Altın oran gibi bir kavrama yakın veya matematikle yakından ilgili örnekler var. Ancak altın oranın evrensel bir şey olduğu iddiası abartılıdır. Genellikle, daha genel bir durumun gerçekten gözlemlendiği, bilinen belirli bir kalıp görürüz.
Fibonacci sayıları
Ne zaman gelir doğadaki oran hakkında, bilim adamları iki ana bilimsel fenomeni uygular - Fibonacci sayıları ve altın spiraller.
Fibonacci sayıları, her birinin kendinden önceki iki sayının toplamı olduğu bir dizi oluşturur. İki bitişik Fibonacci sayısının oranı, altın oranın bir tahminidir.
Bu dağılım genellikle bitkiler için geçerlidir, ancak hepsi bu prensibe göre büyümez. Bu nedenle, bunun onların evrensel özelliği olduğunu söyleyemeyiz.
Deniz kabuğunun altın oranı
Başka ne gibi örnekler verebilirsiniz? Romanesco lahanası ve nautilus kabuğu, geleneksel altın sarmalı değil, düzenli sarmal desenleri takip eder. Bu spiral, yarıçapı her 90 derecede bir altın oranda artırarak oluşturulur.
Nautilus kabuğu, her 180 derecede bir altın oranda genişleyen bir spirale sahip olarak daha iyi tanımlanabilir. Ve bu bile hala bir yaklaşım.
Bitkiler ve altın oran
Örneğin, bitkiler güneşle maksimum temas halinde olacaksa, ideal olarak yapraklarının tekrar etmeyen açılarda büyümesi gerekir. İrrasyonel bir anlamın varlığı bunu garanti eder, bu nedenle doğada gördüğümüz spiraller böyle bir sürecin sonucudur. Tüm bu dağılımlar, logaritmik spiralleri veya altın spiralin genel matematiksel şeklini takip eder.
Tüm canlılar arasında daha da derin matematiksel bağlantılar olduğunu varsayabilir miyiz? Ne anlama geliyor? Genel fikir, doğanın tembel olduğu ve bundan en iyi şekilde yararlanmak için en az miktarda iş yapma eğiliminde olduğudur.
Bunu yapmanın en kolay yolu, yaprakları belirli bir açıyla döndürmeyi ve daha fazla gelişmeye devam etmeyi içeren basit bir büyüme modeli sunmaktır.
Matematiksel olarak, bu, logaritmik spirallerin oluşturulmasına yol açabilecek tekrar eden desenler olan fraktallarla daha iyi tanımlanır. Fizik açısından spirallerin düşük enerjili konfigürasyonlar olduğuna dikkat edilmelidir.
Dolayısıyla matematik gerçekten de evrenin dilidir, ancak dili altın katsayıdan çok daha zengindir.
Bir şekil alan, oluşan, büyüyen, uzayda yer edinmeye ve kendini korumaya çalışan her şey. Bu çaba, esas olarak iki versiyonda uygulama bulur - yukarı doğru büyümek veya dünyanın yüzeyi boyunca yayılmak ve bir spiral içinde bükülmek. Spiralin yapısının altında yatan altın oran kuralı, doğada çok sık, eşsiz güzellikteki kreasyonlarda bulunur.
Ağaç dallarındaki yaprakların sarmal ve sarmal dizilişi uzun zaman önce fark edildi. Yol kenarındaki otların arasında dikkat çekmeyen bir bitki yetişir - hindiba. Ana gövdeden bir süreç oluşmuştur. İlk sayfa tam orada bulunur. Sürgün, uzaya güçlü bir fırlatma yapar, durur, bir yaprak bırakır, ancak ilkinden daha kısadır, yine uzaya fırlar, ancak daha az kuvvetle, daha da küçük boyutlu bir yaprak bırakır ve tekrar çıkar. İlk emisyon 100 birim alınırsa ikincisi 62 birim, üçüncüsü 38, dördüncüsü 24 vb. Yaprakların uzunluğu da altın orana tabidir. Büyümede, uzayın fethinde, bitki belirli oranları korudu. Büyüme dürtüleri, altın bölüme orantılı olarak yavaş yavaş azaldı.
En canlı örnekler - ayçiçeği tohumlarının düzenlenmesinde ve çam kozalaklarında, ananaslarda, gül yapraklarının yapısında vb. Botanikçiler ve matematikçilerin ortak çalışması, bu şaşırtıcı doğa olaylarına ışık tuttu. Bir daldaki yaprakların düzenlenmesinde, ayçiçeği çekirdeği, çam kozalakları, Fibonacci serisinin kendini gösterdiği ve bu nedenle altın oran yasasının kendini gösterdiği ortaya çıktı.
Doğadaki altın oran kavramı, sarmal hakkında söylenemezse eksik kalacaktır. Kabuk bir spiral içinde bükülür Eğer açarsanız, yılanın uzunluğundan biraz daha düşük bir uzunluk elde edersiniz. On santimetrelik küçük bir kabuğun 35 cm uzunluğunda bir spirali vardır, Arşimet onu inceledi ve logaritmik bir spiral için denklemi türetti. Bu denklemden çizilen spirale onun adı verilmiştir. Adımındaki artış her zaman tekdüzedir. Şu anda, Arşimet spirali teknolojide yaygın olarak kullanılmaktadır.
Örümcekler ağlarını her zaman logaritmik bir sarmal içinde örerler; korkmuş bir ren geyiği sürüsü bir sarmal halinde dağılır. Bir kertenkelede kuyruğunun uzunluğu, vücudun geri kalanının uzunluğuyla 62 ila 38 arasında ilişkilidir. Fillerin ve soyu tükenmiş mamutların dişleri, aslan pençeleri ve papağanların gagaları logaritmiktir ve bir eksenin şeklini andırır. bir spirale dönüşmek.
Hem bitki hem de hayvan dünyasında, doğanın biçimlendirici eğilimi, büyüme ve hareket yönüne göre simetriyi sürekli olarak kırar. Burada altın oran, büyüme yönüne dik olan kısımların oranlarında ortaya çıkar.
DNA molekülünün yapısındaki altın oranlar. Canlıların fizyolojik özellikleriyle ilgili tüm bilgiler, yapısı altın oran yasasını da içeren mikroskobik bir DNA molekülünde saklanır. Bir DNA molekülü dikey olarak iç içe geçmiş iki spiralden oluşur. Bu spirallerin her birinin uzunluğu 34 angstrom, genişliği 21 angstromdur. (1 angstrom santimetrenin yüz milyonda biridir). 21 ve 34 Fibonacci sayıları dizisinde birbirini takip eden sayılardır, yani DNA molekülünün logaritmik sarmalının uzunluk ve genişliğinin oranı altın oran 1: 1.618 formülünü taşır.
İnsan vücudu ve altın oran
Sanatçılar, bilim adamları, moda tasarımcıları, tasarımcılar hesaplamalarını, çizimlerini veya eskizlerini altın oran oranına göre yaparlar. Altın oran ilkesine göre oluşturulmuş insan vücudundan ölçümler kullanırlar. Leonardo Da Vinci ve Le Corbusier, başyapıtlarını yaratmadan önce, altın oran yasasına göre oluşturulan insan vücudunun parametrelerini aldılar.
Vücudumuzun çeşitli bölgelerinin oranları altın orana çok yakın bir sayı oluşturur. Bu oranlar altın oranın formülüyle örtüşürse, bir kişinin görünümü veya vücudu mükemmel bir şekilde katlanmış olarak kabul edilir. İnsan vücudundaki altın ölçünün hesaplanması prensibi bir diyagram olarak gösterilebilir.
İnsan vücudunun yapısındaki altın oranın ilk örneği: Göbek noktasını insan vücudunun merkezi, bir kişinin ayakları ile göbek noktası arasındaki mesafeyi bir ölçü birimi olarak alırsak, o zaman bir kişinin boyunu 1.618'e eşittir. Vücudumuzun birkaç temel altın oranı daha vardır (1: 1.618): Parmak uçlarından bileğe ve bilekten dirseğe kadar olan mesafe, omuz seviyesinden başın tepesine kadar olan mesafeye ve vücudun büyüklüğüne eşittir. kafa; göbek noktasından başın tepesine ve omuz seviyesinden başın tepesine kadar olan mesafe; göbek noktasının dizlere ve dizlerden ayaklara olan mesafesi; çene ucundan üst dudağın ucuna ve üst dudağın ucundan burun deliklerine kadar olan mesafe; çene ucundan kaşların üst çizgisine ve kaşların üst çizgisinden başın tepesine kadar olan mesafe; çene ucundan kaşların üst çizgisine ve kaşların üst çizgisinden başın tepesine kadar olan mesafe.
İnsan yüz hatlarındaki altın oran, kusursuz güzelliğin kriteridir. Altın oran formülünün değerine yaklaşan insan yüz özelliklerinin yapısında da birçok örnek vardır. İşte bu oranlardan bazıları: yüz yüksekliği / yüz genişliği; dudakların burun tabanına birleştiği merkez noktası / burnun uzunluğu; yüzün yüksekliği / çene ucundan dudakların birleşme noktasının merkez noktasına kadar olan mesafe; ağız genişliği / burun genişliği; burun genişliği / burun delikleri arasındaki mesafe; öğrenciler arasındaki mesafe / kaşlar arasındaki mesafe.
Bir kişinin elindeki altın oran. Bir kişinin iki eli vardır, her bir eldeki parmaklar üç falandan oluşur (istisna hariç). baş parmak). Parmağın ilk iki falanksının tüm uzunluğuna göre toplamı altın oranın sayısını verir. Her elin beş parmağı vardır, ancak iki bifalangeal başparmak dışında, altın oran ilkesine göre sadece 8 parmak oluşturulur. Oysa tüm bu 2, 3, 5 ve 8 sayıları Fibonacci dizisinin sayılarıdır.
İnsan akciğerlerinin yapısındaki altın oran. Amerikalı fizikçi B.D. West ve Dr. A.L. Goldberger, fiziksel ve anatomik çalışmaları sırasında, insan akciğerlerinin yapısında da altın oranın var olduğunu bulmuştur. İnsan akciğerlerini oluşturan bronşların özelliği, asimetrilerinde yatmaktadır. Bronşlar, biri (solda) daha uzun ve diğeri (sağda) daha kısa olan iki ana solunum yolundan oluşur. Bronş dallarında bu asimetrinin devam ettiği, daha küçük tüm dallarda olduğu tespit edildi. solunum sistemi... Ayrıca kısa ve uzun bronşların uzunluk oranı da altın orandır ve 1:1.618'e eşittir.
Altın oran insan kulağının yapısında mevcuttur. Bir kişinin iç kulağında, ses titreşimi iletme işlevini yerine getiren Koklea ("Salyangoz") adı verilen bir organ vardır. Bu kemikli yapı, sıvı dolu ve koklear şekilli olup, stabil, logaritmik bir spiral şekli içerir.
Oranı "altın orana" karşılık gelen herhangi bir cisim, nesne, nesne, geometrik şekil, katı orantılılık ile ayırt edilir ve en hoş görsel izlenimi yaratır.
Böylece, birbirleriyle hiçbir bağlantısı ve benzerliği olmayan, doğada var olan tüm canlı organizmaların ve cansız nesnelerin yapısı, belirli bir matematiksel formüle göre planlanmıştır.
Cansız doğada altın oran
Altın oran tüm kristallerin yapısında mevcuttur, ancak çoğu kristal mikroskobik olarak küçüktür, bu nedenle onları çıplak gözle göremeyiz. Ancak aynı zamanda su kristalleri olan kar taneleri de gözümüze oldukça yakındır. Kar tanelerini oluşturan figürlerin tüm zarif güzelliği, kar tanelerindeki tüm eksenler, daireler ve geometrik şekiller de istisnasız her zaman altın oranın mükemmel net formülüne göre inşa edilmiştir.
Bir kasırga spiral şeklinde dönüyor. Goethe spirali “yaşam eğrisi” olarak adlandırdı.
Evrende, insanlığın bildiği tüm galaksiler ve içindeki tüm cisimler, altın oran formülüne karşılık gelen bir spiral şeklinde bulunur.
Sanat ve mimaride altın oran
Altın oran ve altın oranların formülü tüm sanat insanları tarafından çok iyi bilinir, bunlar estetiğin ana kurallarıdır.
Rönesans'ta sanatçılar, herhangi bir resmin, sözde görsel merkezler olarak adlandırılan, dikkatimizi istemeden perçinleyen belirli noktaları olduğunu keşfettiler. Bu durumda, resmin hangi formatta olduğu önemli değildir - yatay veya dikey. Bu tür sadece dört nokta vardır ve bunlar düzlemin karşılık gelen kenarlarından 3/8 ve 5/8 uzaklıkta bulunur. O zamanın sanatçıları tarafından yapılan bu keşif, resmin "altın bölümü" olarak adlandırıldı. Bu nedenle fotoğrafın ana unsuruna dikkat çekmek için bu unsuru görsel merkezlerden biriyle birleştirmek gerekir.
Resimdeki "altın oran" örneklerine geçildiğinde, Leonardo da Vinci'nin çalışmalarına odaklanmak mümkün değil. Kişiliği tarihin gizemlerinden biridir. Leonardo da Vinci'nin kendisi şöyle dedi: "Kimse, matematikçi olmayan, eserlerimi okumaya cesaret etmesin." Eşsiz bir sanatçı, büyük bir bilim adamı, 20. yüzyıla kadar uygulanmayan birçok buluşu öngören bir dahi olarak ün kazandı. Altın oran, Leonardo da Vinci'nin "La Gioconda" tablosunda mevcuttur. Monna Lisa'nın Portresi uzun yıllarçizimin kompozisyonunun, düzenli bir yıldız şeklindeki beşgenin parçaları olan altın üçgenlere dayandığını bulan araştırmacıların dikkatini çekiyor.
I. I. Shishkin'in ünlü tablosu "Çam Korusu" altın bölümün motiflerini açıkça göstermektedir. Güneş tarafından parlak bir şekilde aydınlatılan bir çam ağacı (ön planda duran), resmin uzunluğunu altın oran boyunca böler. Çamın sağında güneşli bir tepecik var. Resmin sağ tarafını altın oran boyunca yatay olarak böler. Ana çam ağacının solunda birçok çam vardır - dilerseniz resmi altın oran boyunca ve daha fazla bölmeye başarılı bir şekilde devam edebilirsiniz.
Herhangi bir resimde, onu altın orana göre bölen parlak dikey ve yatayların varlığı, ona sanatçının amacına uygun olarak denge ve dinginlik karakteri verir. Sanatçının amacı farklı olduğunda, örneğin hızla gelişen bir eylemle bir resim yaratırsa, böyle bir geometrik kompozisyon şeması (dikey ve yatayların baskın olduğu) kabul edilemez hale gelir.
Altın oranın aksine, dinamik hissi, heyecan, belki de en güçlü şekilde başka bir basit şekilde kendini gösterir. geometrik şekil- altın sarmal.
Raphael'in 1509-1510'da Raphael tarafından yürütülen çok figürlü kompozisyonu "The Beating of the Babies", altın bir sarmal içerir.Bu resim sadece arsanın dinamizmi ve draması ile ayırt edilir. Raphael planını hiçbir zaman tamamlamadı, ancak taslağı bilinmeyen bir İtalyan grafik sanatçısı Marcantinio Raimondi tarafından oyuldu ve bu eskizden yola çıkarak "Beating of Babies" gravürünü yarattı.
Raphael'in hazırlık taslağında, kompozisyonun anlamsal merkezinden - savaşçının parmaklarının çocuğun ayak bileği etrafında kapandığı noktalardan - çocuğun figürleri boyunca kırmızı çizgiler çizilir, onu ona tutan kadın, topla savaşçı Sağ taraftaki krokide aynı grubun figürleri ile birlikte getirildi. Bu parçaları doğal olarak noktalı bir eğri ile birleştirirseniz, altın bir spiral elde edersiniz! Raphael'in "Bebekleri Dayak" kompozisyonunu yaratırken gerçekten altın spirali çizip çizmediğini veya sadece "hissettiğini" bilmiyoruz. Ancak, oymacı Raimondi'nin bu spirali gördüğünü güvenle söyleyebiliriz.
Kazimir Malevich'in ünlü meydanlarında bir pusula ve cetvelle güzellik yasalarını inceleyen sanatçı Alexander Pankin, Malevich'in resimlerinin şaşırtıcı derecede uyumlu olduğunu fark etti. Burada tek bir rastgele öğe yok. Tek bir parçayı, tuvalin boyutunu veya bir karenin kenarını alarak, tek bir formül kullanarak tüm resmi oluşturabilirsiniz. Tüm öğeleri "altın oran" oranında ilişkili olan kareler vardır ve ünlü "Siyah Kare" orantılı olarak çizilir. kare kök ikisinden. Alexander Pankin inanılmaz bir model keşfetti: kendini ifade etme arzusu ne kadar azsa, yaratıcılık o kadar fazla ... Kanon önemlidir. İkon resminde bu kadar sıkı bir şekilde gözlemlenmesi tesadüf değildir.
Heykelde altın oran
"Güzel bir binanın iyi inşa edilmiş bir insan gibi inşa edilmesi gerekir" (Pavel Florensky)
Antik çağda bile heykelin oranlar teorisine dayandığı bilinmektedir. İnsan vücudunun bölümlerinin ilişkisi altın oran formülü ile ilişkilendirildi. "Altın bölümün" oranları, güzelliğin uyumu izlenimi yaratır, bu nedenle heykeltıraşlar eserlerinde onları kullandılar. Yani örneğin ünlü Apollon Belvedere heykeli altın ilişkilere göre bölünmüş parçalardan oluşuyor.
Büyük antik Yunan heykeltıraş Phidias, eserlerinde sıklıkla "altın oran" kullandı. Bunların en ünlüsü (dünya harikalarından biri olarak kabul edilen) Olympian Zeus heykeli ve Athena Parthenos'tur.
mimaride altın oran
"Altın oran" hakkındaki kitaplarda, resimde olduğu gibi mimaride de her şeyin gözlemcinin konumuna bağlı olduğu ve bir taraftaki bir binadaki bazı oranlar "altın oranı" oluşturuyor gibi görünüyorsa, o zaman diğer noktalardan farklı görünecekler. "Altın bölüm", belirli uzunluklardaki boyutların en sakin oranını verir.
Antik Yunan mimarisinin en güzel parçalarından biri Parthenon'dur (MÖ 5. yy). Parthenon'un cephesi altın oranlara sahiptir. Kazıları sırasında, antik dünyanın mimarları ve heykeltıraşları tarafından kullanılan pusulalar keşfedildi. Pompeii pusulalarında (Napoli'deki bir müze) altın oranlar atılır.
Parthenon'un kısa kenarlarında 8, uzun kenarlarında 17 sütun vardır. çıkıntılar tamamen Pentilian mermerinden karelerden yapılmıştır. Tapınağın yapıldığı malzemenin asaleti, Yunan mimarisinde olağan renklendirmenin kullanımını kısıtlamayı mümkün kıldı, sadece ayrıntıları vurguluyor ve heykel için renkli bir arka plan (mavi ve kırmızı) oluşturuyor. Binanın yüksekliğinin uzunluğuna oranı 0.618'dir. Parthenon'u “altın orana” göre bölersek, cephenin belirli çıkıntılarını elde ederiz.
Antik dönem mimarisinden bir başka örnek de Pantheon'dur.
Ünlü Rus mimar M. Kazakov, çalışmalarında “altın oranı” yaygın olarak kullanmıştır. Yeteneği çok yönlüydü, ancak büyük ölçüde uygulanan sayısız projede kendini gösterdi. Konut inşaatları ve mülkler. Örneğin, “altın oran” Kremlin'deki Senato binasının mimarisinde bulunabilir. M. Kazakov'un projesine göre, Golitsyn hastanesi Moskova'da inşa edildi ve şimdi N.I. Pirogov (Leninsky umudu, 5).
Moskova'nın bir başka mimari şaheseri olan Pashkov'un evi, V. Bazhenov'un en mükemmel mimari eserlerinden biridir. V. Bazhenov'un harika yaratımı, modern Moskova'nın merkezinin topluluğuna sıkı sıkıya girdi, onu zenginleştirdi. Evin dış görünümü, 1812'de kötü bir şekilde yanmış olmasına rağmen, bu güne kadar neredeyse değişmeden kaldı. Restorasyon sırasında bina daha masif formlar aldı.
Bu nedenle, altın oranın, kullanımı her tür sanatta çeşitli kompozisyon biçimleri sağlayan ve bilimsel bir kompozisyon teorisi ve birleşik bir plastik teorisi yaratılmasına yol açan şekillendirmenin temeli olduğunu güvenle söyleyebiliriz. sanat.
Geometri, tüm bunlarla birlikte bir tür sanat olan kesin ve oldukça karmaşık bir bilimdir. Çizgiler, düzlemler, oranlar - tüm bunlar gerçekten çok güzel şeyler yaratmaya yardımcı olur. Ve garip bir şekilde, bu, çeşitli biçimlerde geometriye dayanmaktadır. Bu yazıda, bununla doğrudan ilgili çok sıra dışı bir şeye bakacağız. Altın oran tam olarak tartışılacak olan geometrik yaklaşımdır.
Nesnenin şekli ve algısı
İnsanlar, milyonlarca başka nesne arasından onu tanımak için genellikle bir nesnenin şekli tarafından yönlendirilir. Ne tür bir şeyin önümüzde durduğunu veya uzakta durduğunu form aracılığıyla belirleriz. Her şeyden önce insanları vücutlarından ve yüzlerinden tanırız. Bu nedenle, şeklin kendisinin, boyutunun ve görünümünün insan algısındaki en önemli şeylerden biri olduğunu güvenle söyleyebiliriz.
İnsanlar için, herhangi bir şeyin biçimi iki ana nedenden dolayı ilgi çekicidir: ya yaşamsal zorunluluk tarafından belirlenir ya da güzelliğin estetik zevkinden kaynaklanır. En iyi görsel algı ve uyum ve güzellik duygusu, çoğunlukla, bir kişinin yapımında simetri ve özel bir oranın kullanıldığı, altın oran olarak adlandırılan bir formu gözlemlediğinde gelir.
altın oran kavramı
Yani altın oran, aynı zamanda harmonik bir bölme olan altın orandır. Bunu daha net anlatabilmek için formun bazı özelliklerini ele alalım. Yani: biçim bütün bir şeydir, ama bütün sırayla her zaman bazı parçalardan oluşur. Bu parçaların farklı özelliklere, en azından farklı boyutlara sahip olması muhtemeldir. Eh, bu tür boyutlar her zaman hem kendi aralarında hem de bütünle ilgili olarak belirli bir orandadır.
Yani altın oranın kendi formülü olan iki miktarın oranı olduğunu söyleyebiliriz. Bir şekil oluştururken bu oranı kullanmak, onu insan gözü için olabildiğince güzel ve uyumlu hale getirmeye yardımcı olur.
Altın oranın kadim tarihinden
Altın oran, günümüzde hayatın çok çeşitli alanlarında sıklıkla kullanılmaktadır. Ancak bu kavramın tarihi, matematik ve felsefe gibi bilimlerin yeni ortaya çıktığı eski zamanlara kadar uzanır. Bilimsel bir kavram olarak altın oran, Pisagor zamanında yani MÖ 6. yy'da kullanılmaya başlandı. Ancak bundan önce bile, Eski Mısır ve Babil'de pratikte böyle bir oranın bilgisi kullanıldı. Bunun canlı bir kanıtı, yapımı için tam olarak böyle bir altın oranın kullanıldığı piramitler.
Yeni dönem
Rönesans, özellikle Leonardo da Vinci sayesinde uyumlu bölünme için yeni bir soluktu. Bu oran hem geometride hem de sanatta giderek daha fazla kullanılmaktadır. Bilim adamları ve sanatçılar altın oranı daha derinlemesine incelemeye ve bu konuyu ele alan kitaplar oluşturmaya başladılar.
Altın oran ile ilgili en önemli tarihi eserlerden biri Luca Pancholi'nin İlahi Oran kitabıdır. Tarihçiler bu kitaptaki resimlerin Vinci'den önce Leonardo'nun kendisi tarafından yapıldığından şüpheleniyorlar.
altın Oran
Matematik, iki oranın eşitliği olduğunu söyleyen çok net bir orantı tanımı verir. Matematiksel olarak bu, aşağıdaki eşitlikle ifade edilebilir: a: b = c: d, burada a, b, c, d bazı belirli değerlerdir.
İki parçaya bölünmüş bir parçanın oranını düşünürsek, sadece birkaç durumla karşılaşabiliriz:
- Segment kesinlikle eşit iki parçaya bölünmüştür, yani AB: AC = AB: BC, eğer AB segmentin tam başlangıcı ve sonu ise ve C, segmenti iki eşit parçaya bölen noktadır.
- Segment, birbirinden çok farklı oranlarda olabilen iki eşit olmayan parçaya bölünmüştür, bu da burada kesinlikle orantısız oldukları anlamına gelir.
- Parça, AB: AC = AC: BC olacak şekilde bölünmüştür.
Altın orana gelince, bu, tıpkı büyük parçanın kendisinin daha küçük olana ait olması gibi, tüm parça daha büyük parçaya ait olduğunda, parçanın eşit olmayan parçalara böyle orantılı bir bölünmesidir. Başka bir formülasyon daha var: daha küçük segment, daha büyük olanın yanı sıra tüm segment için daha büyük olanı ifade eder. Matematiksel olarak şöyle görünür: a: b = b: c veya c: b = b: a. Altın oran formülünün sahip olduğu şey budur.
Doğadaki altın oran
Şimdi örneklerini inceleyeceğimiz altın oran, doğadaki inanılmaz olaylara atıfta bulunuyor. Bunlar, matematiğin sadece sayılar ve formüller değil, doğada ve genel olarak hayatımızda gerçek bir yansımasından daha fazlasını olan bir bilim olduğunun çok güzel örnekleridir.
Canlı organizmalar için hayattaki ana görevlerden biri büyümedir. Uzayda böyle bir yer alma arzusu, aslında, çeşitli şekillerde gerçekleştirilir - yukarı doğru büyüme, zemin boyunca neredeyse yatay yayılma veya belirli bir destek üzerinde bir spiral içinde bükülme. Ve her ne kadar inanılmaz olsa da birçok bitki altın orana göre büyüyor.
Neredeyse inanılmaz bir başka gerçek, kertenkelelerin vücudundaki orandır. Vücutları insan gözüne yeterince hoş görünüyor ve bu da aynı altın oran sayesinde mümkün. Daha kesin olmak gerekirse, kuyruklarının uzunluğu tüm vücudun uzunluğunu 62:38 olarak ifade eder.
Altın oranın kuralları hakkında ilginç gerçekler
Altın oran gerçekten inanılmaz bir kavramdır, bu da tarih boyunca birçok gerçekle karşılaşabileceğimiz anlamına gelir. ilginç gerçekler Bu oran hakkında. Bunlardan bazıları:
insan vücudundaki altın oran
Bu bölümde çok önemli bir kişiden, yani S. Zeising'den söz edilmelidir. Bu, altın oran çalışmasında muazzam çalışmalar yapmış bir Alman araştırmacıdır. Estetik Araştırma adlı bir eser yayınladı. Çalışmalarında altın oranı, hem doğada hem de sanatta tüm fenomenler için evrensel olan mutlak bir kavram olarak sundu. Burada piramidin altın oranı ile birlikte hatırlayabilirsiniz. uyumlu oran insan vücudu vb.
Altın oranın aslında insan vücudu için ortalama istatistiksel yasa olduğunu kanıtlayabilen Zeising oldu. Bu pratikte gösterildi, çünkü çalışması sırasında birçok insan vücudunu ölçmek zorunda kaldı. Tarihçiler, bu deneyime iki binden fazla insanın katıldığına inanıyor. Zeising'in araştırmasına göre altın oranın ana göstergesi vücudun göbek noktasına bölünmesidir. Böylece ortalama oranı 13:8 olan erkek bedeni, altın oranın 8:5 olduğu kadın bedenine göre altın orana biraz daha yakındır. Ayrıca, örneğin el gibi vücudun diğer bölgelerinde de altın oran gözlemlenebilir.
Altın bölümü inşa etme hakkında
Aslında altın oranın yapılışı basit bir meseledir. Gördüğümüz gibi, eski insanlar bile bununla oldukça kolay başa çıktı. İnsanlığın modern bilgi ve teknolojileri hakkında ne söyleyebiliriz. Bu yazımızda bunun sadece bir kağıt parçası üzerinde ve elde bir kurşun kalemle nasıl yapılabileceğini göstermeyeceğiz, ancak bunun gerçekten mümkün olduğunu güvenle söylüyoruz. Üstelik bu, birden fazla şekilde yapılabilir.
Bu oldukça basit bir geometri olduğundan, Altın Oranı okulda bile oluşturmak oldukça kolaydır. Bu nedenle, bununla ilgili bilgiler özel kitaplarda kolayca bulunabilir. Altın oranı inceleyen 6. sınıf, yapısının ilkelerini tam olarak anlayabilir, bu da çocukların bile böyle bir görevde ustalaşacak kadar akıllı olduğu anlamına gelir.
matematikte altın oran
Altın oran ile pratikte ilk tanışma, düz bir doğru parçasının hepsi aynı oranlarda basit bir şekilde bölünmesiyle başlar. Çoğu zaman bu bir cetvel, pusula ve elbette bir kurşun kalemle yapılır.
Altın oranın bölümleri sonsuz bir irrasyonel kesir olarak ifade edilir AE = 0.618 ..., AB bir birim olarak alınırsa, BE = 0.382 ... Bu hesaplamaları daha pratik hale getirmek için, çoğu zaman kesin değil, yaklaşıktır. değerler kullanılır, yani - 0 , 62 ve 0.38. AB segmenti 100 parça olarak alınırsa, çoğu 62'ye eşit olacak, ancak daha küçük olanı sırasıyla 38 parça olacaktır.
Altın oranın ana özelliği şu denklemle ifade edilebilir: x 2 -x-1 = 0. Çözerken şu kökleri elde ederiz: x 1,2 =. Matematik, bölümü geometri gibi kesin ve titiz bir bilim olmasına rağmen, ancak bu konuda gizeme yol açan altın oran yasaları gibi özelliklerdir.
Altın oranla sanatta uyum
Özetlemek için, daha önce tartışılanları kısaca düşünün.
Temel olarak, birçok sanat eseri, oranın 3/8 ve 5/8'e yakın olduğu altın oranın kuralına girer. Altın oranın kaba formülü budur. Makale, bölümün kullanım örneklerinden zaten çok bahsetti, ancak ona antik ve modern sanatın prizmasıyla tekrar bakacağız. Yani, eski çağlardan en çarpıcı örnekler:
Oranın muhtemelen bilinçli kullanımına gelince, Leonardo da Vinci'nin zamanından beri, bilimden sanata hayatın neredeyse tüm dallarında kullanılmaya başlandı. Biyoloji ve tıp bile altın oranın canlı sistemlerde ve organizmalarda bile çalıştığını kanıtlamıştır.
Biyolojik araştırmalarda 70-90 yıl. XX yüzyıl virüsler ve bitkiler ile başlayan ve insan vücudu ile biten her yerde, yapılarının orantılılığını ve uyumunu karakterize eden altın oranın ortaya çıktığı gösterilmiştir.
Tüm canlılar bir şekilde şekil alır, oluşur, büyür, uzayda yer edinmeye ve kendini korumaya çalışır. Bu çaba, esas olarak iki versiyonda uygulama bulur - yukarı doğru büyümek veya dünyanın yüzeyi boyunca yayılmak ve bir spiral içinde bükülmek.
Altın dikdörtgenin karelerinin her birine bir dairenin çeyreği yazılarak uyumlu bir spiral elde edilir. Konformal spiral bir salyangoz kabuğuna benzer. güzel şekil kabuk, daire yayları olan bölümlerinin farklı boyutlara sahip olması, ancak şekillerinin aynı olması gerçeğinden kaynaklanmaktadır. Salyangoz kabuğu örneğinde, yapısının önemli bir ilkesine uyulduğunu görebiliriz: salgılarının boyutu artar, ancak şekilleri değişmez.
Sarmal kıvrımlı kabuğun şekli Arşimet'in dikkatini çekti. Onu inceledi ve spiral denklemi çıkardı. Bu denklemden çizilen spirale onun adı verilmiştir. Adımındaki artış her zaman tekdüzedir. Şu anda, Arşimet spirali teknolojide yaygın olarak kullanılmaktadır.
Elma, armut ve diğer birçok bitkinin beş yapraklı çiçeklerinin altın oranı iyi bilinmektedir. Ayçiçeği tohumlarının dizilişinde, çam kozalakları, ananaslar, kaktüsler vb. Botanikçiler ve matematikçilerin ortak çalışması, bu şaşırtıcı doğa olaylarına ışık tuttu.
Ayçiçeği çiçekleri ve tohumları, papatya, ananas meyvelerindeki pullar, iğne yapraklı kozalaklar birbirine doğru kıvrılan "altın" spirallerle "paketlenir".
Örümcek ağı spiral bir şekilde örer. Bir kasırga spiral şeklinde dönüyor. Korkmuş bir ren geyiği sürüsü bir sarmal içinde dağılıyor. Dağ keçilerinin boynuzları altın sarmal şeklinde bükülür. Genetik kodun taşıyıcıları - DNA ve RNA molekülleri - çift sarmal yapıya sahiptir; boyutları neredeyse tamamen Fibonacci serisinin sayılarına karşılık gelir. Goethe spirali "yaşam eğrisi" olarak adlandırdı.
Yol kenarındaki otların arasında dikkat çekmeyen bir bitki yetişir - hindiba. Ona daha yakından bakalım. Ana gövdeden bir süreç oluşmuştur. İlk sayfa tam orada bulunur. Sürgün, uzaya güçlü bir fırlatma yapar, durur, bir yaprak bırakır, ancak ilkinden daha kısadır, yine uzaya fırlar, ancak daha az kuvvetle, daha da küçük boyutlu bir yaprak bırakır ve tekrar çıkar. İlk emisyon 100 birim alınırsa ikincisi 62 birim, üçüncüsü 38, dördüncüsü 24 vb. Yaprakların uzunluğu da altın orana tabidir. Büyümede, uzayın fethinde, bitki belirli oranları korudu. Büyüme dürtüleri, altın bölüme orantılı olarak yavaş yavaş azaldı.
