սկզբնական պահին այս առանցքի երկայնքով զանգվածի կենտրոնի արագությունը զրո է. , vCx = 0, ապա x առանցքի երկայնքով զանգվածի կենտրոնի կոորդինատը մնում է հաստատուն, xC = const (զանգվածի կենտրոնը չի շարժվում այս առանցքի երկայնքով): Նմանատիպ հայտարարությունները ճշմարիտ են y և z առանցքների համար: 1. Շարժման առարկա (մարդկանցով նավակ) 2. Միացումները (ջուր) դեն ենք նետում. 3. Կապը փոխարինում ենք ռեակցիայով. 4. Ավելացնում ենք ակտիվ ուժեր. 5. Գրի՛ր զանգվածի կենտրոնի մասին թեորեմը. Նախագծեք x առանցքի վրա. O Որոշեք, թե որքան հեռավորություն պետք է անցնեք m1 զանգվածով մարդուն, որպեսզի նավը մնա տեղում. Նավը l հեռավորությամբ կշարժվի հակառակ ուղղությամբ:

20 սլայդ

Դասախոսություն 7 Ուժի իմպուլսը մեխանիկական փոխազդեցության միջոց է, որը բնութագրում է մեխանիկական շարժման փոխանցումը տվյալ կետի վրա գործող ուժերից որոշակի ժամանակահատվածում. կոորդինատային առանցքների վրա. ուժի կետին միևնույն ժամանակային միջակայքում. Բազմապատկել dt-ով. Ինտեգրել տվյալ ժամանակային ընդմիջումով. Կետի իմպուլսը մեխանիկական շարժման չափն է, որը որոշվում է վեկտորով, որը հավասար է նիշի զանգվածի արտադրյալին: կետը և դրա արագության վեկտորը. Համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմ - Դիտարկենք համակարգը n նյութական կետ: Մենք յուրաքանչյուր կետի վրա կիրառվող ուժերը բաժանում ենք արտաքին և ներքին և փոխարինում համապատասխան արդյունավետներով Fke և Fki: Եկեք յուրաքանչյուր կետի համար գրենք դինամիկայի հիմնական հավասարումը. կամ Նյութական կետերի համակարգի շարժման քանակ - նյութական կետերի շարժման մեծությունների երկրաչափական գումարը. Ըստ զանգվածի կենտրոնի սահմանման. Համակարգի իմպուլսի վեկտորը. հավասար է ամբողջ համակարգի զանգվածի և համակարգի զանգվածի կենտրոնի արագության վեկտորի արտադրյալին: Այնուհետև. Կոորդինատների առանցքների վրա պրոյեկցիաներում. Համակարգի իմպուլսի վեկտորի ժամանակային ածանցյալը հավասար է համակարգի արտաքին ուժերի հիմնական վեկտորին: Եկեք այս հավասարումները գումարենք բոլոր կետերի վրա. Հավասարման ձախ կողմում մենք ներկայացնում ենք զանգվածները ածանցյալի նշանի տակ և ածանցյալների գումարը փոխարինում ենք գումարի ածանցյալով. Համակարգի իմպուլսի սահմանումից. Կոորդինատային առանցքների վրա կանխատեսումներում.

21 սլայդ

Էյլերի թեորեմ - Համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմի կիրառումը շարունակական միջավայրի (ջրի) շարժմանը: 1. Որպես շարժման օբյեկտ ընտրում ենք տուրբինի կորագիծ ալիքում տեղակայված ջրի ծավալը. - մարմնի ուժերի արդյունքը). ժամանակային միջակայքում. ջրի շարժման քանակի փոփոխություն անսահման փոքր ժամանակային միջակայքում dt: , որտեղ F1 F2 Հաշվի առնելով խտության, մակերեսի արտադրյալը խաչաձեւ հատվածըև արագություն վայրկյանում զանգվածի վրա, մենք ստանում ենք. Փոխարինելով համակարգի իմպուլսի դիֆերենցիալը փոփոխության թեորեմով, ստանում ենք. Համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմի հետևանքները (պահպանման օրենքներ). ժամանակային ընդմիջում համակարգի արտաքին ուժերի հիմնական վեկտորը հավասար է զրոյի, Re = 0, ապա իմպուլսի վեկտորը հաստատուն է, Q = const-ը համակարգի իմպուլսի պահպանման օրենքն է): 2. Եթե ժամանակային միջակայքում համակարգի արտաքին ուժերի հիմնական վեկտորի պրոյեկցիան x առանցքի վրա հավասար է զրոյի, Rxe = 0, ապա համակարգի իմպուլսի պրոյեկցիան x առանցքի վրա հաստատուն է՝ Qx. = կոնստ. Նմանատիպ հայտարարությունները ճշմարիտ են y և z առանցքների համար: Դասախոսություն 7 (7.2-ի շարունակությունը) Օրինակ՝ M զանգվածի նռնակ, որը թռչում էր v արագությամբ, պայթեց երկու մասի։ m1 զանգվածի բեկորներից մեկի արագությունը շարժման ուղղությամբ մեծացել է մինչև v1 արժեքը։ Որոշեք երկրորդ հատվածի արագությունը: 1. Շարժման առարկա (նռնակ) 2. Օբյեկտը ազատ համակարգ է, չկան կապեր և դրանց ռեակցիաներ։ 3. Ավելացրե՛ք ակտիվ ուժեր. 4. Գրե՛ք իմպուլսի փոփոխության թեորեմը. Նախագծե՛ք առանցքի վրա. β Բաժանե՛ք փոփոխականները և ինտեգրե՛ք. Ճիշտ ինտեգրալը գրեթե զրոյական է, քանի որ. պայթյունի ժամանակ տ

