Короткі відомості з теорії

Брус знаходяться в умовах складного опору, якщо в поперечних перетинах одночасно не рівні нулі кілька внутрішніх силових факторів.

Найбільший практичний інтерес представляють наступні випадки складного навантаження:

1. Косий вигин.

2. Вигин з розтяганням або стисканням, коли в поперечному
перетині виникають поздовжня сила і згинальні моменти, як,
наприклад, при відцентровому стисканні бруса.

3. Вигин з крученням, що характеризується наявністю в попі
річкових перетинах згинального (або двох згинальних) і крутного
моментів.

Косий вигин.

Косий вигин - це такий випадок вигину бруса, при якому площина дії сумарного згинального моменту в перерізі не збігається ні з однією з головних осей інерції. Косий вигин найзручніше розглядати як одночасний вигин бруса в двох головних площинах zoy і zox, де вісь z - вісь бруса, а осі х і у - головні центральні осі поперечного перерізу.

Розглянемо консольную балку прямокутного поперечного перерізу, навантажену силою Р (рис. 1).

Розклавши силу Р по головним центральним осях поперечного перерізу, отримаємо:

Р у \u003d Рcos φ, Р х \u003d Рsin φ

У поточному перетині бруса виникають згинальні моменти

М х \u003d - Р у z \u003d Р z cos φ,

М у \u003d Р х z \u003d Р z sin φ.

Знак згинального моменту М х визначається так само, як і в разі прямого згину. Момент М у будемо вважати позитивним, якщо в точках з позитивним значенням координати х цей момент викликає напруження розтягу. До речі, знак моменту М у легко встановити по аналогії з визначенням знака згинального моменту М x, якщо подумки повернути перетин так, щоб вісь х збіглася з початковим напрямком осі у.

Напруга в довільній точці поперечного перерізу бруса можна визначити, використовуючи формули визначення напружена для випадку плоского вигину. На підставі принципу незалежності дії сил підсумовуємо напруги, що викликаються кожним з згинальних моментів

(1)

В цей вислів підставляються значення згинальних моментів (зі своїми знаками) і координати точки, в якій підраховується напруга.

Для визначення небезпечних точок перетину необхідно визначити положення нульової або нейтральної лінії (геометричного місця точок перетину, в яких напруги σ \u003d 0). Максимальні напруги виникають в точках, найбільш віддалених від нульової лінії.

Рівняння нульової лінії отримуємо з рівняння (1) при \u003d 0:

звідки випливає, що нульова лінія проходить через центр ваги поперечного перерізу.

Виникаючими в перетинах балки дотичними напруженнями (при Q х ≠ 0 і Q у ≠ 0), як правило, можна знехтувати. Якщо ж виникає необхідність в їх визначенні, то обчислюються спочатку складові повного дотичного напруження τ х і τ у за формулою Д.Я.Журавского, а потім останні геометрично підсумовуються:

Для оцінки міцності бруса необхідно визначити в небезпечному перерізі максимальні нормальні напруження. Так як в найбільш навантажених точках напружений стан одноосьовий, то умова міцності при розрахунку за методом допустимих напружень набуває вигляду

Для пластичних матеріалів,

Для крихких матеріалів,

n- коефіцієнт запасу міцності.

Якщо вести розрахунок за методом граничних станів, То умова міцності має вигляд:

де R - розрахунковий опір,

m - коефіцієнт умов роботи.

У тих випадках, коли матеріал бруса різному пручається розтягування і стиснення, необхідно визначити як максимальне розтяжне, так і максимальне стискуюче напруги, а висновок про міцність балки зробити з співвідношень:

де R p і R c - відповідно розрахункові опори матеріалу при розтягуванні і стиснення.

Для визначення прогинів балки зручно попередньо знайти переміщення перерізу в головних площинах у напрямку осей х і у.

Обчислення цих переміщень ƒ x і ƒ y можна здійснити шляхом складання універсального рівняння зігнутої осі балки або енергетичними методами.

Повний прогин можна знайти як геометричну суму:

умова жорсткості балки має вигляд:

де - - Дозволений прогин балки.

відцентровий стиск

В цьому випадку стискає брус сила Р спрямована паралельно осі бруса і прикладена в точці, яка не співпадає з центром ваги перерізу. Нехай Х р і У p - координати точки прикладання сили Р, відраховані щодо головних центральних осей (рис.2).

