Прямий вигин плоский поперечний вигин. Рішення типових задач з опору матеріалів Вигин осі

Прямий вигин. Плоский поперечний вигин Побудова епюр внутрішніх силових факторів для балок Побудова епюр Q і М по рівняннях Побудова епюр Q і М за характерними перетинах (точках) Розрахунки на міцність при прямому згині балок Головні напруження при згині. Повна перевірка міцності балок Поняття про центр вигину Визначення переміщень в балках при згині. Поняття деформації балок і умови їх жорсткості Диференціальне рівняння вигнутої осі балки Метод безпосереднього інтегрування Приклади визначення переміщень в балках методом безпосереднього інтегрування Фізичний сенс постійних інтегрування Метод початкових параметрів (універсальне рівняння вигнутої осі балки). Приклади визначення переміщень в балці за методом початкових параметрів Визначення переміщень за методом Мора. Правило А.К. Верещагіна. Обчислення інтеграла Мора по правилу А.К. Верещагіна Приклади визначення переміщень за допомогою інтеграла Мора Бібліографічний список Прямий вигин. Плоский поперечний вигин. 1.1. Побудова епюр внутрішніх силових факторів для балок Прямим вигином називається такий вид деформації, при якому в поперечних перетинах стрижня виникають два внутрішніх силових фактори: вигинає момент і поперечна сила. В окремому випадку, поперечна сила може бути дорівнює нулю, тоді вигин називається чистим. При плоскому поперечному вигині всі сили розташовані в одній з головних площин інерції стержня і перпендикулярні його поздовжньої осі, в тій же площині розташовані моменти (рис. 1.1, а, б). Мал. 1.1 Поперечна сила в довільному поперечному перерізі балки чисельно дорівнює алгебраїчній сумі проекцій на нормаль до осі балки всіх зовнішніх сил, що діють за одну сторону від розглянутого перерізу. Поперечна сила в перетині m-n балки (рис. 1.2, а) вважається позитивною, якщо рівнодіюча зовнішніх сил зліва від перетину спрямована вгору, а справа - вниз, і негативною - в протилежному випадку (рис. 1.2, б). Мал. 1.2 Обчислюючи поперечну силу в даному перетині, зовнішні сили, що лежать зліва від перетину, беруть зі знаком плюс, якщо вони спрямовані вгору, і зі знаком мінус, якщо вниз. Для правої частини балки - навпаки. 5 Згинальний момент в довільному поперечному перерізі балки чисельно дорівнює алгебраїчній сумі моментів щодо центральної осі z перетину всіх зовнішніх сил, що діють за одну сторону від розглянутого перерізу. Згинальний момент у перетині m-n балки (рис. 1.3, а) вважається позитивним, якщо рівнодіюча момент зовнішніх сил зліва від перетину спрямований по стрілці годинника, а праворуч - проти годинникової стрілки, і негативним - у протилежному випадку (рис. 1.3, б). Мал. 1.3 При обчисленні згинального моменту в даному перетині моменти зовнішніх сил, що лежать зліва від перетину, вважаються позитивними, якщо вони спрямовані по ходу годинникової стрілки. Для правої частини балки - навпаки. Зручно визначати знак згинального моменту за характером деформації балки. Згинальний момент вважається позитивним, якщо в перерізі відсічені частина балки згинається опуклістю вниз, т. Е. Розтягуються нижні волокна. В протилежному випадку вигинає момент в перерізі негативний. Між изгибающим моментом М, поперечною силою Q і інтенсивністю навантаження q існують диференціальні залежності. 1. Перша похідна від поперечної сили по абсциссе перерізу дорівнює інтенсивності розподіленого навантаження, тобто . (1.1) 2. Перша похідна від згинального моменту по абсциссе перерізу дорівнює поперечній силі, т. Е.. (1.2) 3. Друга похідна по абсциссе перерізу дорівнює інтенсивності розподіленого навантаження, т. Е.. (1.3) розподілу навантаження, спрямовану вгору, вважаємо позитивною. З диференціальних залежностей між М, Q, q випливає ряд важливих висновків: 1. Якщо на ділянці балки: а) поперечна сила позитивна, то вигинає момент зростає; б) поперечна сила негативна, то вигинає момент убуває; в) поперечна сила дорівнює нулю, то вигинає момент має постійне значення (чистий вигин); 6 г) поперечна сила проходить через нуль, змінюючи знак з плюса на мінус, max M M, в протилежному випадку M Mmin. 2. Якщо на ділянці балки розподілене навантаження відсутня, то поперечна сила постійна, а згинальний момент змінюється за лінійним законом. 3. Якщо на ділянці балки є рівномірно розподілене навантаження, то поперечна сила змінюється за лінійним законом, а згинальний момент - згідно із законом квадратної параболи, зверненої опуклістю в сторону дії навантаження (в разі побудови епюри М з боку розтягнутих волокон). 4. У перетині під зосередженою силою епюра Q має стрибок (на величину сили), епюра М - злам в сторону дії сили. 5. У перетині, де прикладений зосереджений момент, епюра М має стрибок, що дорівнює значенню цього моменту. На епюрі Q це не відбивається. При складному навантаженні балки будують епюри поперечних сил Q і згинальних моментів М. епюри Q (M) називається графік, що показує закон зміни поперечної сили (згинального моменту) по довжині балки. На основі аналізу епюр М і Q встановлюють небезпечні перетину балки. Позитивні ординати епюри Q відкладаються вгору, а негативні - вниз від базисної лінії, проведеної паралельно поздовжньої осі балки. Позитивні ординати епюри М відкладаються вниз, а негативні - вгору, т. Е. Епюра М будується з боку розтягнутих волокон. Побудова епюр Q і М для балок слід починати з визначення опорних реакцій. Для балки з одним затисненим і іншим вільним кінцями побудова епюр Q і М можна починати від вільного кінця, не визначаючи реакцій в закладенні. 1.2. Побудова епюр Q і М по рівняннях Балка розбивається на ділянки, в межах яких функції для згинального моменту і поперечної сили залишаються постійними (не мають розривів). Межами ділянок служать точки прикладання зосереджених сил, пар сил і місця зміни інтенсивності розподіленого навантаження. На кожній дільниці береться довільне перетин на відстані х від початку координат, і для цього перерізу складаються рівняння для Q і М. З цих рівнянь будуються епюри Q і M. Приклад 1.1 Побудувати епюри поперечних сил Q і згинальних моментів М для заданої балки (рис. 1.4, а). Рішення: 1. Визначення реакцій опор. Складаємо рівняння рівноваги: \u200b\u200bз яких отримуємо Реакції опор визначені правильно. Балка має чотири ділянки Рис. 1.4 навантаження: СА, AD, DB, BE. 2. Побудова епюри Q. Участок СА. На ділянці СА 1проводім довільне перетин 1-1 на відстані x1 від лівого кінця балки. Визначаємо Q як алгебраїчну суму всіх зовнішніх сил, що діють зліва від перетину 1-1: Знак мінус взятий тому, що сила, яка діє зліва від перетину, спрямована вниз. Вираз для Q не залежить від змінної x1. Епюра Q на цій ділянці відіб'ється прямий, паралельної осі абсцис. Ділянка AD. На ділянці проводимо довільне перетин 2-2 на відстані x2 від лівого кінця балки. Визначаємо Q2 як алгебраїчну суму всіх зовнішніх сил, що діють зліва від перетину 2-2: 8 Величина Q постійна на ділянці (не залежить від змінної x2). Епюра Q на ділянці є пряму, паралельну осі абсцис. Ділянка DB. На ділянці проводимо довільне перетин 3-3 на відстані x3 від правого кінця балки. Визначаємо Q3 як алгебраїчну суму всіх зовнішніх сил, що діють праворуч від перетину 3-3: Одержаний вираз є рівняння похилій прямій лінії. Ділянка BE. На ділянці проводимо переріз 4-4 на відстані x4 від правого кінця балки. Визначаємо Q як алгебраїчну суму всіх зовнішніх сил, що діють праворуч від перетину 4-4: 4 Тут знак плюс узятий тому, що рівнодіюча навантаження праворуч від перетину 4-4 спрямована вниз. За отриманими значеннями будуємо епюри Q (рис. 1.4, б). 3. Побудова епюри М. Участок м1. Визначаємо згинальний момент в перерізі 1-1 як алгебраїчну суму моментів сил, що діють зліва від перетину 1-1. - рівняння прямої. Ділянка A 3Определяем вигинає момент в перерізі 2-2 як алгебраїчну суму моментів сил, що діють зліва від перетину 2-2. - рівняння прямої. Ділянка DB 4Определяем вигинає момент в перерізі 3-3 як алгебраїчну суму моментів сил, що діють праворуч від перетину 3-3. - рівняння квадратної параболи. 9 Знаходимо три значення на кінцях ділянки і в точці з координатою xk, де Ділянка BE 1Определяем вигинає момент в перерізі 4-4 як алгебраїчну суму моментів сил, що діють праворуч від перетину 4-4. - рівняння квадратної параболи знаходимо три значення M4: За отриманими значеннями будуємо епюру М (рис. 1.4, в). На ділянках CA і AD епюра Q обмежена прямими, паралельними осі абсцис, а на ділянках DB і BE - похилими прямими. У перетинах C, A і B на епюрі Q мають місце скачки на величину відповідних сил, що служить перевіркою правильності побудови епюри Q. На ділянках, де Q  0, моменти зростають зліва направо. На ділянках, Де q  0, моменти зменшуються. Під зосередженими силами є злами в сторону дії сил. Під зосередженим моментом має місце стрибок на величину моменту. Це вказує на правильність побудови епюри М. Приклад 1.2 Побудувати епюри Q і М для балки на двох опорах, навантаженої розподіленим навантаженням, інтенсивність якої змінюється за лінійним законом (рис. 1.5, а). Рішення Визначення реакцій опор. Рівнодіюча розподіленого навантаження дорівнює площі трикутника, що представляє собою епюру навантаження і прикладена в центрі ваги цього трикутника. Складаємо суми моментів всіх сил щодо точок А і В: Побудова епюри Q. Проведемо довільне перетин на відстані x від лівої опори. Ордината епюри навантаження, відповідна перетину, визначається з подібності трикутників Рівнодіюча тієї частини навантаження, яка распложена зліва від перетину Поперечна сила в перерізі дорівнює Поперечна сила змінюється за законом квадратної параболи Прирівнюючи рівняння поперечної сили нулю, знаходимо абсциссу того перетину, в якому епюра Q переходить через нуль: Епюра Q представлена \u200b\u200bна рис. 1.5, б. Згинальний момент в довільному перерізі дорівнює Згинальний момент змінюється за законом кубічної параболи: Максимальне значення згинальний момент має в перерізі, де 0, т. Е. При Епюра М представлена \u200b\u200bна рис. 1.5, в. 1.3. Побудова епюр Q і M за характерними перетинах (точках) Використовуючи диференціальні залежності між М, Q, q і висновки, що випливають з них, доцільно будувати епюри Q і М за характерними перетинах (без складання рівнянь). Застосовуючи цей спосіб, обчислюють значення Q і М в характерних перетинах. Характерними перетинами є граничні перетину ділянок, а також перетину, де даний внутрішній силовий фактор має екстремальне значення. В межах між характерними перерізами обрис 12 епюри встановлюється на основі диференціальних залежностей між М, Q, q і висновками, що випливають з них. Приклад 1.3 Побудувати епюри Q і М для балки, зображеної на рис. 1.6, а. Мал. 1.6. Рішення: Побудова епюр Q і М починаємо від вільного кінця балки, при цьому реакції в закладенні можна не визначати. Балка має три ділянки навантаження: АВ, ВС, CD. На ділянках АВ і ВС розподілене навантаження відсутня. Поперечні сили постійні. Епюра Q обмежена прямими, паралельними осі абсцис. Згинальні моменти змінюються за лінійним законом. Епюра М обмежена прямими, похилими до осі абсцис. На ділянці CD є рівномірно розподілене навантаження. Поперечні сили змінюються за лінійним законом, а згинальні моменти - по закону квадратної параболи з опуклістю в бік дії розподіленого навантаження. На кордоні ділянок АВ і ВС поперечна сила змінюється стрибкоподібно. На кордоні ділянок ВС і CD стрибкоподібно змінюється вигинає момент. 1. Побудова епюри Q. Обчислюємо значення поперечних сил Q в граничних перетинах ділянок: За результатами розрахунків будуємо епюру Q для балки (рис. 1, б). З епюри Q випливає, що поперечна сила на ділянці CD дорівнює нулю в перерізі, віддаленому на відстані qa a q від початку цієї ділянки. У цьому перетині вигинає момент має максимальне значення. 2. Побудова епюри М. Обчислюємо значення згинальних моментів в граничних перетинах ділянок: При мaаксімальний момент на ділянці За результатами розрахунків будуємо епюру М (рис. 5.6, в). Приклад 1.4 За заданою епюрі згинальних моментів (рис. 1.7, а) для балки (рис. 1.7, б) визначити діючі навантаження і побудувати епюру Q. Кружком позначена вершина квадратної параболи. Рішення: Визначимо навантаження, що діють на балку. Ділянка АС завантажений рівномірно розподіленим навантаженням, так як епюра М на цій ділянці - квадратна парабола. В опорному перерізі В до балки прикладений зосереджений момент, що діє за годинниковою стрілкою, так як на епюрі М маємо стрибок вгору на величину моменту. На ділянці СВ балка не навантажуючи, т. К. Епюра М на цій ділянці обмежена похилій прямій. Реакція опори В визначається з умови, що вигинає момент в перерізі С дорівнює нулю, т. Е. Для визначення інтенсивності розподіленого навантаження складемо вираз для згинального моменту в перерізі А як суму моментів сил справа і прирівняємо до нуля Тепер визначимо реакцію опори А. Для цього складемо вираз для згинальних моментів в перерізі як суму моментів сил зліва Розрахункова схема балки з навантаженням показана на рис. 1.7, в. Починаючи з лівого кінця балки, обчислюємо значення поперечних сил в граничних перетинах ділянок: Епюра Q представлена \u200b\u200bна рис. 1.7, р Розглянута задача може бути вирішена шляхом складання функціональних залежностей для М, Q на кожній дільниці. Виберемо початок координат на лівому кінці балки. На ділянці АС епюра М виражається квадратної параболою, рівняння якої має вигляд Постійні а, b, з знаходимо з умови, що парабола проходить через три точки з відомими координатами: Підставляючи координати точок в рівняння параболи, отримаємо: Вираз для згинального моменту буде Дифференцируя функцію М1 , отримаємо залежність для поперечної cіли Після диференціювання функції Q отримаємо вираз для інтенсивності розподіленого навантаження На ділянці СВ вираз для згинального моменту представляється у вигляді лінійної функції для визначення постійних а й b використовуємо умови, що дана пряма проходить через дві точки, координати яких відомі отримаємо два рівняння:, b з яких маємо a 20. рівняння для згинального моменту на ділянці СВ буде Після дворазового диференціювання М2 знайдемо За знайденим значенням М і Q будуємо епюри згинальних моментів і поперечних сил для балки. Крім розподіленого навантаження до балки прикладаються зосереджені сили в трьох перетинах, де на епюрі Q є скачки і зосереджені моменти в тому розрізі, де на епюрі М є стрибок. Приклад 1.5 Для балки (рис. 1.8, а) визначити раціональне положення шарніра С, при якому найбільший згинальний момент в прольоті дорівнює вигинає моменту в закладенні (по абсолютній величині). Побудувати епюри Q і М. Рішення Визначення реакцій опор. Незважаючи на те, що загальне число опорних зв'язків дорівнює чотирьом, балка статично визначна. Згинальний момент в шарнірі С дорівнює нулю, що дозволяє скласти додаткове рівняння: сума моментів щодо шарніра всіх зовнішніх сил, що діють за одну сторону від цього шарніра, дорівнює нулю. Складемо суму моментів всіх сил праворуч від шарніра С. Епюра Q для балки обмежена похилій прямій, так як q \u003d const. Визначаємо значення поперечних сил в граничних перетинах балки: Абсциса xK перетину, де Q \u003d 0, визначається з рівняння звідки Епюра М для балки обмежена квадратної параболою. Вирази для згинальних моментів в перетинах, де Q \u003d 0, і в закладенні записуються відповідно так: З умови рівності моментів отримуємо квадратне рівняння щодо шуканого параметра х: Реальне значення x2x 1, 029 м. Визначаємо чисельні значення поперечних сил і згинальних моментів в характерних перетинах балки на рис.1.8, б показана епюра Q, а на рис. 1.8, в - епюра М. Розглянуту задачу можна було розв'язати способом розчленування шарнірної балки на складові її елементи, як це показано на рис. 1.8, р На початку визначаються реакції опор VC і VB. Будуються епюри Q і М для підвісної балки СВ від дії прикладеної до неї навантаження. Потім переходять до основної балці АС, навантаживши її додатковою силою VC, що є силою тиску балки СВ на балку АС. Після чого будують епюри Q і М для балки АС. 1.4. Розрахунки на міцність при прямому згині балок Розрахунок на міцність по нормальних і дотичних напруг. При прямому згині балки в поперечних перетинах її виникають нормальні і дотичні напруження (рис. 1.9). 18 Рис. 1.9 Нормальні напруги пов'язані з изгибающим моментом, дотичні напруження пов'язані з поперечною силою. При прямому чистому вигині дотичні напруження дорівнюють нулю. Нормальні напруги в довільній точці поперечного перерізу балки визначаються за формулою (1.4) де M - згинальний момент в даному перетині; Iz - момент інерції перерізу щодо нейтральної осі z; y - відстань від точки, де визначається нормальна напруга, до нейтральної осі z. Нормальні напруги по висоті перетину змінюються за лінійним законом і досягають найбільшої величини в точках, найбільш віддалених від нейтральної осі Якщо перетин симетрично відносно нейтральної осі (рис. 1.11), то Рис. 1.11 найбільші розтягують і стискають напруги однакові і визначаються за формулою,  - осьовий момент опору перерізу при згині. Для прямокутного перетину шириною b висотою h: (1.7) Для круглого перетину діаметра d: (1.8) Для кільцевого перетину   - відповідно внутрішній і зовнішній діаметри кільця. Для балок з пластичних матеріалів найбільш раціональними є симетричні 20 форми перетинів (двотавровий, коробчатое, кільцеве). Для балок з крихких матеріалів, не однаково чинять опір розтягування і стиснення, раціональними є перетину, несиметричні щодо нейтральної осі z (тавр., П-образне, несиметричний двутавр). Для балок постійного перерізу з пластичних матеріалів при симетричних формах перетинів умова міцності записується так: (1.10) де Mmax - максимальний згинальний момент по модулю; - допустиме напруження для матеріалу. Для балок постійного перерізу з пластичних матеріалів при несиметричних формах перетинів умова міцності записується в наступному вигляді: (1.11) Для балок з крихких матеріалів з перетинами, несиметричними відносно нейтральної осі, в разі, якщо епюра М однозначна (рис. 1.12), потрібно записати два умови міцності - відстані від нейтральної осі до найбільш віддалених точок відповідно розтягнутої і стиснутої зон небезпечного перерізу; P - допустимі напруження відповідно на розтягування і стиснення. Рис.1.12. 21 Якщо епюра згинальних моментів має ділянки різних знаків (рис. 1.13), то крім перевірки перетину 1-1, де действуетMmax, необхідно погасити найбільшим розтягують напруженням для перетину 2-2 (з найбільшим моментом протилежного знака). Мал. 1.13 Поряд з основним розрахунком за нормальними напруженням в ряді випадків доводиться робити перевірку міцності балки по дотичним напруженням. Дотичні напруження в балки обчислюються за формулою Д. І. Журавського (1.13) де Q - поперечна сила в розглянутому поперечному перерізі балки; Szотс - статичний момент відносно нейтральної осі площі частини перетину, розташованої по одну сторону прямої, проведеної через дану точку і паралельної осі z; b - ширина перерізу на рівні розглянутої точки; Iz - момент інерції всього перерізу відносно нейтральної осі z. У багатьох випадках максимальні дотичні напруження виникають на рівні нейтрального шару балки (прямокутник, двотавр, коло). У таких випадках умова міцності по дотичним напруженням записується у вигляді, (1.14) де Qmax - найбільша за модулем поперечна сила; - допустиме дотичне напруження для матеріалу. Для прямокутного перетину балки умова міцності має вигляд (1. 15) А - площа поперечного перерізу балки. Для круглого перетину умова міцності представляється у вигляді (1.16) Для двотаврового перетину умова міцності записується так: (1.17) де Szо, тmсax - статичний момент полусеченія щодо нейтральної осі; d - товщина стінки двутавра. Зазвичай розміри поперечного перерізу балки визначаються з умови міцності за нормальними напруженням. Перевірка міцності балок по дотичним напруженням проводиться в обов'язковому порядку для коротких балок і балок будь-якої довжини, якщо поблизу опор є зосереджені сили великий величини, а також для дерев'яних, клепаних і зварених балок. Приклад 1.6 Перевірити міцність балки коробчатого перетину (рис. 1.14) по нормальних і дотичних напруг, якщо МПа. Побудувати епюри в небезпечному перерізі балки. Мал. 1.14 Рішення 23 1. Побудова епюр Q і М за характерними перетинах. Розглядаючи ліву частину балки, отримаємо Епюра поперечних сил представлена \u200b\u200bна рис. 1.14, в. Епюра згинальних моментів показана на рис. 5.14, р 2. Геометричні характеристики поперечного перерізу 3. Найбільші нормальні напруження в перетин С, де діє Mmax (по модулю): МПа. Максимальні нормальні напруження в балці практично рівні допускаються. 4. Найбільші дотичні напруження в перерізі С (або А), де діє max Q (по модулю): Тут - статичний момент площі полусеченія щодо нейтральної осі; b2 см - ширина перетину на рівні нейтральної осі. 5. Дотичні напруги в точці (в стінці) в перерізі С: Рис. 1.15 Тут Szomc 834,5 108 см3 - статичний момент площі частини перетину, розташованої вище лінії, що проходить через точку K1; b2 см - товщина стінки на рівні точки K1. Епюри  і  для перетину З балки показані рис. 1.15. Приклад 1.7 Для балки, показаної на рис. 1.16, а, потрібно: 1. Побудувати епюри поперечних сил і згинальних моментів за характерними перетинах (точках). 2. Визначити розміри поперечного перерізу у вигляді кола, прямокутника і двутавра з умови міцності за нормальними напруженням, порівняти площі перетинів. 3. Перевірити підібрані розміри перетинів балок по дотичним напруги. Дано: Рішення: 1. Визначаємо реакції опор балки Перевірка: 2. Побудова епюр Q і М. Значення поперечних сил в характерних перетинах балки 25 Рис. 1.16 На ділянках CA і AD інтенсивність навантаження q \u003d const. Отже, на цих ділянках епюра Q обмежується прямими, похилими до осі. На ділянці DB інтенсивність розподіленого навантаження q \u003d 0, отже, на цій ділянці епюра Q обмежується прямий, паралельної осі х. Епюра Q для балки показана на рис. 1.16, б. Значення згинальних моментів у характерних перетинах балки: На другій ділянці визначаємо абсциссу x2 перетину, в якому Q \u003d 0: Максимальний момент на другій ділянці Епюра М для балки показана на рис. 1.16, в. 2. Складаємо умова міцності за нормальними напруженням звідки визначаємо необхідний осьової момент опору перерізу з виразу визначається необхідний діаметр d балки круглого перетину Площа круглого перетину Для балки прямокутного перерізу Необхідна висота перерізу Площа прямокутного перетину Визначаємо необхідний номер двотаврової балки. За таблицями ГОСТ 8239-89 знаходимо найближче більше значення осьового моменту опору 597см3, яке відповідає двотавр № 33 з характеристиками: A z 9840 см4. Перевірка на допуск: (недовантаження на 1% від допустимого 5%) найближчий двутавр № 30 (W 2 см3) призводить до значного перевантаження (більше 5%). Остаточно приймаємо двотавр № 33. Порівнюємо площі круглого і прямокутного перетинів з найменшою площею А двутавра: З трьох розглянутих перетинів найбільш економічним є двотавровий розтин. 3. Обчислюємо найбільші нормальні напруги в небезпечному перерізі 27 двотаврової балки (рис. 1.17, а): Нормальні напруження в стінці близько полки двотаврового перетину балки Епюра нормальних напружень в небезпечному перерізі балки показана на рис. 1.17, б. 5. Визначаємо найбільші дотичні напруження для підібраних перерізів балки. а) прямокутний перетин балки: б) круглий перетин балки: в) двотавровий перетин балки: Дотичні напруги в стінці близько полки двутавра в небезпечному перерізі А (праворуч) (в точці 2): Епюра дотичних напружень в небезпечних перетинах двотавру показана на рис. 1.17, в. Максимальні дотичні напруження в балці не перевищують допустимих напружень Приклад 1.8 Визначити допустиме навантаження на балку (рис. 1.18, а), еслі60МПа, розміри поперечного перерізу задані (рис. 1.19, а). Побудувати епюру нормальних напружень в небезпечному перерізі балки при допустимої навантаженні. Рис 1.18 1. Визначення реакцій опор балки. З огляду на симетрії системи 2. Побудова епюр Q і M за характерними перетинах. Поперечні сили в характерних перетинах балки: Епюра Q для балки показана на рис. 5.18, б. Згинальні моменти в характерних перетинах балки Для другої половини балки ординати М - по осях симетрії. Епюра М для балки показана на рис. 1.18, б. 3.Геометріческіе характеристики перетину (рис. 1.19). Розбиваємо фігуру на два найпростіших елемента: двутавр - 1 і прямокутник - 2. Рис. 1.19 По сортаменту для двутавра № 20 маємо Для прямокутника: Статичний момент площі перетину щодо осі z1 Відстань від осі z1 до центра ваги перерізу Момент інерції перетину щодо головної центральної осі z всього перерізу за формулами переходу до паралельних осях 4. Умова міцності за нормальними напруженням для небезпечної точки «а» (рис. 1.19) в небезпечному перерізі I (рис. 1.18): Після підстановки числових даних 5. При допустимої навантаженні в небезпечному перерізі нормальні напруги в точках «а» і «b» дорівнюватимуть: Епюра нормальних напружень для небезпечногоперетину 1-1 показана на рис. 1.19, б.

10.1. загальні поняття і визначення

вигин - це такий вид навантаження, при якому стрижень завантажений моментами в площинах, що проходять через поздовжню вісь стрижня.

Стрижень, що працює на вигин, називається балкою (або брусом). Надалі будемо розглядати прямолінійні балки, поперечний переріз яких має хоча б одну вісь симетрії.

В опорі матеріалів розрізняють вигин плоский, косою і складний.

плоский вигин - вигин, при якому всі зусилля, згинальні балку, лежать в одній з площин симетрії балки (в одній з головних площин).

Головними плоскоcтямі інерції балки називають площини, що проходять через головні осі поперечних перерізів і геометричну вісь балки (вісь x).

косий вигин - вигин, при якому навантаження діють в одній площині, яка не співпадає з головними площинами інерції.

складний вигин - вигин, при якому навантаження діють в різних (довільних) площинах.

10.2. Визначення внутрішніх зусиль при вигині

Розглянемо два характерних випадку вигину: в першому - консольна балка згинається зосередженим моментом Mo; у другому - зосередженої силою F.

Використовуючи метод уявних перетинів і складаючи рівняння рівноваги для відсічених частин балки, визначимо внутрішні зусилля в тому і в іншому випадку:

Решта рівняння рівноваги, очевидно, тотожно рівні нулю.

Таким чином, в загальному випадку плоского вигину в перетині балки з шести внутрішніх зусиль виникає два - вигинає момент Мz і поперечна сила Qy (або при вигині щодо іншої головної осі - згинальний момент Мy і поперечна сила Qz).

При цьому, відповідно до двох розглянутими випадками навантаження, плоский вигин можна поділити на чистий і поперечний.

чистий вигин - плоский вигин, при якому в перетинах стрижня з шести внутрішніх зусиль виникає тільки одне - згинальний момент (див. Перший випадок).

поперечний вигин - вигин, при якому в перетинах стрижня крім внутрішнього згинального моменту виникає і поперечна сила (див. Другий випадок).

Строго кажучи, до простим видам опору відноситься лише чистий вигин; поперечний вигин відносять до простих видів опору умовно, так як в більшості випадків (для досить довгих балок) дією поперечної сили при розрахунках на міцність можна знехтувати.

При визначенні внутрішніх зусиль будемо дотримуватися наступного правила знаків:

1) поперечна сила Qy вважається позитивною, якщо вона прагне повернути розглянутий елемент балки за годинниковою стрілкою;

2) вигинає момент Мz вважається позитивним, якщо при вигині елемента балки верхні волокна елемента виявляються стислими, а нижні - розтягнутими (правило парасольки).

Таким чином, рішення задачі по визначенню внутрішніх зусиль при вигині будемо вибудовувати за таким планом: 1) на першому етапі, розглядаючи умови рівноваги конструкції в цілому, визначаємо, якщо це необхідно, невідомі реакції опор (відзначимо, що для консольної балки реакції в закладенні можна і не знаходити, якщо розглядати балку з вільного кінця); 2) на другому етапі виділяємо характерні ділянки балки, приймаючи за межі ділянок точки докладання зусиль, точки зміни форми або розмірів балки, точки закріплення балки; 3) на третьому етапі визначаємо внутрішні зусилля в перетинах балки, розглядаючи умови рівноваги елементів балки на кожній з ділянок.

10.3. Диференціальні залежності при вигині

Встановимо деякі взаємозв'язки між внутрішніми зусиллями і зовнішніми навантаженнями при вигині, а також характерні особливості епюр Q і M, знання яких полегшить побудову епюр і дозволить контролювати їх правильність. Для зручності запису будемо позначати: M≡Mz, Q≡Qy.

Виділимо на ділянці балки з довільної навантаженням в місці, де немає зосереджених сил і моментів, малий елемент dx. Так як вся балка знаходиться в рівновазі, то і елемент dx буде перебувати в рівновазі під дією прикладених до нього поперечних сил, згинальних моментів і зовнішнього навантаження. Оскільки Q і M в загальному випадку змінюються уздовж

осі балки, то в перетинах елемента dx будуть виникати поперечні сили Q і Q + dQ, а також згинальні моменти M і M + dM. З умови рівноваги виділеного елемента отримаємо

Перше з двох записаних рівнянь дає умова

З другого рівняння, нехтуючи складовою q · dx · (dx / 2) як нескінченно малою величиною другого порядку, знайдемо

Розглядаючи вираження (10.1) і (10.2) спільно можемо отримати

Співвідношення (10.1), (10.2) і (10.3) називають диференціальними залежностями Д. І. Журавського при вигині.

Аналіз наведених вище диференційних залежностей при вигині дозволяє встановити деякі особливості (правила) побудови епюр згинальних моментів і поперечних сил: а - на ділянках, де немає розподіленого навантаження q, епюри Q обмежені прямими, паралельними базі, а епюри M - похилими прямими; б - на ділянках, де до балки прикладена розподілене навантаження q, епюри Q обмежені похилими прямими, а епюри M - квадратичними параболами.

При цьому, якщо епюру М будуємо «на розтягнутому волокні», то опуклість параболи буде направлена \u200b\u200bу напрямку дії q, а екстремум буде розташований в перерізі, де епюра Q перетинає базову лінію; в - в перетинах, де до балки прикладається зосереджена сила на епюрі Q будуть скачки на величину і в напрямку цієї сили, а на епюрі М - перегини, вістрям спрямовані в напрямку дії цієї сили; г - в перетинах, де до балки прикладається зосереджений момент на епюрі Q змін не буде, а на епюрі М - скачки на величину цього моменту; д - на ділянках, де Q\u003e 0, момент М зростає, а на ділянках, де Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Нормальні напруги при чистому вигині прямого бруса

Розглянемо випадок чистого плоского вигину балки і виведемо формулу для визначення нормальних напружень для даного випадку.

Відзначимо, що в теорії пружності можна отримати точну зависи-ність для нормальних напружень при чистому вигині, якщо ж вирішувати цю задачу методами опору матеріалів необхідно ввести деякі припущення.

Таких гіпотез при вигині три:

а - гіпотеза плоских перетинів (гіпотеза Бернуллі) - перетину плоскі до деформації залишаються плоскими і після деформації, а лише повертаються щодо деякої лінії, яка називається нейтральною віссю перерізу балки. При цьому волокна балки, що лежать з одного боку від нейтральної осі будуть розтягуватися, а з іншого - стискатися; волокна, що лежать на нейтральній осі своєї довжини не змінюють;

б - гіпотеза про сталість нормальних напружень - напруги, що діють на однаковій відстані y від нейтральної осі, постійні по ширині бруса;

в - гіпотеза про відсутність бічних тисків - сусідні поздовжні волокна не тиснуть один на одного.

Статична сторона завдання

Щоб визначити напруження в поперечних перетинах балки, розглянемо, перш за все, статичну сторін у завдання. Застосовуючи метод уявних перетинів і складаючи рівняння рівноваги для відсіченої частини балки, знайдемо внутрішні зусилля при згині. Як було показано раніше, єдиним внутрішнім зусиллям, чинним в перерізі бруса при чистому вигині, є внутрішній згинальний момент, а значить тут виникнуть пов'язані з ним нормальні напруги.

Зв'язок між внутрішніми зусиллями і нормальними напруженнями в перерізі балки знайдемо з розгляду напружень на елементарній площадці dA, виділеної в поперечному перерізі A балки в точці з координатами y і z (вісь y для зручності аналізу спрямована вниз):

Як бачимо, завдання є внутрішньо статично невизначеної, так як невідомий характер розподілу нормальних напружень по перерізу. Для вирішення завдання розглянемо геометричну картину деформацій.

Геометрична сторона задачі

Розглянемо деформацію елемента балки довжиною dx, виділеного з згинаного стержня в довільній точці з координатою x. З огляду на прийняту раніше гіпотезу плоских перетинів, після вигину перетину балки повернутися щодо нейтральної осі (Н.О.) на кут dφ, при цьому волокно ab, віддалені від нейтральної осі на відстань y, перетвориться в дугу окружності a1b1, а його довжина зміниться на деяку величину. Тут нагадаємо, що довжина волокон, що лежать на нейтральній осі, не змінюється, а тому дуга a0b0 (радіус кривизни якої позначимо ρ) має ту ж довжину, що і відрізок a0b0 до деформації a0b0 \u003d dx.

Знайдемо відносну лінійну деформацію εx волокна ab зігнутої балки.

Гіпотезу плоских перетинів при вигині можна пояснити на прикладі: нанесемо на бічній поверхні недеформованою балки сітку, що складається з поздовжніх і поперечних (перпендикулярних до осі) прямих ліній. В результаті вигину балки поздовжні лінії візьмуть криволінійний обрис, а поперечні практично залишаться прямими і перпендикулярними до вигнутої осі балки.

Формулювання гіпотези плоских перетину: Поперечним перерізом плоскі і перпендикулярні до осі балки до, залишаються плоскими і перпендикулярними до вигнутої осі після її деформації.

Ця обставина свідчить: при виконується гіпотеза плоских перетинів, Як при і

Крім гіпотези плоских перетинів приймається допущення: поздовжні волокна балки при її вигині не натискайте один на одного.

Гіпотезу плоских перетинів і допущення називають гіпотезою Бернуллі.

Розглянемо балку прямокутного поперечного перерізу, що випробовує чистий вигин (). Виділимо елемент балки довжиною (рис. 7.8. А). В результаті вигину поперечним перерізом балки повернуться, утворивши кут. Верхні волокна відчувають стиснення, а нижні розтягнення. Радіус кривизни нейтрального волокна позначимо.

Умовно вважаємо, що волокна змінюють свою довжину, залишаючись при цьому прямими (рис. 7.8. Б). Тоді абсолютна і відносна подовження волокна, що відстоїть на відстані y від нейтрального волокна:

Покажемо, що поздовжні волокна, які не відчувають при вигині балки ні розтягування, ні стиснення, проходять через головну центральну вісь x.

Оскільки довжина балки при вигині не змінюється, поздовжнє зусилля (N), що виникає в поперечному перерізі, має дорівнювати нулю. Елементарне поздовжнє зусилля.

З урахуванням виразу :

Множник можна винести за знак інтеграла (не залежить від змінної інтегрування).

Вираз являє поперечного перерізу балки відносно нейтральної осі x. Він дорівнює нулю, коли нейтральна вісь проходить через центр ваги поперечного перерізу. Отже, нейтральна вісь (нульова лінія) при вигині балки проходить через центр ваги поперечного перерізу.

Очевидно: вигинає момент пов'язаний з нормальними напруженнями, що виникають в точках поперечного перерізу стержня. Елементарний вигинає момент, створюваний елементарної силою:

,

де - осьовий момент інерції поперечного перерізу відносно нейтральної осі x, а відношення - кривизна осі балки.

жорсткість балки при вигині (Чим більше, тим менше радіус кривизни).

отримана формула являє собою закон Гука при вигині для стержня: Вигинає момент, що виникає в поперечному перерізі, пропорційний кривизні осі балки.

Висловлюючи з формули закону Гука для стержня при вигині радіус кривизни () і підставляючи його значення в формулу , Отримаємо формулу для нормальних напружень () в довільній точці поперечного перерізу балки, яка відступає на відстані y від нейтральної осі x:.

У формулу для нормальних напружень () в довільній точці поперечного перерізу балки слід підставляти абсолютні значення згинального моменту () і відстані від точки до нейтральної осі (координати y). Чи буде напруга в даній точці розтягують або стискає легко встановити за характером деформації балки або по епюрі згинальних моментів, ординати якої відкладаються з боку стислих волокон балки.

З формули видно: нормальні напруги () змінюються по висоті поперечного перерізу балки по лінійному закону. На рис. 7.8, в показана епюра. Найбільші напруження при згині балки виникають в точках, найбільш віддалених від нейтральної осі. Якщо в поперечному перерізі балки провести лінію, паралельну нейтральної осі x, то у всіх її точках виникають однакові нормальні напруги.

нескладний аналіз епюри нормальних напружень показує, при вигині балки матеріал, розташований поблизу нейтральної осі, практично не працює. Тому з метою зниження ваги балки рекомендується вибирати такі форми поперечного перерізу, у яких велика частина матеріалу віддалена від нейтральної осі, як, наприклад, у двотаврового профілю.

При прямому чистому вигині в поперечному перерізі стержня виникає тільки один силовий фактор вигинає момент М х (Рис. 1). Так як Q y \u003d dM x / dz \u003d 0, то M x \u003d Const і чистий прямий вигин може бути реалізований при завантаженні стрижня парами сил, доданими в торцевих перетинах стрижня. Оскільки вигинає момент M х за визначенням дорівнює сумі моментів внутрішніх сил щодо осі Ох з нормальними напруженнями його пов'язує викати з цього визначення рівняння статики

Сформулюємо передумови теорії чистого прямого вигину призматичного стержня. Для цього проаналізуємо деформації моделі стержня з низькомодульної матеріалу, на бічній поверхні якого нанесена сітка поздовжніх і поперечних рисок (рис. 2). Оскільки поперечні ризики при вигині стрижня парами сил, доданими в торцевих перетинах, залишаються прямими і перпендикулярними до викривленим поздовжнім ризиків, це дозволяє зробити висновок про виконання гіпотези плоских перетинів, яка, як показує рішення цього завдання методами теорії пружності, перестає бути гіпотезою, стаючи точним фактом законом плоских перетинів. Заміряючи зміна відстаней між поздовжніми ризиками, приходимо до висновку про справедливість гіпотези про ненадавліваніі поздовжніх волокон.

Ортогональность поздовжніх і поперечних рисок до і після деформування (як відображення дії закону плоских перетинів) вказує також на відсутність зрушень, дотичних напружень в поперечних і поздовжніх перетинах стрижня.

Рис.1. Зв'язок внутрішнього зусилля і напруги

Рис.2. Модель чистого вигину

Таким чином, чистий прямий вигин призматичного стержня зводиться до одноосьовому розтягування або стиснення поздовжніх волокон напруженнями (індекс г в подальшому опускаємо). При цьому частина волокон знаходиться в зоні розтягування (на рис. 2 це нижні волокна), а інша частина в зоні стиснення (верхні волокна). Ці зони розділені нейтральним шаром (П п), Не міняє своєї довжини, напруги в якому дорівнюють нулю. З огляду на сформульовані вище передумови і вважаючи, що матеріал стержня лінійно-пружний, т. Е. Закон Гука в цьому випадку має вигляд: , виведемо формули для кривизни нейтрального шару (радіус кривизни) і нормальних напружень. Попередньо зазначимо, що сталість поперечного перерізу призматичного стержня і згинального моменту (M х \u003d сonst), забезпечує сталість радіуса кривизни нейтрального шару по довжині стержня (рис. 3, а), Нейтральний шар (П п) описується дугою кола.

Розглянемо призматичний стрижень в умовах прямого чистого вигину (рис. 3, а) з поперечним перерізом, симетричним щодо вертикальної осі Оу. Ця умова не відіб'ється на кінцевому результаті (щоб прямий вигин був можливий, необхідно збіг осі Оу з головною віссю інерції поперечного перерізу, яка і є віссю симетрії). ось Ox помістимо на нейтральному шарі, положення якого заздалегідь невідомо.

а) Розрахункова схема, б) Деформації і напруги

Рис.3. Фрагмент чистого вигину бруса

Розглянемо вирізаний з стрижня елемент довжиною dz, Який в масштабі з перекрученими в інтересах наочності пропорціями зображений на рис. 3, б. Оскільки інтерес представляють деформації елемента, що визначаються відносним зсувом його точок, одне з торцевих перетинів елемента можна вважати нерухомим. Зважаючи на крихту вважаємо, що точки поперечного перерізу при повороті на цей кут переміщуються не по дугам, а за відповідними дотичним.

Обчислимо відносну деформацію поздовжнього волокна АВ, віддаленого від нейтрального шару на у:

З подоби трикутників С00 1 і 0 1 ВВ 1 випливає, що

Поздовжня деформація виявилася лінійною функцією відстані від нейтрального шару, що є прямим наслідком закону плоских перетинів

Ця формула не придатна для практичного використання, тому що містить дві невідомі: кривизну нейтрального шару і положення нейтральної осі Ох, Від якої відраховується координата у. Для визначення цих невідомих скористаємося рівняннями рівноваги статики. Перше висловлює вимога рівності нулю поздовжньої сили

Підставляючи в це рівняння вираз (2)

і враховуючи, що, отримуємо, що

Інтеграл в лівій частині цього рівняння являє собою статичний момент поперечного перерізу стрижня щодо нейтральної осі Ох, який може бути рівним нулю тільки відносно центральної осі. Тому нейтральна вісь Ох проходить через центр ваги поперечного перерізу.

Другим рівнянням рівноваги статики є, що зв'язує нормальні напруги з изгибающим моментом (який легко може бути виражений через зовнішні сили і тому вважається заданою величиною). Підставляючи в рівняння зв'язки вираз для. напруг, отримаємо:

і враховуючи, що де J xголовний центральний момент інерції щодо осі Ох, для кривизни нейтрального шару отримуємо формулу

Рис.4. Розподіл нормальних напружень

яка була вперше отримана Ш. Кулоном в 1773 році. Для узгодження знаків згинального моменту М х і нормальних напружень в правій частині формули (5) ставиться знак мінус, так як при M х\u003e 0 нормальні напруги при y\u003e 0 виявляються стискають. Однак в практичних розрахунках зручніше, не дотримуючись формального правила знаків, визначати напруги по модулю, а знак ставити за змістом. Нормальні напруги при чистому вигині призматичного стержня є лінійною функцією координати у і досягають максимальних значень в волокнах, найбільш віддалених від нейтральної осі (рис. 4), т. е.

Тут введена геометрична характеристика , Що має розмірність м 3 і отримала назву моменту опору при згині.Оскільки при заданому M х напруги max?тим менше, чим більше W x, момент опору є геометричній характеристикою міцності поперечного перерізу вигині. Наведемо приклади обчислення моментів опору для найпростіших форм поперечних перерізів. Для прямокутного поперечного перерізу (рис. 5, а) маємо J х \u003d bh 3/12, y max = h / 2 і W x \u003d J x / y max = bh 2/6. Аналогічно для кола (рис. 5 , A J x =d 4 /64, y max \u003d d / 2) отримуємо W x =d 3 / 32, для кругового кільцевого перерізу (рис. 5, в), у якого

Плоский поперечний вигин балок. Внутрішні зусилля при згині. Диференціальні залежності внутрішніх зусиль. Правила перевірки епюр внутрішніх зусиль при вигині. Нормальні і дотичні напруження при згині. Розрахунок на міцність по нормальних і дотичних напруг.

10. ПРОСТІ ВИДИ ОПОРУ. ПЛОСКИЙ ВИГИН

10.1. Загальні поняття і визначення

Вигин - це такий вид навантаження, при якому стрижень завантажений моментами в площинах, що проходять через поздовжню вісь стрижня.

Стрижень, що працює на вигин, називається балкою (або брусом). Надалі будемо розглядати прямолінійні балки, поперечний переріз яких має хоча б одну вісь симетрії.

В опорі матеріалів розрізняють вигин плоский, косою і складний.

Плоский вигин - вигин, при якому всі зусилля, згинальні балку, лежать в одній з площин симетрії балки (в одній з головних площин).

Головними площинами інерції балки називають площини, що проходять через головні осі поперечних перерізів і геометричну вісь балки (вісь x).

Косий вигин - вигин, при якому навантаження діють в одній площині, яка не співпадає з головними площинами інерції.

Складний вигин - вигин, при якому навантаження діють в різних (довільних) площинах.

10.2. Визначення внутрішніх зусиль при вигині

Розглянемо два характерних випадку вигину: в першому - консольна балка згинається зосередженим моментом M o; у другому - зосередженої силою F.

Використовуючи метод уявних перетинів і складаючи рівняння рівноваги для відсічених частин балки, визначимо внутрішні зусилля в тому і в іншому випадку:

Решта рівняння рівноваги, очевидно, тотожно рівні нулю.

Таким чином, в загальному випадку плоского вигину в перетині балки з шести внутрішніх зусиль виникає два - вигинає моментМ z і поперечна сила Q y (або при вигині щодо іншої головної осі - згинальний момент М y і поперечна сила Q z).

При цьому, відповідно до двох розглянутими випадками навантаження, плоский вигин можна поділити на чистий і поперечний.

Чистий вигин - плоский вигин, при якому в перетинах стрижня з шести внутрішніх зусиль виникає тільки одне - згинальний момент (див. Перший випадок).

поперечний вигин- вигин, при якому в перетинах стрижня крім внутрішнього згинального моменту виникає і поперечна сила (див. Другий випадок).

Строго кажучи, до простих видів опору відноситься лише чистий вигин; поперечний вигин відносять до простих видів опору умовно, так як в більшості випадків (для досить довгих балок) дією поперечної сили при розрахунках на міцність можна знехтувати.

При визначенні внутрішніх зусиль будемо дотримуватися наступного правила знаків:

1) поперечна сила Q y вважається позитивною, якщо вона прагне повернути розглянутий елемент балки за годинниковою стрілкою;

2) вигинає моментМ z вважається позитивним, якщо при вигині елемента балки верхні волокна елемента виявляються стислими, а нижні - розтягнутими (правило парасольки).

Таким чином, рішення задачі по визначенню внутрішніх зусиль при вигині будемо вибудовувати за таким планом: 1) на першому етапі, розглядаючи умови рівноваги конструкції в цілому, визначаємо, якщо це необхідно, невідомі реакції опор (відзначимо, що для консольної балки реакції в закладенні можна і не знаходити, якщо розглядати балку з вільного кінця); 2) на другому етапі виділяємо характерні ділянки балки, приймаючи за межі ділянок точки докладання зусиль, точки зміни форми або розмірів балки, точки закріплення балки; 3) на третьому етапі визначаємо внутрішні зусилля в перетинах балки, розглядаючи умови рівноваги елементів балки на кожній з ділянок.

10.3. Диференціальні залежності при вигині

Встановимо деякі взаємозв'язки між внутрішніми зусиллями і зовнішніми навантаженнями при вигині, а також характерні особливості епюр Q і M, знання яких полегшить побудову епюр і дозволить контролювати їх правильність. Для зручності запису будемо позначати: M ≡ M z, Q ≡ Q y.

Виділимо на ділянці балки з довільної навантаженням в місці, де немає зосереджених сил і моментів, малий елемент dx. Так як вся балка знаходиться в рівновазі, то і елемент dx буде перебувати в рівновазі під дією прикладених до нього поперечних сил, згинальних моментів і зовнішнього навантаження. Оскільки Q і M в загальному випадку змінюються вздовж осі балки, то в перетинах елемента dx будуть виникати поперечні сили Q і Q + dQ, а також згинальні моменти M і M + dM. З умови рівноваги виділеного елемента отримаємо

Σ F y \u003d 0 Q + q dx - (Q + dQ) \u003d 0;

Σ M 0 \u003d 0 M + Q dx + q dx dx 2 - (M + dM) \u003d 0.

З другого рівняння, нехтуючи складовою q · dx · (dx / 2) як нескінченно малою величиною другого порядку, знайдемо

Співвідношення (10.1), (10.2) і (10.3) називаютьдиференціальними залежностями Д. І. Журавського при вигині.

Аналіз наведених вище диференційних залежностей при вигині дозволяє встановити деякі особливості (правила) побудови епюр згинальних моментів і поперечних сил:

а - на ділянках, де немає розподіленого навантаження q, епюри Q обмежені прямими, паралельними базі, а епюри M - похилими прямими;

б - на ділянках, де до балки прикладена розподілене навантаження q, епюри Q обмежені похилими прямими, а епюри M - квадратичними параболами. При цьому, якщо епюру М будуємо «на розтягнутому волокні», то опуклість па-

раболи буде направлена \u200b\u200bу напрямку дії q, а екстремум буде розташований в перерізі, де епюра Q перетинає базову лінію;

в - в перетинах, де до балки прикладається зосереджена сила на епюрі Q будуть скачки на величину і в напрямку цієї сили, а на епюрі М - перегини, вістрям спрямовані в напрямку дії цієї сили; г - в перетинах, де до балки прикладається зосереджений момент на епю-

ре Q змін не буде, а на епюрі М - скачки на величину цього моменту; д - на ділянках, де Q\u003e 0, момент М зростає, а на ділянках, де Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Нормальні напруги при чистому вигині прямого бруса

Розглянемо випадок чистого плоского вигину балки і виведемо формулу для визначення нормальних напружень для даного випадку. Відзначимо, що в теорії пружності можна отримати точну залежність для нормальних напружень при чистому вигині, якщо ж вирішувати цю задачу методами опору матеріалів необхідно ввести деякі припущення.

Таких гіпотез при вигині три:

а - гіпотеза плоских перетинів (Гіпотеза Бернуллі)

- перетину плоскі до деформації залишаються плоскими і після деформації, а лише повертаються щодо деякої лінії, яка називається нейтральною віссю перерізу балки. При цьому волокна балки, що лежать з одного боку від нейтральної осі будуть розтягуватися, а з іншого - стискатися; волокна, що лежать на нейтральній осі своєї довжини не змінюють;

б - гіпотеза про сталість нормальних напряже-

ний - напруги, що діють на однаковій відстані y від нейтральної осі, постійні по ширині бруса;

в - гіпотеза про відсутність бічних тисків - з-

седнєв поздовжні волокна не тиснуть один на одного.