22 սլայդ

Դասախոսություն 7 (շարունակություն 7.3) 20 Կետի անկյունային իմպուլսը կամ շարժման կինետիկ մոմենտը որոշակի կենտրոնի նկատմամբ մեխանիկական շարժման միջոց է, որը որոշվում է վեկտորով, որը հավասար է նյութական կետի շառավիղի վեկտորի վեկտորի արտադրյալին և Իր իմպուլսի վեկտորը: Նյութական կետերի համակարգի կինետիկ մոմենտը որոշակի կենտրոնի նկատմամբ երկրաչափական է բոլոր նյութական կետերի շարժումների քանակի մոմենտների գումարը միևնույն կենտրոնի նկատմամբ. առանցքի վրա պրոյեկցիաներում. առանցքը. Համակարգի իմպուլսի մոմենտի փոփոխության թեորեմ - Դիտարկենք n նյութական կետերից բաղկացած համակարգ: Մենք յուրաքանչյուր կետի վրա կիրառվող ուժերը բաժանում ենք արտաքին և ներքին և փոխարինում համապատասխան արդյունավետներով Fke և Fki: Եկեք յուրաքանչյուր կետի համար գրենք դինամիկայի հիմնական հավասարումը. կամ Ամփոփենք այս հավասարումները բոլոր կետերի համար. Եկեք փոխարինենք ածանցյալների գումարը գումարի ածանցյալով. Փակագծերում արտահայտությունը համակարգի իմպուլսի պահն է: Այստեղից. Մենք վեկտորականորեն բազմապատկում ենք յուրաքանչյուր հավասարություն ձախ կողմում գտնվող շառավիղ-վեկտորով. Տեսնենք, թե հնարավո՞ր է վեկտորի արտադրյալից դուրս վերցնել ածանցյալի նշանը. Այսպիսով, ստացանք՝ կենտրոն։ Կոորդինատային առանցքների վրա պրոյեկցիաներում. Համակարգի իմպուլսի ածանցյալը որոշ առանցքի նկատմամբ ժամանակի ընթացքում հավասար է նույն առանցքի նկատմամբ համակարգի արտաքին ուժերի հիմնական մոմենտին:

