Presentasi integral antiturunan dan tak tentu. Presentasi untuk pelajaran "Integral tak tentu. Metode perhitungan." Penerapan integral tertentu

Anoshin O.V.

Sastra dasar

1. Shipachev V. S. Matematika yang lebih tinggi. Kursus dasar: buku teks dan
lokakarya untuk sarjana [Grift Kementerian Pendidikan Federasi Rusia] / V.S.
Shipachev; diedit oleh A.N. Tikhonova. - Edisi ke-8, direvisi. dan tambahan Moskow: Yurayt, 2015. - 447 hal.
2. Shipachev V. S. Matematika yang lebih tinggi. Kursus lengkap: buku teks
untuk akademisi Gelar Sarjana [Griff UMO] / V. S. Shipachev; diedit oleh A.
N. Tikhonova. - edisi ke-4, putaran. dan tambahan - Moskow: Yurayt, 2015. - 608
Dengan
3. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T..Ya. Matematika yang lebih tinggi
dalam latihan dan tugas. [Teks] / P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya.
Kozhevnikova. Pukul 2 - M.: Sekolah Tinggi, 2007. - 304+415p.

Pelaporan

1.
Tes. Dilakukan sesuai dengan:
Tugas dan pedoman untuk melakukan pekerjaan pengendalian
dalam disiplin "MATEMATIKA TERAPAN", Ekaterinburg, Lembaga Pendidikan Otonomi Negara Federal
VO "Pedagogis Kejuruan Negara Rusia
Universitas", 2016 - 30 hal.
Pilih opsi tes dengan digit terakhir nomor tersebut
buku kelas.
2.
Ujian

Integral tak tentu, sifat-sifat dan perhitungannya Antiturunan dan integral tak tentu

Definisi. Fungsi F x disebut
fungsi antiturunan f x didefinisikan pada
beberapa interval, jika F x f x untuk
setiap x dari interval ini.
Misalnya fungsi cos x adalah
antiturunan dari fungsi sin x, karena
karena x dosa x .

Jelas jika F x merupakan antiturunan
fungsi f x , maka F x C , dimana C adalah suatu konstanta, juga
antiturunan dari fungsi f x .
Jika F x adalah antiturunan apa pun
fungsi f x , maka fungsi apa pun berbentuk
Ф x F x C juga
fungsi antiturunan f x dan sembarang
antiturunan dapat direpresentasikan dalam bentuk ini.

Definisi. Totalitas dari semuanya
antiturunan dari fungsi f x ,
didefinisikan pada beberapa
interval disebut
integral tak tentu dari
fungsi f x pada interval ini dan
dilambangkan dengan f x dx.

Jika F x adalah suatu antiturunan dari fungsi tersebut
f x , lalu mereka menulis f x dx F x C , meskipun
akan lebih tepat jika ditulis f x dx F x C .
Menurut tradisi yang sudah ada, kami akan menulis
f x dx F x C .
Jadi simbol yang sama
f x dx akan menunjukkan keseluruhan
himpunan antiturunan dari fungsi f x ,
dan elemen apa pun dari himpunan ini.

Sifat-sifat integral

Turunan dari integral tak tentu adalah sama dengan
fungsi integran, dan ekspresi integran diferensialnya. Benar-benar:
1.(f (x)dx) (F (x) C) F (x) f (x);
2.d f (x)dx (f (x)dx) dx f (x)dx.

Sifat-sifat integral

3. Integral tak tentu dari
diferensial terus menerus (x)
fungsi yang terdiferensiasi sama dengan fungsi itu sendiri
fungsi ini hingga konstanta:
d (x) (x)dx (x) C,
karena (x) merupakan antiturunan dari (x).

Sifat-sifat integral

4.Jika fungsi f1 x dan f 2 x mempunyai
adalah antiturunan, maka fungsinya f1 x f 2 x
juga memiliki antiturunan, dan
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
5. KfxdxKfxdx ;
6.fxdxfxC ;
7.fxxdx FxC.

1.dxxc.
sebuah 1
X
2.xa dx
C, (a 1) .
sebuah 1
dx
3. dalam x C .
X
X
A
4.axdx
C.
dalam sebuah
5. e x dx e x C .
6. dosa xdx cos x C .
7. cos xdx dosa x C .
dx
8. 2 ctgx C .
dosa x
dx
9. 2 tgx C .
karena x
dx
arctgx C .
10.
2
1x

Tabel integral tak tentu

11.
dx
busursin x C .
1x2
dx
1
X
12. 2 2 busur C .
A
A
sebuah x
13.
14.
15.
dx
a2x2
X
arcsin C..
A
dx
1
xa
dalam
C
2
2
2a x a
xa
dx
1
sebuah x
a 2 x 2 2a dalam a x C .
dx
16.
x2a
dalam x x 2 a C .
17. shxdx chx C .
18.chxdx shx C.
19.
20.
dx
bab 2 x terima kasih C .
dx
terima kasih C .
2
shx

Sifat-sifat diferensial

Nyaman digunakan saat mengintegrasikan
properti: 1
1. dx d (kapak)
A
1
2. dx d (kapak b),
A
1 2
3.xdxdx,
2
1 3
2
4.x dx dx .
3

Contoh

Contoh. Hitung cos 5xdx.
Larutan. Dalam tabel integral kita temukan
cos xdx dosa x C .
Mari kita ubah integral ini menjadi integral tabel,
mengambil keuntungan dari fakta bahwa d ax adx .
Kemudian:
d 5x1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5x
5
5
1
= dosa 5 x C .
5

Contoh

Contoh. Hitung x
3xx1dx.
Larutan. Karena di bawah tanda integral
adalah jumlah dari empat suku, maka
perluas integralnya menjadi jumlah empat
integral:
2
3
2
3
2
3
X
3
X
X
1
dx
X
dx
3
X
dx xdx dx.
x3
x4 x2
3
x C
3
4
2

Independensi jenis variabel

Saat menghitung integral, hal ini mudah dilakukan
gunakan properti berikut
integral:
Jika f x dx F x C , maka
f x b dx F x b C .
Jika f x dx F x C , maka
1
f kapak b dx F kapak b C .
A

Contoh

Mari kita hitung
1
6
2
3
X
dx
2
3
X
C
.
3 6
5

Metode integrasi Integrasi berdasarkan bagian

Metode ini didasarkan pada rumus udv uv vdu.
Dengan menggunakan metode integrasi per bagian, diambil integral berikut:
a) x n sin xdx, dimana n 1,2...k;
b) x n e x dx, dimana n 1,2...k;
c) x n arctgxdx, dimana n 0, 1, 2,... k. ;
d) x n ln xdx, dimana n 0, 1, 2,... k.
Saat menghitung integral a) dan b) masukkan
n 1
notasi: x n u , lalu du nx dx , dan, misalnya
sin xdx dv, lalu v cos x.
Saat menghitung integral c), d), u dilambangkan dengan fungsi
arctgx, ln x, dan untuk dv ambil x n dx.

Contoh

Contoh. Hitung x cos xdx .
Larutan.
kamu x, kamu dx
=
x karena xdx
dv cos xdx, v sin x
x dosa x dosa xdx x dosa x cos x C .

Contoh

Contoh. Menghitung
x dalam xdx
dx
kamu dalam x, kamu
X
x2
dv xdx,v
2
x2
x 2 dx
di x
=
2
2x
x2
1
x2
1x2
dalam x xdx
di x
C.
=
2
2
2
2 2

Metode Penggantian Variabel

Misalkan perlu mencari f x dx , dan
langsung pilih antiturunannya
untuk f x kami tidak bisa, tapi kami tahu itu
itu ada. Seringkali mungkin untuk menemukannya
antiturunan dengan memperkenalkan variabel baru,
sesuai dengan rumusnya
f x dx f t t dt , dimana x t dan t adalah baru
variabel

Mengintegrasikan fungsi yang mengandung trinomial kuadrat

Pertimbangkan integralnya
kapak b
dx,
x piksel q
mengandung trinomial kuadrat di
penyebut integral
ekspresi. Integral seperti itu juga dapat diambil
dengan metode substitusi variabel,
setelah sebelumnya dialokasikan
penyebutnya adalah kuadrat sempurna.
2

Contoh

Menghitung
dx
.
x 4x 5
Larutan. Mari kita transformasikan x 2 4 x 5 ,
2
memilih persegi lengkap menggunakan rumus a b 2 a 2 2ab b 2.
Kemudian kita mendapatkan:
x2 4x 5 x2 2 x 2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 ton
dx
dx
dt
xt 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x 4x 5
t 1
arctgt C arctg x 2 C.

Contoh

Menemukan
1x
1x
2
dx
tdt
1 ton
2
xt, xt 2,
dx 2tdt
2
t2
1 ton
2
dt
1 ton
1 ton
d(t 2 1)
T
2
1
2
2tdt
2
dt
dalam(t 1) 2 dt 2
2
1 ton
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2arctg x C.
1 ton 2 1
1 ton
2
dt

Integral pasti, sifat utamanya. Rumus Newton-Leibniz. Penerapan integral tertentu.

Mengarah pada konsep integral tertentu
masalah mencari luas suatu lengkung
trapesium.
Biarlah diberikan pada selang waktu tertentu
fungsi kontinu y f (x) 0
Tugas:
Buatlah grafiknya dan carilah F luas gambar tersebut,
dibatasi oleh kurva ini, dua garis lurus x = a dan x
= b, dan di bawah – ruas sumbu absis antar titik
x = a dan x = b.

Angka aABb disebut
trapesium melengkung

Definisi

B
f(x)dx
Di bawah integral tertentu
A
dari fungsi kontinu tertentu f(x) ke
segmen ini dipahami
kenaikan yang sesuai
antiturunan, yaitu
F (b) F (a) F (x) /
B
A
Angka a dan b merupakan limit integrasi,
– interval integrasi.

Aturan:

Integral pasti sama dengan selisihnya
nilai integral antiturunan
berfungsi untuk batas atas dan bawah
integrasi.
Dengan memperkenalkan notasi perbedaan
B
F(b)F(a)F(x)/a
B
f (x)dx F (b) F (a)
A
Rumus Newton–Leibniz.

Sifat-sifat dasar integral tertentu.

1) Nilai integral tertentu tidak bergantung pada
notasi untuk variabel integrasi, mis.
B
B
A
A
f (x)dx f (t)dt
dimana x dan t adalah huruf apa saja.
2) Integral pasti dengan identik
di luar
integrasi adalah nol
A
f (x)dx F (a) F (a) 0
A

3) Saat menata ulang batas-batas integrasi
integral tertentu mengubah tandanya menjadi kebalikannya
B
A
f (x)dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x)dx
A
B
(properti aditif)
4) Jika interval dibagi menjadi bilangan berhingga
interval parsial, lalu integral tertentu,
diambil selama interval, sama dengan jumlah tertentu
integral yang diambil alih seluruh interval parsialnya.
B
C
B
f (x)dx f (x)dx
C
A
A
f(x)dx

5) Pengganda konstan dapat disesuaikan
untuk tanda integral tertentu.
6) Integral pasti aljabar
jumlah dari sejumlah kontinu yang terbatas
fungsi sama dengan aljabar yang sama
jumlah integral tertentu dari integral-integral tersebut
fungsi.

3. Perubahan variabel pada integral tertentu.

3. Mengganti suatu variabel dengan variabel tertentu
integral.
B
f (x)dx f (t) (t)dt
A
sebuah(), b(), (t)
Di mana
untuk t [ ; ] , fungsi (t) dan (t) kontinu aktif;
5
Contoh:
1
=
x 1dx
=
x 1 5
t 0 4
x 1 ton
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
tt 40 4 2 0
5
3
3
3
3

Integral tak wajar.

Integral tak wajar.
Definisi. Biarkan fungsi f(x) didefinisikan pada
interval tak terhingga, dimana b< + . Если
ada
B
batas
f(x)dx,
B
A
maka batas ini disebut tidak tepat
integral dari fungsi f(x) pada interval
}