діюча навантаження викликає появу в попі річкових перетинах наступних внутрішніх силових факторів: N \u003d -P, Mx \u003d -Py p, My \u003d -Px p

Знаки згинальних моментів негативні, оскільки останні викликають стиснення в точках, що належать першій чверті. Напруга в довільній точці перетину визначається виразом

(9)

Підставивши значення N, МХ і Му, отримаємо

(10)

Так як Ух \u003d F, Уу \u003d F (де i x і i y - головні радіуси інерції), то останній вираз можна привести до виду

(11)

Рівняння нульової лінії отримаємо, поклавши \u003d 0

1+ (12)

Відсікаються нульовою лінією на осях координат відрізку і, виразяться наступним чином:

За допомогою залежностей (13) можна легко визначити місце розташування нульової лінії в перерізі (рис. 3), після чого визначаються найбільш віддалені від цієї лінії точки, які є небезпечними, оскільки в них виникають максимальні напруги.

Напружений стан в точках перетину - одноосьовий, тому умова міцності бруса аналогічно раніше розглянутого випадку косого згину бруса - формули (5), (6).

При відцентровому стисканні брусів, матеріал яких слабо пручається розтягування, бажано не допустити появи в перерізі напруг, що розтягують. У перетині виникнуть напруги одного знака, якщо нульова лінія буде проходити поза перетину або в крайньому випадку стосуватися його.

Ця умова виконується тоді, коли стискаюча сила прикладена всередині області, званої ядром перетину. Ядро перетину - це область, що охоплює центр ваги перерізу і характерна тим, що будь-яка поздовжня сила, прикладена всередині цієї зони, викликає у всіх точках бруса напруги одного знака.

Для побудови ядра перетину необхідно задавати положення нульової лінії так, щоб вона стосувалася перетину, ніде не перетинаючи його, і знаходити відповідну точку прикладання сили Р. Провівши сімейство дотичних до перетину, отримаємо безліч відповідних їм полюсів, геометричне місце яких дасть обрис (контур) ядра перетину.

Нехай, наприклад, дано перетин, показане на рис. 4, з головними центральними осями х і у.

Для побудови ядра перетину наведемо п'ять дотичних, чотири з яких збігається зі сторонами АВ, ДЕ, EF і FA, а п'ята з'єднує точки В і Д. Вимірявши або обчисливши від різання, що відсікаються зазначеними дотичними I-I,. . . ., 5-5 на осях х, у і підставляючи ці значення в залежності (13), визначаємо координати х р, у р для п'яти полюсів 1, 2 .... 5, відповідних п'яти положень нульової лінії. Дотичну II можна перевести в положення 2-2 обертанням навколо точки А, при цьому полюс I повинен переміщатися по прямій і в результаті повороту дотичній перейти в точку 2. Отже, все полюси, відповідні проміжним положенням дотичне між II і 2-2, розташуються на прямий 1-2. Аналогічно можна довести, що інші сторони ядра перетину також будуть прямокутними, тобто ядро перетину - багатокутник, для побудови якого досить з'єднати полюси 1, 2, ... 5 прямими.

Вигин з крученням круглого бруса.

При вигині з крутінням в поперечному перерізі бруса в загальному випадку не дорівнюють нулю п'ять внутрішніх силових факторів: М х, М у, М до, Q x і Q у. Однак в більшості випадків впливом перерізують сил Q x і Q y можна знехтувати, якщо розтин не є тонкостінних.

Нормальні напруги в поперечному перерізі можна визначати за величиною результуючого згинального моменту

тому нейтральна вісь перпендикулярна до порожнини дії моменту М u.

На рис. 5 зображені згинальні моменти М х і М y у вигляді векторів (напрямки М х і М y обрані позитивними, тобто такими, щоб в точках першого квадранта перетину напруги були розтягують).

Напрямок векторів М х і М y вибрано таким чином, щоб спостерігач, дивлячись з кінця вектора, бачив їх спрямованими проти руху годинникової стрілки. В цьому випадку нейтральна лінія збігається з напрямком вектора результуючого моменту М u, а найбільш навантажені точки перетину А і В лежать в площині дії цього моменту.

Поєднання вигину і крутіння брусів круглого поперечного перерізу найбільш часто розглядається при розрахунку валів. Значно рідше зустрічаються випадки вигину кручення брусів некруглого перетину.

У § 1.9 встановлено, що в разі, коли моменти інерції перетину щодо головних осей рівні між собою, косою вигин бруса неможливий. У зв'язку з цим неможливий косою вигин брусів круглого перетину. Тому в загальному випадку дії зовнішніх сил брус круглого перетину відчуває поєднання наступних видів деформації: прямого поперечного вигину, крутіння і центрального розтягування (або стискування).

Розглянемо такий окремий випадок розрахунку бруса круглого перетину, коли в його поперечних перетинах поздовжня сила дорівнює нулю. В цьому випадку брус працює на спільну дію згину і крутіння. Для відшукання небезпечної точки бруса необхідно встановити, як змінюються по довжині бруса величини згинальних і крутних моментів, т. Е. Побудувати епюри повних згинальних моментів М і крутять моментів Побудова цих епюр розглянемо на конкретному прикладі вала, зображеного на рис. 22.9, а. Вал спирається на підшипники А і В і приводиться в обертання двигуном С.

На вал насаджені шківи Е і F, через які перекинуті приводні ремені, що мають натягу. Припустимо, що вал обертається в підшипниках без тертя; власною вагою вала і шківів нехтуємо (в разі, коли їх власну вагу значний, його слід врахувати). Направимо вісь у поперечного перерізу вала вертикально, а вісь - горизонтально.

Величини сил можна визначити за допомогою формул (1.6) і (2.6), якщо, наприклад, відомі потужність, що передається кожним шківом, кутова швидкість вала і співвідношення Після визначення величин сил ці сили переносять паралельно самим собі до поздовжньої осі вала. При цьому до валу в перетинах, в яких розташовані шківи Е і F, прикладаються скручують, і рівні відповідно Ці моменти врівноважуються моментом переданим від двигуна (рис. 22.9, б). Потім сили розкладають на вертикальні і горизонтальні складові. Вертикальні сили викличуть в підшипниках вертикальні реакції а горизонтальні сили - горизонтальні реакції Величини цих реакцій визначаються, як для балки, що лежить на двох опорах.

Епюра згинальних моментів діючих у вертикальній площині, будується від вертикальних сил (рис. 22.9, в). Вона показана на рис. 22.9, м Аналогічно від горизонтальних сил (рис. 22.9, д) будується епюра згинальних моментів діючих в горизонтальній площині (рис. 22.9, е).

За епюрах можна визначити (в будь-якому поперечному перерізі) повний згинальний момент М за формулою

За значеннями М, отриманим за допомогою цієї формули, будується епюра повних згинальних моментів (рис. 22.9, ж). На тих ділянках вала, на яких прямі, що обмежують епюри перетинають осі епюр в точках, розташованих на одній вертикалі, епюра М обмежена прямими, а на інших ділянках вона обмежена кривими.

(Див. Скан)

Наприклад, на ділянці розглянутого валу довжиною епюра М обмежена прямий (рис. 22.9, ж), так як епюри на цій ділянці обмежені прямими і, що перетинають осі епюр в точках розташованих на одній вертикалі.

На тій же вертикалі розташована і точка О перетину прямої з віссю епюри. Аналогічне становище характерно і для ділянки вала довжиною

Епюра повних (сумарних) згинальних моментів М характеризує величину цих моментів в кожному перерізі вала. Площині дії цих моментів в різних перетинах вала різні, але ординати епюри умовно для всіх перетинів суміщені з площиною креслення.

Епюра крутних моментів будується так само, як і при чистому крученні (див. § 1.6). Для розглянутого валу вона показана на рис. 22.9, з.

Небезпечне перетин валу встановлюється за допомогою епюр повних згинальних моментів М і крутять моментів Якщо в перерізі бруса постійного діаметра з найбільшим изгибающим моментом М діє і найбільший обертовий момент то це перетин є небезпечним. Зокрема, у розглянутого валу таким є перетин, розташоване правіше шківа F на нескінченно малій відстані від нього.

Якщо ж найбільший згинальний момент М і найбільший обертовий момент діють в різних поперечних перетинах, то небезпечним може виявитися перетин, в якому ні величина ні не є найбільшою. При брусах змінного діаметру найбільш небезпечним може виявитися перетин, в якому діють значно менші изгибающие і крутний момент, ніж в інших перетинах.

У випадках, коли небезпечне перетин можна встановити безпосередньо по епюрах М і доводиться перевіряти міцність бруса в декількох його перетинах і таким шляхом встановлювати небезпечні напруги.

Після того як встановлено небезпечне перетин бруса (або намічено кілька перетинів, одне з яких може виявитися небезпечним), необхідно знайти в ньому небезпечні точки. Для цього розглянемо напруги, що виникають в поперечному перерізі бруса, коли в ньому одночасно діють згинальний момент М і крутний момент

У брусах круглого перетину, довжина яких у багато разів більше діаметру, величини найбільших дотичних напружень від поперечної сили невеликі і при розрахунку міцності брусів на спільну дію згину і крутіння не враховуються.

На рис. 23.9 показано поперечний переріз круглого бруса. У цьому перетині діють згинальний момент М і крутний момент За вісь у прийнята вісь, перпендикулярна площині дії згинального моменту вісь у є, таким чином, нейтральної віссю перерізу.

У поперечному перерізі бруса виникають нормальні напруження про від вигину і дотичні напруження від крутіння.

Нормальні напруги а визначаються за формулою Епюра цих напруг показана на рис. 23.9. Найбільші за абсолютною величиною нормальні напруги виникають в точках А і В. Ці напруги рівні

де - осьовий момент опору поперечного перерізу бруса.

Дотичні напруження визначаються за формулою Епюра цих напруг показана на рис. 23.9.

У кожній точці перетину вони спрямовані по нормалі до радіусу, що з'єднує цю точку з центром перетину. Найбільші дотичні напруження виникають в точках, розташованих по периметру перетину; вони рівні

де полярний момент опору поперечного перерізу бруса.

При пластичному матеріалі точки А і В поперечного перерізу, в яких одночасно і нормальні і дотичні напруження досягають найбільшого значення, є небезпечними. При крихкому матеріалі небезпечною є та з цих точок, в якій від згинального моменту М виникають напруження розтягу.

Напружений стан елементарного паралелепіпеда, виділеного в околиці точки А, зображено на рис. 24.9, а. По гранях паралелепіпеда, що збігається з поперечними перетинами бруса, діють нормальні напруження і дотичні. На підставі закону парності дотичних напружень напруги виникають також на верхній і нижній гранях паралелепіпеда. Інші дві грані його вільні від напружень. Таким чином, в даному випадку мається приватний вид плоского напруженого стану, детально розглянутого в гл. 3. Головні напруги Атаху і визначаються за формулами (12.3).

Після підстановки в них значення отримуємо

Напруги мають різні знаки і, отже,

Елементарний паралелепіпед, виділений в околиці точки А головними майданчиками, показаний на рис. 24.9, б.

Розрахунок брусів на міцність при згині з крученням, як уже зазначалося (див. Початок § 1.9), проводиться із застосуванням теорій міцності. При цьому розрахунок брусів з пластичних матеріалів виконується зазвичай на основі третьої або четвертої теорії міцності, а з тендітних - по теорії Мора.

За третьою теорії міцності [см. формулу (6.8)], підставивши в цю нерівність виразу [см. формули (23.9)], отримаємо

У разі розрахунку круглого бруса при дії вигину і крутіння (рис. 34.3) необхідно враховувати нормальні і дотичні напруження, т. К. Максимальні значення напружень в обох випадках виникають на поверхні. Розрахунок слід вести по теорії міцності, замінюючи складний напружений стан равноопасним простим.

Максимальна напруга кручення в перерізі

Максимальна напруга вигину в перетині

За однією з теорій міцності в залежності від матеріалу бруса розраховують еквівалентне напруження для небезпечногоперетину і перевіряють брус на міцність, використовуючи допустиме напруження згину для матеріалу бруса.

Для круглого бруса моменти опору перерізу наступні:

При розрахунку по третій теорії міцності, теорії максимальних дотичних напружень, еквівалентне напруження розраховується за формулою

Теорія може бути застосована для пластичних матеріалів.

При розрахунку по теорії енергії формозміни еквівалентне напруження розраховується за формулою

Теорія може бути застосована для пластичних і крихких матеріалів.

теорії максимальних дотичних напружень:

Еквівалентне напруження при розрахунку по теорії енергії формозміни:

де - еквівалентний момент.

Умова міцності

Приклади розв'язання задач

Приклад 1. Для заданого напруженого стану (рис. 34.4), користуючись гіпотезою максимальних дотичних напружень, обчислити коефіцієнт запасу міцності, якщо σ Т \u003d 360 Н / мм 2.

1. Чим характеризується і як зображується напружений стан в точці?

2. Які майданчики і які напруги називають головними?

3. Перелічіть види напружених станів.

4. Чим характеризується деформований стан в точці?

5. В яких випадках виникають граничні напружені стану у пластичних і крихких матеріалів?

6. Що таке еквівалентне напруження?

7. Поясніть призначення теорій міцності.