23 սլայդ

Դասախոսություն 8 21 ■ Համակարգի անկյունային իմպուլսի փոփոխության թեորեմի հետևանքները (պահպանման օրենքներ). 1. Եթե ժամանակային միջակայքում որոշակի կենտրոնի նկատմամբ համակարգի արտաքին ուժերի հիմնական մոմենտի վեկտորը հավասար է. մինչև զրոյի, MOe = 0, ապա նույն կենտրոնի նկատմամբ համակարգի անկյունային իմպուլսի վեկտորը հաստատուն է, KO = const-ը համակարգի իմպուլսի պահպանման օրենքն է): 2. Եթե ժամանակային միջակայքում համակարգի արտաքին ուժերի հիմնական մոմենտը x առանցքի նկատմամբ հավասար է զրոյի, Mxe = 0, ապա համակարգի անկյունային իմպուլսը x առանցքի նկատմամբ հաստատուն է, Kx = const: Նմանատիպ հայտարարությունները ճշմարիտ են y և z առանցքների համար: 2. Կոշտ մարմնի իներցիայի մոմենտը առանցքի նկատմամբ. Նյութական կետի իներցիայի պահն առանցքի նկատմամբ հավասար է կետի զանգվածի և կետի առանցքի հեռավորության քառակուսու արտադրյալին: Առանցքի նկատմամբ կոշտ մարմնի իներցիայի պահը հավասար է յուրաքանչյուր կետի զանգվածի արտադրյալների գումարին և առանցքից այս կետի հեռավորության քառակուսուն։ ■ Իներցիայի մոմենտի տեսության տարրերը - Կոշտ մարմնի պտտվող շարժման դեպքում իներցիայի չափը (շարժման փոփոխության դիմադրությունը) պտտման առանցքի նկատմամբ իներցիայի պահն է։ Դիտարկենք սահմանման հիմնական հասկացությունները և իներցիայի մոմենտների հաշվարկման մեթոդները: 1. Նյութական կետի իներցիայի պահն առանցքի նկատմամբ. Դիսկրետ փոքր զանգվածից կետի անվերջ փոքր զանգվածին անցնելու ժամանակ նման գումարի սահմանը որոշվում է կոշտ մարմնի իներցիայի առանցքային մոմենտով. . Կոշտ մարմնի իներցիայի առանցքային մոմենտի հետ մեկտեղ կան նաև այլ տեսակի իներցիայի պահեր՝ կոշտ մարմնի իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտը։ կոշտ մարմնի իներցիայի բևեռային պահը. 3. Կոշտ մարմնի իներցիայի մոմենտների մասին թեորեմ զուգահեռ առանցքների նկատմամբ - զուգահեռ առանցքների անցման բանաձև. Տեղեկատվական առանցքի նկատմամբ իներցիայի պահը Ստատիկ իներցիայի մոմենտներ հղման առանցքների վերաբերյալ Մարմնի զանգված Հեռավորությունը z1 և z2 առանցքների միջև Այսպիսով. Պահերը զրոյական են.

24 սլայդ

Դասախոսություն 8 (շարունակություն 8.2) 22 առանցքի շուրջ հաստատուն հատվածի միատեսակ ձողի իներցիայի պահը. xz L Ընտրեք տարրական ծավալը dV = Adx x: x dx Տարրական զանգված. Կենտրոնական առանցքի նկատմամբ իներցիայի պահը հաշվարկելու համար. (անցնելով ծանրության կենտրոնով), բավական է փոխել առանցքի գտնվելու վայրը և սահմանել ինտեգրման սահմանները (-L/2, L/2): Այստեղ ցույց ենք տալիս զուգահեռ առանցքների անցման բանաձևը՝ zС 5. Համաչափության առանցքի նկատմամբ համասեռ պինդ գլանի իներցիայի պահը. H dr r Առանձնացնենք տարրական ծավալը dV = 2πrdrH (r շառավղով բարակ գլան) Տարրական զանգված. Այստեղ մենք օգտագործում ենք մխոցի ծավալի բանաձևը V=πR2H: Սնամեջ (հաստ) գլանի իներցիայի մոմենտը հաշվարկելու համար բավական է R1-ից R2 (R2> R1) ինտեգրման սահմանները սահմանել.

25 սլայդ

Դասախոսություն 8 (շարունակություն 8.3) 23 ■ Կոշտ մարմնի առանցքի շուրջ պտտման դիֆերենցիալ հավասարումը. Գրենք հաստատուն առանցքի շուրջ պտտվող կոշտ մարմնի անկյունային իմպուլսի փոփոխման թեորեմ. Պտտվող կոշտ մարմնի իմպուլսը հետևյալն է. Պտտման առանցքի շուրջ արտաքին ուժերը հավասար են ոլորող մոմենտին (ռեակցիաները և ուժը գրավիտացիոն մոմենտներ չեն ստեղծում). Մենք կինետիկ մոմենտը և ոլորող մոմենտը փոխարինում ենք թեորեմի մեջ Օրինակ. Նույն քաշով երկու հոգի G1 = G2 կախված են նետված պարանի վրա։ G3 = G1/4 կշիռ ունեցող ամուր բլոկի վրա: Ինչ-որ պահի նրանցից մեկը սկսեց բարձրանալ պարանով հարաբերական u արագությամբ: Որոշեք յուրաքանչյուր մարդու բարձրացման արագությունը: 1. Ընտրեք շարժման օբյեկտը (բլոկ մարդկանց հետ). 2. Հեռացրեք միացումները (բլոկի կրող սարքը). 3. Կապը փոխարինեք ռեակցիաներով (առանցքակալով). բլոկի պտտման առանցքի նկատմամբ համակարգի կինետիկ մոմենտի փոփոխման թեորեմը. R Քանի որ արտաքին ուժերի մոմենտը հավասար է զրոյի, կինետիկ մոմենտը պետք է մնա հաստատուն. t = 0 ժամանակի սկզբնական պահին կա. հավասարակշռություն էր և Kz0 = 0: Մեկ անձի շարժումը պարանի նկատմամբ սկսելուց հետո ամբողջ համակարգը սկսեց շարժվել, բայց համակարգի կինետիկ մոմենտը պետք է մնա հավասար զրոյի. Kz = 0: համակարգը և՛ մարդկանց, և՛ բլոկի անկյունային իմպուլսների գումարն է: Այստեղ v2-ը երկրորդ անձի արագությունն է, որը հավասար է մալուխի արագությանը, Օրինակ. երկարությունը l, մի ծայրով կախված է պտտման ֆիքսված առանցքի վրա: Կամ՝ փոքր տատանումների դեպքում sinφ φ՝ Տատանման ժամանակաշրջանը՝ ձողի իներցիայի պահը.