Belediye hükümet eğitim kurumu
"Vysotinskaya lise»
Tasarım ve araştırma çalışması
"Doğadaki altın oran"
gerçekleştirilen:
Laptev Pavel, Zhavnov Evgeniy
6. sınıf öğrencileri
süpervizör: Shklyaeva Elena Alekseevna, matematik öğretmeni
Vysotino, 2018
İçerik
GİRİŞ …………………………………………………………… 1
2. ANA BÖLÜM …… .. ………………………………………………… ... 2
2.1. "Altın Bölüm"ün ortaya çıkış ve inşa tarihi ………… .2
2.2. Tanım, orantı türleri …………………………………………… 2
2.3 Altın Oranın Doğada Uygulanması ……………. ……………… ... 3-4
2.4. Altın bölüm ve doğal nesneler arasındaki ilişki ……………. …… ……… .6
3. PRATİK BÖLÜM …………………………………………………………… 7
4. SONUÇ ……………………………………………………… ........ 8
9. KAYNAKÇALAR …………………………………………………… 9
Tanıtım
"Merak -
enerjik bir zihnin kesin işaretlerinden biri "
johnson samuel
alaka.
Garip, gizemli, açıklanamaz şeyler: Bu ilahi oranlar mistik bir şekilde tüm canlılara eşlik eder. Deniz kabuklarının kıvrımlarında, çiçeklerde, böceklerde ve güzel bir insan vücudunda bu oranı mutlaka göreceksiniz. Her şey canlı ve güzel olan her şey - her şey, adı "altın bölüm" olan ilahi yasaya uyar. Peki “altın oran” nedir?.. Nedir bu ideal, ilahi kombinasyon? Belki de bu güzellik yasasıdır? Yoksa mistik bir sır mı yoksa bilimsel fenomen?
"Altın Bölüm"ü incelemenin önemi, etrafımızdaki birçok nesnenin altın bölümün orantılılığını taşıması gerçeğinde yatmaktadır.
Hipotez:
"Altın oranın" bir tür matematiksel formül olduğunu varsayıyoruz.
İşin amacı: Doğadaki "Altın Bölüm" hakkında yeni bilgiler edinin.
Görevler
"Altın Bölüm" konusundaki teorik bilgileri inceleyin (konu hakkında literatürde ve internette bilgi bulun);
Bilgileri analiz edin ve bir sonuç çıkarın.
HazırlamakBu konuda sunum.
Seyirci önünde performans sergileme deneyimi kazanın.
Arama yöntem: bilimsel ve eğitsel literatürün kullanımı, arama gerekli bilgi internette;
Pratik yöntem: gözlem, ölçümler almak.
analiz
veri,
literatür çalışması ve bir sunumun oluşturulması yoluyla elde edilir.
İşin pratik önemi
bağlı olmakÖğrencilerin "Matematik" konusunu inceleme motivasyonunu artırmak için bu çalışmanın materyalini sınıfta, isteğe bağlı derslerde kullanma fırsatı.
Ana bölüm
Konunun teorik olarak doğrulanması.
2.1. "Altın Bölüm"ün kökeni ve yapımının tarihi
Altın bölme kavramının, antik Yunan filozofu ve matematikçisi Pisagor tarafından bilimsel kullanıma sokulduğuna inanılmaktadır (VIv. M.Ö.). Pisagor'un altın bölünme hakkındaki bilgisini Mısırlılardan ve Babillilerden ödünç aldığına dair bir iddia var. Nitekim Keops piramidi, tapınaklar ve kabartmaların oranları, Mısırlı ustaların zihinlerinde altın bölme oranlarını kullandıklarını göstermektedir.Büyük Pisagor, "altın bölümün" mistik özünün çalışıldığı gizli bir okul yarattı. Öklid, geometrisini ve Phidias'ı - ölümsüz heykellerini yaratarak uyguladı. Platon, evrenin "altın orana" göre düzenlendiğini söyledi. Ve Aristoteles "altın bölümün" etik yasaya uygunluğunu buldu.
Altın oranı bile biliyorlardı. Antik Mısır ve Babil, Hindistan ve Çin.
2.2 Kelimeoran "orantılılık", "parçaların birbirine belirli bir oranı" anlamına gelir.
Altın oran ve hatta "ilahi oran" antik ve Orta Çağ matematikçileri olarak adlandırıldı.parçanın eşit olmayan parçalara böyle orantılı bir şekilde bölünmesi, burada tüm parça daha büyük parçaya, daha büyük parçanın kendisi daha küçük parçaya atıfta bulunur; ya da başka bir deyişle, daha küçük olan parça daha büyük olanla, daha büyük olan da her şeyle ilgilidir.
a : B = B : C veya ile birlikte : B = B : a
Yani,altın oran = 1: 1.618. Bu oran yaklaşık olarak eşittir0,618 ≈ 5/8.
Altın oran sanat eserlerinde, mimaride, el sanatlarının gelişmesinde kullanılır ve doğada bulunur.
"Altın oran" şurada bulunur: bitki örtüsü ve hayvanlar alemi. Doğanın biçimlendirici eğilimi, büyüme ve hareket yönüne göre simetriyi sürekli olarak kırar. Burada "Altın Oran", büyüme yönüne dik olan kısımların oranlarında ortaya çıkar. Bazı örneklere bakalım.
Bir kertenkelede, ilk bakışta, gözlerimiz için hoş oranlar yakalanır - kuyruğunun uzunluğu, tüm vücudun uzunluğu ile 62:38 kadar ilişkilidir.
İlk bakışta, erik gözlerimiz için hoş oranlar yakalar - uzunluğu
Bir houseplantın şematik olarak tasvir edilmiş parçasına daha yakından bakalım.
Ana gövdeden bir süreç oluşmuştur. İlk sayfa tam orada bulunur. Sürgün uzaya güçlü bir fırlatma yapar, durur ve bir yaprak bırakır, ancak zaten ilkinden daha kısadır, yine uzaya bir fırlatma yapar, ancak daha az kuvvetle bir yaprağı hala serbest bırakır. daha küçük... İlk emisyon 100 birim alınırsa ikincisi 62 birim, üçüncüsü 38, dördüncüsü 24 vb.
Yaprakların uzunluğu da altın orana tabidir. Büyümede, uzayın fethinde, bitki belirli oranları korur. Büyüme dürtüleri, altın bölüme orantılı olarak yavaş yavaş azaldı.
Bitkinin ortak gövdesi üzerinde arka arkaya üç yaprak çiftinin dizilimi göz önüne alındığında, birinci ve üçüncü çift arasında ikincisinin "altın bölüm" yerine yer aldığı görülmektedir.
bir B C
AC mesafesini ve BC mesafesini ölçerseniz ve oranı bulursanızM.Ö.: AC , o zaman yaklaşık olarak eşittir0,618 , yani altın orana uyar (bkz. tablo 1).
Tablo 1. Bitki Parça Oranı
AC (mm)166
250
133
142
220
187
M.Ö. (mm)
103
170
136
115
M.Ö.: AC
0,62
0,68
0,624
0,608
0,67
0,613
0,615
Çıktı: gözlemlerin sonuçları, büyümede, uzayın fethinde bitkinin belirli oranları koruduğunu göstermektedir. Büyüme dürtüleri, altın orana orantılı olarak yavaş yavaş azalmaktadır.
2.3. "Altın Oran ve Altın Spiral Bağlantısı"
Altın Oran oranlarını kullanarak bir Altın Spiral oluşturabilirsiniz. O halde, kenarı 1 olan küçük bir kare çizelim. Karede bir1 2 1 olacak. Birincinin yanına bir kare daha çizelim, kapatalım. Ayrıca, bir sonraki orantı sayısı 2'dir (1 + 1). iki kare 2 2 4 olacaktır. İlk iki karenin yanına bir kare daha çizin, ancak şimdi kenar 2 ve alan 4 ile bir sonraki sayı 3 sayısıdır (1 + 2). 3 sayısının karesi 9'dur. Zaten çizilmiş olanların yanına kenarı 3 ve alanı 9 olan bir kare çizin. Daha sonra, 5 kenarı ve 25 alanı olan bir kare, 8 kenarı ve 64 alanı olan bir kare - ve sonsuza kadar böyle devam eder.
Altın bir spiral yapalım. Kareler arasındaki sınır noktalarını düzgün eğri bir çizgi ile birleştirelim. Ve doğada birçok canlı ve cansız nesnenin inşa edildiği aynı altın spirali alacağız.
2.4 "Altın oran ve doğal nesneler arasındaki ilişki"
Altın oranın sarmalının, gevşemeye başladığı bir başlangıcı vardır. Bu çok önemli bir özelliktir. Doğanın başka bir kapalı döngüden sonra sıfırdan yeni bir sarmal oluşturmasını sağlar.
Ağaç dallarındaki yaprakların sarmal ve sarmal dizilişi uzun zaman önce fark edildi. Ayçiçeği tohumlarının dizilişinde, çam kozalakları, ananaslar, kaktüsler vb.
Botanikçiler ve matematikçilerin ortak çalışması, bu şaşırtıcı doğa olaylarına ışık tuttu.
Deniz dalgası bir spiral içinde bükülür.
Örümcek spiral şeklinde bir ağ örüyor
Bir kasırga spiral gibi dönüyorDeniz yıldızı 13 ışınları
Altın Oranın spiralleri morfolojide görünüyor farklı organizmalar... Örneğin, deniz yıldızı. Işın sayıları orantılı bölmede bir dizi sayıya karşılık gelir ve 5, 8, 13, 21, 34, 55'e eşittir.
Altın oran sayesinde Mars ve Jüpiter arasındaki asteroit kuşağı keşfedildi - orana göre orada başka bir gezegen olmalı.
Pratik kısım.
Çalışmanın amacı: söğüt dalı ve diğer doğa nesneleri
Kedi söğüt dalları üzerinde bir çalışma yapacağız ve tomurcukların kedi söğüt dalında nerede olduğunu belirleyeceğiz..
Tomurcukların hangi yerde ve hangi sırayla büyüdüğünü, aşağıdan yukarıya doğru hareket ederek çizdik. Önce 1 numaralı böbrek büyüdü, sonra 2, sonra 3, sonra 4 ve 5 ve 6 böbrek. Çalışma küçük bir alanda gerçekleştirildi.
Araştırma sürecinde yaptığımızçıktı, tomurcukların birbirini "kapatmayacak" şekilde yerleştirilmesi, gelecekteki her yaprak yeterince alacak Güneş ışınları... Bir daldaki tomurcuklar, kesinlikle matematiksel bir sırayla tekrar eden bir spiral şeklinde düzenlenmiştir.
Çözüm
altın oran var harika uygulama hayatımızda ve doğada bulunur.
Fenomenlerin ve doğa nesnelerinin (örneğin, bir söğüt dalı), canlı organizmaların yapısı ve çeşitliliğinin düzenliliği, matematiksel bir bakış açısıyla, yani orantılı bir bölünme düzeninin ve bir düzenleme düzeninin varlığı ile açıklanabilir. spiral şeklinde. "Altın Spiral"
5. Kaynakların ve literatürün listesi
1. Vikipedi:
2. Debarkader L.A., Doğada Sayılar ve Formüller, İlginç ve İlginçte Yararlılık. bilgi
3. site http://www.ed.vseved.ru/