8. Напишіть формули для розрахунку еквівалентних напружень при розрахунках з теорії максимальних дотичних напружень і теорії енергії формозміни. Поясніть, як ними користуватися.

Лекція 35

Тема 2.7. Розрахунок бруса круглого поперечного перерізу при поєднанні основних деформацій

Знати формули для еквівалентних напружень по гіпотезам найбільших дотичних напружень і енергії формозміни.

Вміти розраховувати брус круглого поперечного перерізу на міцність при поєднанні основних деформацій.

Формули для розрахунку еквівалентних напружень

Еквівалентне напруження за гіпотезою максимальних дотичних напружень

Еквівалентне напруження за гіпотезою енергії формозміни

Умова міцності при спільній дії згинатися крутіння

де М ЕКВ - еквівалентний момент.

Еквівалентний момент за гіпотезою максимальних дотичних напружень

Еквівалентний момент за гіпотезою енергії формозміни

Особливість розрахунку валів

Більшість валів відчувають поєднання деформацій вигину і крутіння. Зазвичай вали - прямі бруси з круглим або кільцевих перетином. При розрахунку валів дотичні напруження від дії поперечних сил не враховують через їх меншовартості.

Розрахунки проводять по небезпечних поперечним перетинах. При просторовому навантаженні вала користуються гіпотезою незалежності дії сил і згинальних моментів розглядають в двох взаємно перпендикулярних площинах, а сумарний згинальний момент визначають геометричним підсумовуванням.

Приклади розв'язання задач

Приклад 1. У небезпечному поперечному перерізі круглого бруса виникають внутрішні силові фактори (рис. 35.1) М х; М у; M z.

М х і М у - згинальні моменти в площинах УОХ і zOx відповідно; M z - обертаючий момент. Перевірити міцність за гіпотезою найбільших дотичних напружень, якщо [ σ ] \u003d 120 МПа. Початкові дані: М х \u003d 0,9 кН м; М у \u003d 0,8 кН м; M z \u003d 2,2 кН \u200b\u200b* м; d \u003d 60 мм.

Рішення

Будуємо епюри нормальних напружень від дії згинальних моментів відносно осей Ох і Оу і епюру дотичних напружень від кручення (рис. 35.2).

Максимальна дотичне напруження виникає на поверхні. Максимальні нормальні напруження від моменту М х виникають в точці А, максимальні нормальні напруження від моменту М у в точці В. Нормальні напруги складаються, тому що згинальні моменти у взаємно перпендикулярних площинах геометрично підсумовуються.

Сумарний вигинає момент:

Розраховуємо еквівалентний момент з теорії максимальних дотичних напружень:

Умова міцності:

Момент опору перетину: W oce в oe \u003d 0,1 60 3 \u003d 21600мм 3.

Перевіряємо міцність:

Міцність забезпечена.

Приклад 2. З умови міцності розрахувати необхідний діаметр валу. На валу встановлено два колеса. На колеса діють дві окружні сили F t 1 \u003d 1,2кН; F t 2 \u003d 2кн і дві радіальні сили у вертикальній площині F r 1 \u003d 0,43кН; F r 2 \u003d 0,72кН (рис. 35.3). Діаметри коліс відповідно рівні d 1 \u003d 0,1 м; d 2 \u003d 0,06 м.

Прийняти для матеріалу вала [ σ ] \u003d 50Мпа.

Розрахунок провести за гіпотезою максимальних дотичних напружень. Вагою вала і коліс знехтувати.

Рішення

Вказівка. Використовуємо принцип незалежності дії сил, складаємо розрахункові схеми вала у вертикальній і горизонтальній площинах. Визначаємо реакції в опорах у горизонтальній і вертикальній площинах окремо. Будуємо епюри згинальних моментів (рис. 35.4). Під дією окружних сил вал скручується. Визначаємо діючий на валу крутний момент.

Складемо розрахункову схему вала (рис. 35.4).

1. Момент, що крутить на валу:

2. Вигин розглядаємо в двох площинах: горизонтальній (пл. Н) і вертикальної (пл. V).

У горизонтальній площині визначаємо реакції в опорі:

З і В:

У вертикальній площині визначаємо реакції в опорі:

Визначаємо згинальні моменти в точках З і В:

Сумарні згинальні моменти в точках З і В:

У точці В максимальний згинальний момент, тут же діє і крутний момент.

Розрахунок діаметра вала ведемо по найбільш навантаженому перерізі.

3. Еквівалентний момент в точці В по третій теорії міцності

4. Визначаємо діаметр вала круглого поперечного перерізу з умови міцності

Округляем отриману величину: d \u003d 36 мм.

Примітка. При виборі діаметрів вала користуватися стандартним поруч діаметрів (Додаток 2).

5. Визначаємо необхідні розміри вала кільцевого перерізу при с \u003d 0,8, де d - зовнішній діаметр вала.

Діаметр вала кільцевого перерізу можна визначити за формулою

приймемо d \u003d 42 мм.

Перевантаження незначна. d BH \u003d 0,8d \u003d 0,8 42 \u003d 33,6мм.

Округляем до значення d BH\u003d 33 мм.

6. Порівняємо витрати металу за площами перерізу вала в обох випадках.

Площа поперечного перерізу суцільного вала

Площа поперечного перерізу порожнього вала

Площа поперечного перерізу суцільного вала майже в два рази більше вала кільцевого перерізу:

приклад 3. Визначити розміри поперечного перерізу вала (рис. 2.70, а) приводу управління. Зусилля від тяги педалі P 3, Зусилля, що передаються механізмом P 1, Р 2, Р 4. Матеріал валу - сталь СтЗ з межею плинності σ т \u003d 240 Н / мм 2, необхідний коефіцієнт запасу [ n] \u003d 2,5. Розрахунок виконати за гіпотезою енергії формозміни.

Рішення

Розглянемо рівновагу вала, попередньо привівши сили Р 1, Р 2, Р 3, Р 4 до точок, які лежать на його осі.

переносячи сили Р 1 паралельно самим собі в точки До і E, Треба додати пари сил з моментами, рівними моментів сил Р 1 щодо точок До і Е, т. е.

Ці пари сил (моменти) умовно показані на рис. 2.70 , б у вигляді дугоподібних ліній зі стрілками. Аналогічно при перенесенні сил Р 2, Р 3, Р 4 в точки K, E, L, Н треба додати пари сил з моментами

Опори вала, зображеного на рис. 2.70, а, треба розглядати як просторові шарнірні опори, що перешкоджають переміщенням в напрямку осей х і у (Обрана система координат показана на рис. 2.70, б).

Користуючись розрахунковою схемою, зображеної на рис. 2.70, в, Складемо рівняння рівноваги:

отже, опорні реакції Н А і Н В визначені вірно.

Епюри моментів, що крутять М z і згинальних моментів М у представлені на рис. 2.70, г. Небезпечним є перетин зліва від точки L.

Умова міцності має вигляд:

де еквівалентний момент за гіпотезою енергії формозміни

Необхідний зовнішній діаметр вала

Приймаємо d \u003d 45 мм, тоді d 0 \u003d 0,8 * 45 \u003d 36 мм.

Приклад 4. Перевірити міцність проміжного вала (рис. 2.71) циліндричного прямозубого редуктора, якщо вал передає потужність N \u003d 12,2 кВт при частоті обертання п \u003d 355 об / хв. Вал виготовлений зі сталі Ст5 з межею плинності σ т \u003d 280 Н / мм 2. Необхідний коефіцієнт запасу [ n] \u003d 4. При розрахунку застосувати гіпотезу найбільших дотичних напружень.

Вказівка. окружні зусилля Р 1 і Р 2лежать в горизонтальній площині і направлені по дотичним до кіл зубчастих коліс. радіальні зусилля T 1 і Т 2лежать у вертикальній площині і виражаються через відповідне окружне зусилля в такий спосіб: T = 0,364Р.

Рішення

На рис. 2.71, а представлений схематичний креслення вала; на рис. 2.71, б показана схема вала і зусилля, що виникають в зубчастому зачепленні.

Визначимо момент, який передається валом:

очевидно, m \u003d m 1 \u003d m 2 (Скручують,, прикладені до вала, при рівномірному обертанні рівні за величиною і протилежні за напрямком).

Визначимо зусилля, діючі на зубчасті колеса.

Окружні зусилля:

Радіальні зусилля:

Розглянемо рівновагу вала АВ, Попередньо привівши сили Р 1 і Р 2 до точок, які лежать на осі вала.

переносячи силу Р 1 паралельно самій собі в точку L, Треба додати пару сил з моментом, рівним моменту сили Р 1 щодо точки L, Т. Е.

Ця пара сил (момент) умовно показана на рис. 2.71, ву вигляді дугоподібної лінії зі стрілкою. Аналогічно при перенесенні сили Р 2 в ціль До треба приєднати (додати) пару сил з моментом

Опори вала, зображеного на рис. 2.71, а, Треба розглядати як просторові шарнірні опори, що перешкоджають лінійним переміщенням в напрямках осей х і у (Обрана система координат показана на рис, 2.71, б).

Користуючись розрахунковою схемою, зображеної на рис. 2.71, г, Складемо рівняння рівноваги вала у вертикальній площині:

Складемо перевірочне рівняння:

отже, опорні реакції у вертикальній площині визначені вірно.

Розглянемо рівновагу вала в горизонтальній площині:

Складемо перевірочне рівняння:

отже, опорні реакції в горизонтальній площині визначені вірно.

Епюри моментів, що крутять М z і згинальних моментів М х і М у представлені на рис. 2.71, д.

Небезпечним є перетин До (Див. Рис. 2.71, г, д). Еквівалентний момент за гіпотезою найбільших дотичних напружень

Еквівалентне напруження за гіпотезою найбільших дотичних напружень для небезпечної точки вала

коефіцієнт запасу

що значно більше [ n] \u003d 4, отже, міцність вала забезпечена.

При розрахунку вала на міцність не врахована зміна напружень в часі, тому і вийшов такий значний коефіцієнт запасу.

Приклад 5. Визначити розміри поперечного перерізу бруса (рис. 2.72, а). Матеріал бруса - сталь 30XГС з умовними межами текучості при розтягуванні і стисненні σ о, 2р \u003d σ тр \u003d 850 Н / мм 2, σ 0,2 c \u003d σ Tc \u003d 965 Н / мм 2. Коефіцієнт запасу [ n] = 1,6.

Рішення

Брус працює на спільну дію розтягування (стиснення) і крутіння. При такому навантаженні в поперечних перетинах виникають два внутрішніх силових фактори: поздовжня сила і крутний момент.

Епюри поздовжніх сил N і крутять моментів M zпоказані на рис. 2.72, б, в. В даному випадку визначити положення небезпечногоперетину по епюрах N і M z неможливо, так як розміри поперечних перерізів ділянок бруса різні. Для з'ясування стану небезпечногоперетину слід побудувати епюри нормальних і максимальних дотичних напружень по довжині бруса.

За формулою

обчислюємо нормальні напруги в поперечних перетинах бруса і будуємо епюру про (рис. 2.72, г).

За формулою

обчислюємо максимальні дотичні напруження в поперечних перетинах бруса і будуємо епюру т тах (Рис * 2.72, д).

Ймовірно, небезпечними є точки контуру поперечних перерізів ділянок АВ і CD (Див. Рис. 2.72, а).

На рис. 2.72, e показані епюри σ і τ для поперечних перерізів ділянки АВ.

Нагадаємо, в даному випадку (брус круглого поперечного перерізу працює на спільну дію розтягування - стиснення і крутіння) равноопаснимі є всі крапки контуру поперечного перерізу.

На рис. 2.72, ж

На рис. 2.72, з показані епюри а й т для поперечних перерізів ділянки CD.

На рис. 2.72, і показані напруги на вихідних майданчиках в небезпечній точці.

Головні напруги в небезпечній точці ділянки CD:

За гіпотезою міцності Мора еквівалентне напруження для небезпечної точки розглянутого ділянки

Небезпечними виявилися точки контуру поперечних перерізів ділянки АВ.

Умова міцності має вигляд:

Приклад 2.76. Визначити допустиме значення сили Р з умови міцності стрижня ВС (Ріс.2.73) .Матеріал стрижня - чавун з межею міцності при розтягуванні σ вр \u003d 150 Н / мм 2 і межею міцності при стисненні σ НД \u003d 450 Н / мм 2. Необхідний коефіцієнт запасу [ n] = 5.

Вказівка. ламаний брус аbс розташований в горизонтальній площині, причому стрижень АВ перпендикулярний до ВС. сили Р, 2Р, 8Р лежать у вертикальній площині; сили 0,5 Р, 1,6 Р - в горизонтальній і перпендикулярні стрижня ВС; сили 10Р, 16Р збігаючись ють з віссю стержня ВС; пара сил з моментом m \u003d 25Pd розташована у вертикальній площині, перпендикулярній осі стрижня ВС.

Рішення

Наведемо сили Р і 0,5Р до центру ваги поперечного перерізу В.

Переносячи силу Р паралельно самій собі в точку В, треба додати пару сил з моментом, рівним моменту сили Р щодо точки В, Т. Е. Пару з моментом m 1 \u003d 10 Pd.

силу 0,5Р переносимо уздовж її лінії дії в точку В.

Навантаження, які діють на стержень ВС, показані на рис. 2.74, а.

Будуємо епюри внутрішніх силових факторів для стержня ВС. При зазначеному навантаженні стрижня в його поперечних перетинах їх виникає шість: поздовжня сила N, Поперечні сили Qxі Qy, обертаючий момент Mzзгинальні моменти Мх і му.

епюри N, Мz, МХ, Му представлені на рис. 2.74, б (Ординати епюр виражені через Р і d).

епюри Qy і Qx НЕ будуємо, так як дотичні напруження, відповідні поперечним силам, Мають малу величину.

У розглянутому прикладі положення небезпечногоперетину не очевидно, Імовірно, небезпечні перетину К (кінець ділянки I) І С.

Головні напруги в точці L:

За гіпотезою міцності Мора еквівалентне напруження для точки L

Визначимо величину і площину дії згинального моменту Мі в перерізі С, зображеному окремо на рис. 2.74, д. На цьому ж малюнку показані епюри σ І, σ N, τ для перетину С.

Напруги на вихідних майданчиках в точці Н (Рис. 2.74, е)

Головні напруги в точці Н:

За гіпотезою міцності Мора еквівалентне напруження для точки Н

Напруги на вихідних майданчиках в точці Е (рис. 2.74, ж):

Головні напруги в точці Е:

За гіпотезою міцності Мора еквівалентне напруження для точки Е

Небезпечною виявилася точка L, для якої

Умова міцності має вигляд:

Контрольні питання і завдання

1. Яке напружений стан виникає в поперечному перерізі вала при спільній дії вигину і крутіння?

2. Напишіть умова міцності для розрахунку вала.

3. Напишіть формули для розрахунку еквівалентного моменту при розрахунку по гіпотезі максимальних дотичних напружень і гіпотезі енергії формозміни.

4. Як вибирається небезпечне перетин при розрахунку вала?

Просторовий (складний) вигин

Просторовим вигином називається такий вид складного опору, при якому в поперечному перерізі бруса діють тільки згинальні моменти і. Повний вигинає момент при цьому діє ні в одній з головних площин інерції. Поздовжня сила відсутня. Просторовий або складний вигин часто називають неплоским вигином, так як вигнута вісь стрижня не є плоскою кривою. Такий вигин викликається силами, що діють в різних площинах перпендикулярно осі балки (Рис. 1.2.1).

рис.1.2.1

Дотримуючись порядку вирішення завдань при складному опорі, викладеному вище, розкладаємо просторову систему сил, представлену на рис. 1.2.1, на дві такі, щоб кожна з них діяла в одній з головних площин. В результаті отримуємо два плоских поперечних вигину - у вертикальній і горизонтальній площині. З чотирьох внутрішніх силових факторів, які при цьому виникають в поперечному перерізі балки, будемо враховувати вплив тільки згинальних моментів. Будуємо епюри, викликаних відповідно силами (Рис. 1.2.1).

Аналізуючи епюри згинальних моментів, приходимо до висновку, що небезпечним є перетин А, так як саме в цьому перерізі виникають найбільші за величиною згинальні моменти і. Тепер необхідно встановити небезпечні точки перетину А. Для цього побудуємо нульову лінію. Рівняння нульової лінії з урахуванням правила знаків для членів, що входять в це рівняння, має вигляд:

Тут прийнято знак "" біля другого члена рівняння, так як напруги в першій чверті, викликані моментом, будуть негативними.

Визначимо кут нахилу нульової лінії з позитивним напрямком осі (Ріс.12.6):

Мал. 1.2.2

З рівняння (8) випливає, що нульова лінія при просторовому вигині є прямою лінією і проходить через центр ваги перерізу.

З рис. 1.2.2 видно, що найбільші напруги виникнуть в найбільш віддалених від нульової лінії точках перетину №2 і №4. За величиною нормальні напруги в цих точках будуть однаковими, але по знаку відрізняються: в точці №4 напруги будуть позитивними, тобто розтягують, в точці №2 - негативними, тобто стискають. Знаки цих напруг були встановлені з фізичних міркувань.

Тепер, коли небезпечні точки встановлені, обчислимо максимальні напруги в перетині А і перевіримо міцність балки за допомогою формули:

Умова міцності (10) дозволяє не тільки виконати перевірку міцності балки, але і підібрати розміри її поперечного перерізу, якщо задано співвідношення сторін поперечного перерізу.