26 սլայդ

Դասախոսություն 8 (շարունակություն 8.4. լրացուցիչ նյութ) 24 ■ Գիրոսկոպի տարրական տեսություն. Ազատ գիրոսկոպը ամրացված է այնպես, որ նրա զանգվածի կենտրոնը մնում է անշարժ, իսկ պտտման առանցքը անցնում է զանգվածի կենտրոնով և կարող է ցանկացած դիրք գրավել տարածության մեջ, այսինքն. պտտման առանցքը փոխում է իր դիրքը, ինչպես մարմնի սեփական պտույտի առանցքը գնդաձև շարժման ժամանակ: Գիրոսկոպի մոտավոր (տարրական) տեսության հիմնական ենթադրությունն այն է, որ ռոտորի իմպուլսի վեկտորը (կինետիկ մոմենտը) համարվում է ուղղված իր պտտման առանցքի երկայնքով։ Այսպիսով, չնայած այն հանգամանքին, որ ընդհանուր դեպքում ռոտորը մասնակցում է երեք պտույտի, հաշվի է առնվում միայն սեփական պտույտի անկյունային արագությունը ω = dφ/dt։ Սրա պատճառն այն է, որ ժամանակակից տեխնոլոգիայի մեջ գիրոսկոպի ռոտորը պտտվում է 5000-8000 ռադ/վ (մոտ 50000-80000 պտ/րոպ) անկյունային արագությամբ, մինչդեռ մյուս երկու անկյունային արագությունները կապված են սեփական առանցքի պրեցեսիայի և նուտացիայի հետ: պտույտը տասնյակ հազարավոր անգամ ավելի քիչ է, քան այս արագությունը: Ազատ գիրոսկոպի հիմնական հատկությունն այն է, որ ռոտորի առանցքը տարածության մեջ պահպանում է նույն ուղղությունը իներցիոն (աստղային) հղման համակարգի նկատմամբ (ցուցադրված է Ֆուկոյի ճոճանակով, որն անփոփոխ է պահում աստղերի նկատմամբ ճոճվող հարթությունը, 1852 թ.): Սա բխում է ռոտորի զանգվածի կենտրոնի նկատմամբ կինետիկ մոմենտի պահպանման օրենքից, պայմանով, որ ռոտորի կախովի առանցքների, արտաքին և ներքին շրջանակի առանցքակալների շփումը անտեսված է. Ուժի գործողություն ազատ առանցքի վրա. գիրոսկոպ. Ռոտորի առանցքի վրա կիրառվող ուժի դեպքում արտաքին ուժերի մոմենտը զանգվածի կենտրոնի նկատմամբ հավասար չէ զրոյի՝ ω ω С ուժ, իսկ այս ուժի մոմենտի վեկտորի նկատմամբ, այսինքն. կպտտվի ոչ թե x առանցքի (ներքին կախոց), այլ y առանցքի (արտաքին կախոց) շուրջ։ Ուժի դադարեցումից հետո ռոտորի առանցքը կմնա նույն դիրքում, որը համապատասխանում է ուժի վերջին ժամանակին, քանի որ. Ժամանակի այս պահից արտաքին ուժերի պահը կրկին հավասարվում է զրոյի: Ուժի կարճատև գործողության (ազդեցության) դեպքում գիրոսկոպի առանցքը գործնականում չի փոխում իր դիրքը։ Այսպիսով, ռոտորի արագ պտույտը գիրոսկոպին հնարավորություն է տալիս հակազդելու պատահական ազդեցություններին, որոնք ձգտում են փոխել ռոտորի պտտման առանցքի դիրքը, և ուժի մշտական ​​գործողությամբ այն պահպանում է հարթության դիրքը ուղղահայաց։ գործող ուժը, որի մեջ ընկած է ռոտորի առանցքը: Այս հատկությունները օգտագործվում են իներցիոն նավիգացիոն համակարգերի շահագործման մեջ: